资源简介

浙江绍兴元培学校2025-2026学年八年级下学期数学学情自测一元二次方程独立作业
1．（2026八下·绍兴月考）若 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为(　　)．
A．m≠2 B．m>2 C．m<2 D．0【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵原方程(m-2)x2-3x-n=0是关于x的一元二次方程，
∴m-2≠0，
解得m≠2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，据此列出不等式即可得到m的取值范围.
2．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 化为 的形式，则a+b的值为(　　)．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-2017=0，
x2-6x=2017.
x2-6x+9=2026，
(x-3)2=2026
所以a=-3，b=2026，
所以a+b=-3+2026=2023
故选：A.
【分析】利用配方法解方程的方法把原方程变形为(x-3)2=2026，从而得到a、b的值，然后计算它们的和即可.
3．（2026八下·绍兴月考）下列方程中，有两个相等的实数根的是(　　)．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、方程为x2+3x=0，a=1，b=3，c=0，
Δ=32-4×1×0=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、整理得x2+4x-4=0，a=1，b=4，c=-4，
Δ=42-4×1×(-4)=32>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、整理得x2+2x+1=0，a=1，b=2，c=1，
Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、方程为x2-4=0，a=1，b=0，c=-4，
Δ=02-4×1×(-4)=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：C.
【分析】先将各选项方程整理为一般形式，通过判别式Δ=b2-4ac的值判断根的情况，找出Δ=0的选项即可.
4．（2026八下·绍兴月考）若一个三角形两条边长为2和4，第三条边长满足方程 则此三角形的周长为(　　)．
A．8 B．11 C．8或11 D．8或10
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-7x+10=0
∴(x-2)(x-5)=0，
则x-2=0或x-5=0，
解得x=2或x=5，
当x=2时，2，2，4不能构成三角形，舍去；
当x=5时，此三角形的周长为2+4+5=11.
故选：B.
【分析】利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得.
5．（2026八下·绍兴月考）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为(　　).
A． B．2020(1+2x)=4000
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设新能源汽车的年平均增长率为x，
可列方程为2020(1+x)2=4000.
故答案为：C.
【分析】设新能源汽车的年平均增长率为x，则2025年底的保有量为2020(1+x)万辆，2026年底的保有量为2020(1+x)(1+x)=2020(1+x)2万辆，即可列出正确方程.
6．（2026八下·绍兴月考）甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙写错了一次项系数，得到方程的两根是-9和-1，则原来的方程是(　　)．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：能，
理由如下：设此方程的两个根是α、β，
根据题意得：，，
∵a=1，
∴b=-10， c=9，
∴原来的方程是x2-10x+9=0
故选：B.
【分析】先设这个方程的两根是α、β，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根为-9和-1，则有，那么关于α、β为根的一元二次方程即为所求.
7．（2026八下·绍兴月考）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则代数式 的值为(　　)．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴，
则2k2+4k=1
∴2026-2k2-4k=2026-(2k2+4k)=2026-1=2025
故选：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可.
8．（2026八下·绍兴月考）已知关于x的方程 的解 是(a，m，b均为常数，a≠0)则方程 的解是(　　)．
A． B． C． D．无法求解
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令y=3x+1，则方程a(3x+m+1)2+b=0可变形为a(y+m)2+b=0，
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解为x1=-2，x2=1，
∴y1=-2，y2=1
即3x+1=-2或3x+1=1，
解得x1=-1或x2=0，
∴方程a(3x+m+1)2+b=0的解是x1=-1，x2=0.
故答案为：B.
【分析】利用换元法，将新方程中的3x+1看作整体，对应原方程的x，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解.
9．（2026八下·绍兴月考）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是(　　)．
A．11 B．20 C．28 D．36
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根
∴a+b=2t，ab=t2-2t+4，
∴(a+4)(b+4)=ab+4(a+b)+16=t2-2t+4+8t+16=t2+6t+20=(t+3)2+11
又∵Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-16≥0，
∴t≥2，
则当t=2时，(a+4)(b+4)有最小值为：52+11=36.
故答案为：D.
