资源简介

云南民族大学附属高级中学2026年届高三高考考前适应性训练
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，共线，则的值为（ ）
A．2 B．8 C． D．
4．函数（）的最小值为（ ）
A．9 B．12 C． D．
5．已知等比数列的前项的乘积为，若，则下列选项一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．以直线为渐近线且过点的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，点在底面圆上，点为的中点，，则二面角正切值的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．若，且，则（ ）
A．5 B． C． D．
二、多选题
9．关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．展开式中共有9项
B．第3项为
C．各项系数的和为256
D．二项式系数的最大值为70
10．若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
11．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，为坐标原点，为上与，不重合的动点，则（ ）
A．的最小值为
B．当直线经过点时，点到轴的距离为
C．当为钝角时，点纵坐标的取值范围是
D．当点到直线距离为时，直线的斜率为或
三、填空题
12．2025年1月—7月全国工业生产者出厂价格环比下降幅度（单位：%）依次为0.2，0.1，0.4，0.4，0.4，0.4，0.2，则这7个数据的45%分位数为______.
13．若数列满足，则称数列为平方差递推数列.若数列是平方差递推数列，且，，则的前100项的和为______.
14．若，，则实数的取值范围是______.
四、解答题
15．已知中的内角，，所对的边分别为，，，满足.
(1)求；
(2)若，函数的图像经过点，求的解析式.
16．近年来，我国新能源汽车发展势头迅猛.为支持绿色出行，某市近年来加速公共充电桩建设，研究人员记录了某品牌新型充电桩投入运营后前6周的周均单桩服务车辆数（单位：辆），数据如下所示.
第周 1 2 3 4 5 6
周均单桩服务车辆数 20 30 45 67 99 148
为分析其增长趋势，令.经初步计算，已知，，.
(1)写出关于的指数回归方程；（其中，为常数，为自然对数的底数，的计算结果保留两位小数）
(2)调查显示，使用该充电桩的车主中，随机抽取1人会参与“低碳积分”活动的概率为0.3.现随机独立抽取5名车主，求恰好有2人参与该活动的概率.
附：记一组点，…，通过最小二乘估计所得的经验回归方程为，其中，.
17．已知函数（），.
(1)若，证明：，；
(2)求函数的零点个数.
18．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，经过点，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线的方向向量为，且.
（i）求的斜率；
（ii）证明：直线与只有1个公共点.
19．如图，在平行六面体中，三棱锥是底面边长为的正三棱锥.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)已知.
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）若点、、、都在球的表面上，求球的表面积.
参考答案及解析
1．A
解析：集合，集合，
所以.
2．C
解析：因为（为虚数单位）为纯虚数，
所以，解得.
3．D
解析：因为，共线，所以，解得.
4．B
解析：由题得，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
则函数（）的最小值为12．
5．B
解析：因为等比数列的前项的乘积为，设公比，
所以，又因为
对于A，.，因为无法求解，所以无法求出结果；
对于B，，故B正确.
对于C，，因为无法求解，所以无法求出结果；
对于D，，因为无法求解，所以无法求出结果.
6．D
解析：由双曲线的渐近线为直线，设该双曲线方程为，
由该双曲线过点，得，解得，
所以所求双曲线方程为，即.
7．A
解析：由题意可知等腰直角三角形是圆锥的轴截面，
所以平面，是底面圆的直径，，
因为点在底面圆上，所以，
因为，所以，
以点为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，
取平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，由图可知，
则，
所以，.
8．C
解析：由，得，
则
，
由，，可得，
又，则，
所以.
9．ABD
解析：对于A，二项式的展开式中共有项，故A正确；
对于B，第3项为，故B正确；
对于C，令，得各项系数的和为，故C错误；
对于D，二项式系数的最大值为，故D正确.
10．BC
解析：当 时，，则，得，
所以，则“”是“”的充分必要条件，A不正确；
当 时，，则，得，所以，
当，则，得，
所以或，则不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，B正确；
当 时，，则，得，所以，
当，则，得，
所以或，则不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
当时，由，即不成立，
且时有，显然不成立，
所以“”不是“”的充分不必要条件，D不正确；
11．BD
解析：对于A，因为点在抛物线：上，所以，解得，
所以抛物线的方程为，所以焦点，
设，由焦半径公式得，
所以无最小值，故A错误；
对于B，由，，可得，
所以直线的方程为，即，
联立，解得或，即，
所以点到轴的距离为，故B正确；
对于C，设，则，，
所以，若为钝角，则，
即，解得，故C错误；
对于D，设直线的方程为，即，
因为点到直线距离为，可得，
解得或，故D正确.
12．
解析：将数据由小到大依次排序：0.1，0.2，0.2，0.4，0.4，0.4，0.4，
由于，则这7个数据的45%分位数
13．1
解析：由题意可知,,
,,,
所以数列是从第2项起，周期为3的数列.
则的前100项的和.
14．
解析：由题知，恒成立，
即，即对于恒成立，
令，则，
而在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即得，即，所以对于恒成立，
令，则，
所以当时，；
当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
所以，所以，又.
所以实数的取值范围是.
15．(1)
(2)
解析：（1）由，得，
所以，即，
又因为，所以，所以，解得，
所以；
（2）由（1）知，
又因为函数的图像经过点，
所以，解得.
由正弦定理可得，所以.
所以，所以，又，所以，
所以，又，所以，
所以.
16．(1)
(2)
解析：（1）令，则原指数方程可转化为线性回归方程：,
即，其中,
由，，，
可得，
,，
所以，，
所以,
由得,
则关于的指数回归方程；
（2）设事件为“恰好有2人参与该活动”，
所以.
17．(1)证明见解析；
(2)有个零点.
解析：（1）当时，，
要证：，，只需证：，，
令，
故只需证：，即可，
，
当时，，故，
即在上单调递减.
又，
所以当时，，即，
故，.
（2）
定义域为：，，
令，即，判别式，
所以方程有两个实根：或
因，故（舍去），，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
故在处取得最大值
由于，所以
所以，
设，，
，所以在上单调递增，
又，所以，所以，
当时，，当时，.
由于，即是的一个零点.
又在单调递增，在单调递减；
则函数的零点有个.
所以，当时，有个零点.
18．(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
解析：（1）由椭圆：的离心率为，得，则，
由点在椭圆上，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）椭圆：的左焦点，右焦点，
直线的斜率分别为，
令的平分线交轴于点，显然不垂直于轴，设其斜率为，
而，则，，
由，得，
即，则，
则，又，解得，
而，又，则，即，
所以直线的斜率.
（ii）由（i）得直线的方程为，即，
由消去并整理得，，
所以直线与相切，直线与只有1个公共点.
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）.
解析：（1）连接交于点，连接，
在平行六面体中，四边形为平行四边形，
由题意可知是边长为的等边三角形，故四边形为菱形，
所以为的中点，且，
因为三棱锥是底面边长为的正三棱锥，所以，，
所以，，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
在平行六面体中，，所以，
又因为，，故四边形为矩形.
（2）（i）因为，，且是边长为的等边三角形，
所以，则，
又因为，所以，
由余弦定理可得，
所以，
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
过点且在平面内且垂直于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，则，
，即点，
设点，则，且，
所以，解得，即点，
因为平面，平面，所以，
所以平面与平面夹角为或其补角，
，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（ii）易知点、、、，
设球心为，由，
解方程组，解得，
所以球的半径为，
所以球的表面积为.

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