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高二4月数学B试题
一、单选题
1．若随机变量的分布列为（），则（ ）
A．0 B． C． D．3
2．在空间四边形中，分别为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线：（，）的离心率为2，则轴正半轴上到的渐近线距离为2的点的横坐标为（ ）
A． B．4 C． D．
5．近年来中国无人驾驶汽车产业持续增长．已知某无人驾驶汽车公司年的营业额（单位：亿元）依次为，记年的年份代码依次为，则下列最适合作为与的回归方程的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正项等比数列的公比为（），前99项和为，数列的前99项和为，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
7．甲是某球队的替补球员，已知该球队的胜率为，每场比赛中甲上场的概率为，设甲上场的条件下该球队获胜的概率为，在该球队获胜的比赛中甲未上场的概率为，若，则甲上场且该球队获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点是椭圆：上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．下列结论正确的是（ ）
A．的展开式中第5项的二项式系数最大
B．若，则
C．若，则方程表示19条不同的直线
D．从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的值
11．若数列满足：存在正整数，使得时恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”. 已知无穷数列是“3阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在正整数，使得
C．存在无穷多个正整数，使得
D．当，且的前项和为2026时，
三、填空题
12．的展开式中的常数项为______.
13．已知圆的圆心在直线上，若直线与被圆所截得的弦长均为2，则圆的标准方程为______.
14．已知数列的前项和满足，则的最小值为______.
四、解答题
15．某市环境监测部门为研究该市空气质量与风向的关联，连续记录了该市天的气象与空气质量数据，其中空气质量分为“优良”与“污染”两类，风向分为“西北风”与“东南风”两类，得到如下列联表：
优良 污染 总计
西北风
东南风
总计
(1)能否有的把握认为该市空气质量与风向有关？
(2)已知在污染天气中有的概率伴随重度超标，在优良天气中有的概率伴随重度超标，若从这天中随机抽取天，求该天重度超标的概率．
附：.
16．已知等差数列的前项和为，且.
(1)求与；
(2)若，求的前项和.
17．如图，在直三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，为的中点，，点满足.
(1)求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
18．某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立.
(1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率；
(2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望；
(3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求.
19．已知曲线：经过椭圆：（，，）的左、右顶点，，圆：（）的圆心为的一个焦点.
(1)求，的方程，并判断与的公共点个数.
(2)若，
（ⅰ）证明：上的点都在圆内；
（ⅱ）已知圆与直线分别交于点，（点在轴左侧），点（），直线，分别与交于另外一点，，当变动时，证明直线，的斜率之积为定值，且直线过定点.
参考答案
1．C
【详解】由题意得，
所以.
2．A
【详解】因为分别为线段的中点，
所以，，
因为，，
两式相加，得，所以．
3．B
【详解】因为，所以，
从而有，所以.
4．D
【详解】由的离心率为2，得，得，
所以的一条渐近线的方程为，
设所求点的坐标为（），则，解得.
5．B
【详解】画出简要散点图可知营业额呈指数级增长，B选项最适合．
6．C
【详解】由题知数列，，均为等比数列，
首项分别为，，，公比分别为，，，
且，，
设数列的前99项和为，
则，
所以，所以.
7．B
【详解】设“该球队获胜”为事件，“甲上场”为事件，
由题意知，，，即，
所以，
又因为，所以.
故选：B
8．B
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，
由椭圆的定义得，设，
则
，
当点为线段的延长线与的交点时取等号．
9．AD
【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确；
对于B，因为，所以，，共面，故B错误；
对于C，因为，
所以，，共面，故C错误；
对于D，假设，，共面，
则存在实数，，使得，
因为，，不共面，所以，
该方程组无解，所以假设不成立，故D正确.
10．ABC
【详解】对于A，展开式共有9项，正中间项即第5项的二项式系数最大，故A正确；
对于B，，
令，得，令，得，
故，则，故B正确；
对于C，因为，所以总共有个方程，
当时，方程都表示直线，故减去4条重复的，
方程与表示同一条直线，
方程与表示同一条直线，再减去2条重复的，
故符合条件的有条直线，故C正确；
对于D，根据题意，所得结果有，，，，，共10个不相等的值，故D错误.
11．ACD
【详解】对于A，由题意知，，两式相减，得，故A正确；
对于B，数列的前6项依次为，均不为，又，故B错误；
对于C，由B中分析可得，即均有，故C正确；
对于D，因为，且的前3项依次为，
记的前项和为，则由周期性可得，，
当的前项和为时，，故D正确.
12．
【详解】因为，
二项式的展开式的通项为，，
所以的展开式中的常数项，
所以的展开式中的常数项，
所以的展开式中的常数项，
故的展开式中的常数项为.
13．
【详解】两平行直线，均与直线垂直，
且交点分别为，，
所以圆心为的中点，所以，
点到直线的距离，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为.
14．/
【详解】因为，当时，，得.
当时，，
即，整理可得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
当为奇数时，，
，，且随着的增大而减小，而，此时；
当为偶数时，，
，，且随着的增大而增大，而，此时.
则的最小值为.
15．(1)有的把握认为该市空气质量与风向有关
(2)
【详解】（1）根据表中数据得，
所以有的把握认为该市空气质量与风向有关．
（2）从这天中随机抽取天，记该天空气优良为事件，
则该天空气污染为，该天重度超标为事件.
由已知得，，，，
所以．
16．(1)，.
(2)
【详解】（1）设的公差为.由，得
解得，，所以，
.
（2）由（1）知，，
所以，
所以.
17．(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）如图，连接.
因为为的中点，所以，
因为，所以，
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）在直三棱柱中，，
因为，，，所以，
所以，所以，，两两互相垂直.
在中，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
设平面的法向量为，
则，即，
取，得.
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)
1 2 3
(3)
【详解】（1）因为，所以，，
所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，
所以从该批零件中随机抽取个，
恰好有个为优质品的概率为.
（2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为.
由题意得，，
所以，
因为，
当时，，
当时，，
所以.
由题意可得的所有可能取值为1，2，3，
，，，
所以的分布列为
1 2 3
；
（3）记第次检测到的零件质量指标大于为事件（），则.
要使，需满足下面三个条件：
①第6，7，8个零件的质量指标均大于50；
②第5个零件的质量指标不大于50；
③前4个零件不出现连续3个零件的质量指标大于50.
所以
.
19．(1)的方程中，，的方程为，与只有2个公共点，.
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由圆：可知圆心为，
因为圆心为的一个焦点，所以，且，
又因为在曲线的方程中，，且经过的两个顶点，
所以，解得，
故的方程为，
则，的方程为，
将与联立，得，
即，解得，
所以与只有2个公共点，.
（2）（ⅰ）由（1）知的方程为，
因为，所以，
即曲线上的点都在圆：内，
因为当时，圆是以为圆心，为半径的圆，
圆与圆的圆心距，两圆内切，
所以圆在圆内，则曲线上的点都在圆内.
（ⅱ）由题意得，，
由得直线，的斜率分别为，，
易知为圆的直径，则，所以的斜率为，
所以，的斜率之积为，为定值，
由可知直线的斜率不为零，设，，：，
将直线与联立得，
所以，，
因为，的斜率之积为，
所以
，
整理得，
即，
因为直线不过点，
所以，所以，，
代入，得，该直线过定点.

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