【分析】先利用韦达定理表示出a+b和ab，再据此表示出(a+4)(b+4)，并求出最小值即可.
10．（2026八下·绍兴月考）对于一元二次方程 下列说法中正确的个数是（　　）
①若x=c是方程 的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立：
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根：
③若a+c=b，则方程 有一根为x=-1：
④若b=2a+3c，则方程 有两个不相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知x=c是方程ax2+ba+c=0的一个根，将x=c代入方程可得：ac2+bc+c=0
当c=0时，ac2+bc+c=0恒成立，但此时ac+b+1=b+1不一定等于0；
当c≠0时，方程ac2+bc+c=0两边同时除以c，可得ac+b+1=0；
所以①错误；
对于方程ax2+c=0，移项可得ax2=-c，即
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴，即ac<0，
对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2-4ac，
因为任何数的平方都大于等于0，所以b2≥0，
又因为ac<0，
所以-4ac>0，则b2-4ac>0，即方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，
所以②正确；
当x=-1时，将其代入方程ax2+bx+c=0可得：a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c
已知a+c=b，移项可得a-b+c=0，
所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根，
所以③正确；
已知b=2a+3c，对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2-4ac，
将b=2a+3c代入可得：Δ=(2a+3c)2-4ac
根据完全平方公式(m+n)2=m2+2mn+n2展开上式得：
Δ=4a2+12ac+9c2-4ac=4a2+8ac+9c2
进一步变形可得：
Δ=4a2+8ac+4c2+5c2=4(a+c)2+5c2
因为(a+c)2≥0，c2≥0，
所以4(a+c)2+5c2>0，即Δ>0，
所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
所以④正确；
故答案为：C.
【分析】对于①，将x=c代入方程，根据c是否为0进行讨论；对于②，根据方程ax2+c=0有两个不相等的实数根得出ac<0，再据此判断方程ax2+bx+c=0的判别式Δ的正负；对于③，将x=-1代入方程，结合a+c=b进行验证；对于④，将b=2a+3c代入方程ax2+b+c=0的判别式Δ，判断其正负.
11．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 化为一般式为　 　．
【答案】x2+2x+3=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(x+2)2=2x+1，
展开完全平方得：x2+4x+4=2x+1
移项、合并同类项得：x2+2x+3=0.
故答案为：x2+2x+3=0.
【分析】先根据完全平方公式将方程左边展开，再通过移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式.
12．（2026八下·绍兴月考）关于 x 的一元一次方程 有实数根，则k 的取值范围为　 　．
【答案】k=0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴k=0
故答案为：k=0.
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可.
13．（2026八下·绍兴月考）如图，在长为32m，宽为20m的长方形底面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，设道路的宽为x米，可列方程为　 　．
【答案】(32-x)(20-x)=540
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32-x，宽为20-x，
∴可列方程为：(32-x)(20-x)=540
故答案为：(32-x)(20-x)=540.
【分析】把道路进行平移，可得草坪面积=长为32-x，宽为20-x的面积，把相关数值代入即可求解.
14．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 的两根为a与b，则 的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可知：α+β=3，αβ=-2，
∴
故答案为：.
【分析】把变形为，然后利用根与系数的关系求得α+β=3，αβ=-2，最后代入到中，即可求解.
15．（2026八下·绍兴月考）若关于x的一元二次方程 有一根为x=m，则关于x的一元二次方程 必有一根为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的一个根，
∴am2+bm+c=0，
∴，
∴，
∴是方程cx2-bx+a=0(ac≠0)的一个根
故答案为：.
【分析】根据x=m满足方程ax2+bx+c=0，得到am2+bm+c=0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根.
16．（2026八下·绍兴月考）定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
17．（2026八下·绍兴月考）解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：配方，得x2-6x+9=1+9
整理，得(x-3)2=10
解得，.
（2）解：2x2-5x+2=0，
∴(x-2)(2x-1)=0，
则x-2=0或2x-1=0，
解得x1=2，
（3）解：(x-3)2-2x(x-3)=0，
(x-3)(x-3-2x)=0，
(x-3)(-x-3)=0，
∴x-3=0或-x-3=0，
∴x1=3或x2=-3
（4）解：由2x2+2x+1=0，
则：a=2，b=2，c=1，
∴Δ=b2-4ac=4-4×2×1=4-8=-4<0，
∴原方程无实数根
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法，可得方程的解；
(2)利用因式分解法求解即可；
(3)利用因式分解的方法求解方程结果即可；
(4)利用公式法求解方程结果即可.
18．（2026八下·绍兴月考）已知m，n是方程 的两个实数根，求代数式 的值．
【答案】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，
∴m2-2m=1，n2-2n=1， n2=2n+1，
∴或
∴m2+4m+n2+2n+3=m2+4m+4+n2+2n+1-2=(m+2)2+(n+1)2-2
当时，原式
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用m，n是方程解的关系得到关系式，然后进行化简求值即可.
19．（2026八下·绍兴月考）已知
（1）判断A， B的大小关系．
（2）若 求x+y+z的值．
【答案】（1）解：A-B=(x2+2x-6y)-(-y2+4x-10)
=x2+2x-6y+y2-4x+10
=x2-2x+1+y2-6y+9
=(x-1)2+(y-3)2，
∵(x-1)2≥0，(y-3)2≥0，
∴A-B≥0，
∴A≥B；
（2）解：∵A=B-|z-1|，
∴A-B+|z-1|=0，
由(1)得：A-B=(x-1)2+(y-3)2，
∴(x-1)2+(y-3)2+|z-1|=0，
∵(x-1)2≥0，(y-3)2≥0，|z-1|≥0
∴(x-1)2=0，(y-3)2=0，|z-1|=0，
∴x-1=0，y-3=0，z-1=0，
∴x=1，y=3，z=1，
∴x+y+z=5.
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；绝对值的非负性；整式的大小比较
【解析】【分析】(1)用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系；
(2)由(1)得：A-B=(x-1)2+(y-3)2，从而得到(x-1)2+(y-3)2+|z-1|=0，利用平方和绝对值的非负性判断大小关系.
20．（2026八下·绍兴月考）关于x的一元二次方程
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且满足 求k的值．
【答案】（1）解：根据题意得Δ=(2k-2)2-4(k2+3)≥0，
解得k≤-1；
（2）解：根据题意得：x1+x2=2k-2，x1x2=k2+3
∵(x1-1)(x2-1)=14，
∴x1x2-(x1+x2)+1=14
即k2+3-(2k-2)+1=14，
整理得 k2-2k-8=0，
解得k1=-2，k2=4，
∵k≤-1
∴k=-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)由该方程有两个实数根得到Δ≥0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k-2，x1x2=k2+3，再根据(x1-1)(x2-1)=14得到k2+3-(2k-2)+1=14，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值.
21．（2026八下·绍兴月考）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计，“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件；售价每降价0.5元，每天可多售出2件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元
【答案】（1）解：设月平均增长率是x，
依题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：月平均增长率是20%.
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80-y-40)元，每天的销售量为(20+4y)件，
依题意得：(80-y-40)(20+4y)=1400，
整理得：y2-35y+150=0，
解得：y1=5，y2=30.
又∵要尽量减少库存
∴y=30.
答：售价应降低30元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率是x，依题意得：5(1+x)2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)，从而得到月平均增长率是20%；
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80-y-40)元，每天的销售量为(20+4y)件，依题意得：(80-y-40)(20+4y)=1400，根据“要尽量减少库存“舍去y=5，从而得到售价应降低30元.
22．（2026八下·绍兴月考） 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值是，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
23．（2026八下·绍兴月考）【阅读材料】
解方程： 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 则 于是原方程可转化为 解得
当y=1时， 所以x=±1；当y=4时， 所以= x=±2．
所以原方程有四个根：
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】
（1）在解方程 时，若设 则原方程可转化为　 　．
（2）若 则 　 　．
（3）参照上面解题的思想方法解方程：．
【答案】（1）y2-4y-12=0
（2）
（3）解：
设，则原方程可转化为y2-5y+6=0，
解得：y1=2，y2=3，
当y1=2时，，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-2≠0，
∴x=4是原方程的解；
当y2=3时，，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x-2≠0，
∴x=3是原方程的解；
综上所述，原方程的解是x1=3，x2=4.
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)(x2+x)2-4(x2+x)-12=0，
设y=x2+x，则原方程可转化为y2-4y-12=0；
故答案为：y2-4y-12=0.
(2)(m2+n2-3)(2m2+2n2-4)=8，
设x=m2+n2，则原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8，
即x2-5x+2=0
∵Δ=(-5)2-4×1×2=17>0，
∴
即
故答案为：.
【分析】(1)直接代入得关于y的方程，即可得到结果；
(2)设x=m2+n2，则原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8，x的方程得出，即可求解；
(3)设，则原方程可转化为y2-5y+6=0，求出y1=2，y2=3，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解.
1 / 1浙江绍兴元培学校2025-2026学年八年级下学期数学学情自测一元二次方程独立作业
1．（2026八下·绍兴月考）若 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为(　　)．
A．m≠2 B．m>2 C．m<2 D．02．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 化为 的形式，则a+b的值为(　　)．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
3．（2026八下·绍兴月考）下列方程中，有两个相等的实数根的是(　　)．
A． B． C． D．
4．（2026八下·绍兴月考）若一个三角形两条边长为2和4，第三条边长满足方程 则此三角形的周长为(　　)．
A．8 B．11 C．8或11 D．8或10
5．（2026八下·绍兴月考）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等诸多优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为(　　).
A． B．2020(1+2x)=4000
C． D．
6．（2026八下·绍兴月考）甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙写错了一次项系数，得到方程的两根是-9和-1，则原来的方程是(　　)．
A． B．
C． D．
7．（2026八下·绍兴月考）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则代数式 的值为(　　)．
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
8．（2026八下·绍兴月考）已知关于x的方程 的解 是(a，m，b均为常数，a≠0)则方程 的解是(　　)．
A． B． C． D．无法求解
9．（2026八下·绍兴月考）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是(　　)．
A．11 B．20 C．28 D．36
10．（2026八下·绍兴月考）对于一元二次方程 下列说法中正确的个数是（　　）
①若x=c是方程 的一个根，则一定有 ac+b+1=0成立：
②若方程 有两个不相等的实数根，则方程 必有两个不相等的实数根：
③若a+c=b，则方程 有一根为x=-1：
④若b=2a+3c，则方程 有两个不相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 化为一般式为　 　．
12．（2026八下·绍兴月考）关于 x 的一元一次方程 有实数根，则k 的取值范围为　 　．
13．（2026八下·绍兴月考）如图，在长为32m，宽为20m的长方形底面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，设道路的宽为x米，可列方程为　 　．
14．（2026八下·绍兴月考）一元二次方程 的两根为a与b，则 的值是　 　．
15．（2026八下·绍兴月考）若关于x的一元二次方程 有一根为x=m，则关于x的一元二次方程 必有一根为　 　．
16．（2026八下·绍兴月考）定义：关于x的一元二次方程： m、n是常数， 与 m、n是常数， 称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 与 (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 的最小值是　 　．
17．（2026八下·绍兴月考）解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．（2026八下·绍兴月考）已知m，n是方程 的两个实数根，求代数式 的值．
19．（2026八下·绍兴月考）已知
（1）判断A， B的大小关系．
（2）若 求x+y+z的值．
20．（2026八下·绍兴月考）关于x的一元二次方程
（1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且满足 求k的值．
21．（2026八下·绍兴月考）亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计，“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的平均增长率都相同，求月平均增长率是多少
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件；售价每降价0.5元，每天可多售出2件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元
22．（2026八下·绍兴月考） 如图， 中， 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）t为何值是，PQ的长度等于．
（2）线段 PQ能否将 分成面积3：5的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由．
23．（2026八下·绍兴月考）【阅读材料】
解方程： 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 则 于是原方程可转化为 解得
当y=1时， 所以x=±1；当y=4时， 所以= x=±2．
所以原方程有四个根：
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】
（1）在解方程 时，若设 则原方程可转化为　 　．
（2）若 则 　 　．
（3）参照上面解题的思想方法解方程：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵原方程(m-2)x2-3x-n=0是关于x的一元二次方程，
∴m-2≠0，
解得m≠2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，据此列出不等式即可得到m的取值范围.
2．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x-2017=0，
x2-6x=2017.
x2-6x+9=2026，
(x-3)2=2026
所以a=-3，b=2026，
所以a+b=-3+2026=2023
故选：A.
【分析】利用配方法解方程的方法把原方程变形为(x-3)2=2026，从而得到a、b的值，然后计算它们的和即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、方程为x2+3x=0，a=1，b=3，c=0，
Δ=32-4×1×0=9>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、整理得x2+4x-4=0，a=1，b=4，c=-4，
Δ=42-4×1×(-4)=32>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、整理得x2+2x+1=0，a=1，b=2，c=1，
Δ=22-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根，符合题意；
D、方程为x2-4=0，a=1，b=0，c=-4，
Δ=02-4×1×(-4)=16>0，
∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：C.
【分析】先将各选项方程整理为一般形式，通过判别式Δ=b2-4ac的值判断根的情况，找出Δ=0的选项即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵x2-7x+10=0
∴(x-2)(x-5)=0，
则x-2=0或x-5=0，
解得x=2或x=5，
当x=2时，2，2，4不能构成三角形，舍去；
当x=5时，此三角形的周长为2+4+5=11.
故选：B.
【分析】利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得.
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设新能源汽车的年平均增长率为x，
可列方程为2020(1+x)2=4000.
故答案为：C.
【分析】设新能源汽车的年平均增长率为x，则2025年底的保有量为2020(1+x)万辆，2026年底的保有量为2020(1+x)(1+x)=2020(1+x)2万辆，即可列出正确方程.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：能，
理由如下：设此方程的两个根是α、β，
根据题意得：，，
∵a=1，
∴b=-10， c=9，
∴原来的方程是x2-10x+9=0
故选：B.
【分析】先设这个方程的两根是α、β，甲把常数项看错了，解得两根为8和2，则有，由于乙把一次项系数看错了，而解得方程的两根为-9和-1，则有，那么关于α、β为根的一元二次方程即为所求.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根
∴，
则2k2+4k=1
∴2026-2k2-4k=2026-(2k2+4k)=2026-1=2025
故选：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可.
8．【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令y=3x+1，则方程a(3x+m+1)2+b=0可变形为a(y+m)2+b=0，
∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解为x1=-2，x2=1，
∴y1=-2，y2=1
即3x+1=-2或3x+1=1，
解得x1=-1或x2=0，
∴方程a(3x+m+1)2+b=0的解是x1=-1，x2=0.
故答案为：B.
【分析】利用换元法，将新方程中的3x+1看作整体，对应原方程的x，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根
∴a+b=2t，ab=t2-2t+4，
∴(a+4)(b+4)=ab+4(a+b)+16=t2-2t+4+8t+16=t2+6t+20=(t+3)2+11
又∵Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-16≥0，
∴t≥2，
则当t=2时，(a+4)(b+4)有最小值为：52+11=36.
故答案为：D.
【分析】先利用韦达定理表示出a+b和ab，再据此表示出(a+4)(b+4)，并求出最小值即可.
10．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：已知x=c是方程ax2+ba+c=0的一个根，将x=c代入方程可得：ac2+bc+c=0
当c=0时，ac2+bc+c=0恒成立，但此时ac+b+1=b+1不一定等于0；
当c≠0时，方程ac2+bc+c=0两边同时除以c，可得ac+b+1=0；
所以①错误；
对于方程ax2+c=0，移项可得ax2=-c，即
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴，即ac<0，
对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2-4ac，
因为任何数的平方都大于等于0，所以b2≥0，
又因为ac<0，
所以-4ac>0，则b2-4ac>0，即方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，
所以②正确；
当x=-1时，将其代入方程ax2+bx+c=0可得：a×(-1)2+b×(-1)+c=a-b+c
已知a+c=b，移项可得a-b+c=0，
所以x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根，
所以③正确；
已知b=2a+3c，对于方程ax2+bx+c=0，其判别式Δ=b2-4ac，
将b=2a+3c代入可得：Δ=(2a+3c)2-4ac
根据完全平方公式(m+n)2=m2+2mn+n2展开上式得：
Δ=4a2+12ac+9c2-4ac=4a2+8ac+9c2
进一步变形可得：
Δ=4a2+8ac+4c2+5c2=4(a+c)2+5c2
因为(a+c)2≥0，c2≥0，
所以4(a+c)2+5c2>0，即Δ>0，
所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
所以④正确；
故答案为：C.
【分析】对于①，将x=c代入方程，根据c是否为0进行讨论；对于②，根据方程ax2+c=0有两个不相等的实数根得出ac<0，再据此判断方程ax2+bx+c=0的判别式Δ的正负；对于③，将x=-1代入方程，结合a+c=b进行验证；对于④，将b=2a+3c代入方程ax2+b+c=0的判别式Δ，判断其正负.
11．【答案】x2+2x+3=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：(x+2)2=2x+1，
展开完全平方得：x2+4x+4=2x+1
移项、合并同类项得：x2+2x+3=0.
故答案为：x2+2x+3=0.
【分析】先根据完全平方公式将方程左边展开，再通过移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式.
12．【答案】k=0
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴k=0
故答案为：k=0.
【分析】根据一元一次方程的定义求解即可.
13．【答案】(32-x)(20-x)=540
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32-x，宽为20-x，
∴可列方程为：(32-x)(20-x)=540
故答案为：(32-x)(20-x)=540.
【分析】把道路进行平移，可得草坪面积=长为32-x，宽为20-x的面积，把相关数值代入即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可知：α+β=3，αβ=-2，
∴
故答案为：.
【分析】把变形为，然后利用根与系数的关系求得α+β=3，αβ=-2，最后代入到中，即可求解.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的一个根，
∴am2+bm+c=0，
∴，
∴，
∴是方程cx2-bx+a=0(ac≠0)的一个根
故答案为：.
【分析】根据x=m满足方程ax2+bx+c=0，得到am2+bm+c=0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根.
16．【答案】2026
【知识点】解二元一次方程组；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：由“同族二次方程"定义，方程ax2+bx+5=0可写为a(x-1)2+1=0，
展开得ax2-2ax+a+1=0，与ax2+bx+5=0比较系数，
得，解得a=4，b=-8
∴ax2-bx+2030=4x2+8x+2030=4(x+1)2+2026，
∵(x+1)2≥0，
∴最小值为2026.
故答案为：2026.
【分析】根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值.
17．【答案】（1）解：配方，得x2-6x+9=1+9
整理，得(x-3)2=10
解得，.
（2）解：2x2-5x+2=0，
∴(x-2)(2x-1)=0，
则x-2=0或2x-1=0，
解得x1=2，
（3）解：(x-3)2-2x(x-3)=0，
(x-3)(x-3-2x)=0，
(x-3)(-x-3)=0，
∴x-3=0或-x-3=0，
∴x1=3或x2=-3
（4）解：由2x2+2x+1=0，
则：a=2，b=2，c=1，
∴Δ=b2-4ac=4-4×2×1=4-8=-4<0，
∴原方程无实数根
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法，可得方程的解；
(2)利用因式分解法求解即可；
(3)利用因式分解的方法求解方程结果即可；
(4)利用公式法求解方程结果即可.
18．【答案】解：∵m，n是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，
∴m2-2m=1，n2-2n=1， n2=2n+1，
∴或
∴m2+4m+n2+2n+3=m2+4m+4+n2+2n+1-2=(m+2)2+(n+1)2-2
当时，原式
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】利用m，n是方程解的关系得到关系式，然后进行化简求值即可.
19．【答案】（1）解：A-B=(x2+2x-6y)-(-y2+4x-10)
=x2+2x-6y+y2-4x+10
=x2-2x+1+y2-6y+9
=(x-1)2+(y-3)2，
∵(x-1)2≥0，(y-3)2≥0，
∴A-B≥0，
∴A≥B；
（2）解：∵A=B-|z-1|，
∴A-B+|z-1|=0，
由(1)得：A-B=(x-1)2+(y-3)2，
∴(x-1)2+(y-3)2+|z-1|=0，
∵(x-1)2≥0，(y-3)2≥0，|z-1|≥0
∴(x-1)2=0，(y-3)2=0，|z-1|=0，
∴x-1=0，y-3=0，z-1=0，
∴x=1，y=3，z=1，
∴x+y+z=5.
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；绝对值的非负性；整式的大小比较
【解析】【分析】(1)用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系；
(2)由(1)得：A-B=(x-1)2+(y-3)2，从而得到(x-1)2+(y-3)2+|z-1|=0，利用平方和绝对值的非负性判断大小关系.
20．【答案】（1）解：根据题意得Δ=(2k-2)2-4(k2+3)≥0，
解得k≤-1；
（2）解：根据题意得：x1+x2=2k-2，x1x2=k2+3
∵(x1-1)(x2-1)=14，
∴x1x2-(x1+x2)+1=14
即k2+3-(2k-2)+1=14，
整理得 k2-2k-8=0，
解得k1=-2，k2=4，
∵k≤-1
∴k=-2.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)由该方程有两个实数根得到Δ≥0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k-2，x1x2=k2+3，再根据(x1-1)(x2-1)=14得到k2+3-(2k-2)+1=14，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值.
21．【答案】（1）解：设月平均增长率是x，
依题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).
答：月平均增长率是20%.
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80-y-40)元，每天的销售量为(20+4y)件，
依题意得：(80-y-40)(20+4y)=1400，
整理得：y2-35y+150=0，
解得：y1=5，y2=30.
又∵要尽量减少库存
∴y=30.
答：售价应降低30元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率是x，依题意得：5(1+x)2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)，从而得到月平均增长率是20%；
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80-y-40)元，每天的销售量为(20+4y)件，依题意得：(80-y-40)(20+4y)=1400，根据“要尽量减少库存“舍去y=5，从而得到售价应降低30元.
22．【答案】（1）解：设经过t秒后，PQ的长度等于，
∵点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设运动时间为t秒
∴AP=t cm， BQ=2t cm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm，
当时，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2=PQ2
∴，
整理得：5t2-12t+4=0，
解得：，t2=2；
∴当，t2=2时，PQ的长度等于.
（2）解：线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分；
理由如下：
设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
依题意得：△ABC的面积，BP=AB-AP=(6-y)cm， BQ=2ycm，
①当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：，
整理得：y2-6y+9=0，
解得：y=3；
②当△BPQ的面积为△ABC面积的时，
依题意得：
整理得：y2-6y+15=0，
∵Δ=36-60<0，
∴方程无实数根
∴经过3秒时，线段PQ能将△ABC分成面积3：5的两部分
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形的面积；勾股定理；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【分析】(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可；
(2)分△BPQ的面积为△ABC面积的和△BPQ的面积为△ABC面积的，列出方程进行求解即可.
23．【答案】（1）y2-4y-12=0
（2）
（3）解：
设，则原方程可转化为y2-5y+6=0，
解得：y1=2，y2=3，
当y1=2时，，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-2≠0，
∴x=4是原方程的解；
当y2=3时，，
解得：x=3，
检验：当x=3时，x-2≠0，
∴x=3是原方程的解；
综上所述，原方程的解是x1=3，x2=4.
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(1)(x2+x)2-4(x2+x)-12=0，
设y=x2+x，则原方程可转化为y2-4y-12=0；
故答案为：y2-4y-12=0.
(2)(m2+n2-3)(2m2+2n2-4)=8，
设x=m2+n2，则原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8，
即x2-5x+2=0
∵Δ=(-5)2-4×1×2=17>0，
∴
即
故答案为：.
【分析】(1)直接代入得关于y的方程，即可得到结果；
(2)设x=m2+n2，则原方程可转化为(x-3)(2x-4)=8，x的方程得出，即可求解；
(3)设，则原方程可转化为y2-5y+6=0，求出y1=2，y2=3，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解.
1 / 1

展开更多......

收起↑