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四川省乐山市马边彝族自治县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·马边期中）的绝对值为（　　）
A． B．2025 C． D．
2．（2025九下·马边期中）如图是由6个相同的小立方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·马边期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·马边期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·马边期中）下面四个命题，其中真命题是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
6．（2025九下·马边期中）如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·马边期中）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
8．（2025九下·马边期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是： 甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互相交换1枚后， 甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·马边期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．（2025九下·马边期中）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·马边期中）因式分解：　 　．
12．（2025九下·马边期中）函数的自变量的取值范围是　 　．
13．（2025九下·马边期中）在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为　 　．
14．（2025九下·马边期中）如图，是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为　 　．
15．（2025九下·马边期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为　 　．
16．（2025九下·马边期中）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（－2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①；②2b－4ac＝1；③；④当－1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的结论是　 　．
三、解答题：（本大题共10个小题，共102分，其中17-19每题9分，20-24每题10分，25题12分，26题13分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2025九下·马边期中）计算：．
18．（2025九下·马边期中）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
19．（2025九下·马边期中）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=2．
20．（2025九下·马边期中）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21．（2025九下·马边期中）在眉山市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，且要求购进的电子白板不少于10台，请设计一种最省钱的方案，并说明理由．
22．（2025九下·马边期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点B到x轴的距离为2，点C的坐标为，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点A的坐标和的面积．
23．（2025九下·马边期中）2025年3月28日缅甸发生级地震，震源深度30千米，本次地震是2025年以来的最大地震，我国云南省瑞丽市458户1705人受灾，2人轻微受伤，中国在收到缅甸的请求后，第一时间赶赴灾区，如图所示，救援队从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，救援队先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）
24．（2025九下·马边期中）如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
25．（2025九下·马边期中）[提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________．
[类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论．
[迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长．
26．（2025九下·马边期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：B．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，其中正数与0的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，据此计算，即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，如图所示：
故答案为：A．
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故运算不正确，不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故运算不正确，不符合题意；
C.，故运算正确，符合题意；
D.，故运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
分别根据同底数幂除法法则、合并同类项的条件、单项式乘法法则、积的乘方运算法则，依次判断各选项运算的正确性即可.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】A． 矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直．只有正方形（特殊矩形）的对角线才垂直，故A为假命题．
B． 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形．例如，可构造对角线满足条件但对角线不互相平分的四边形不是平行四边形，故B为假命题．
C． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等．仅当菱形为正方形时对角线相等，故C为假命题．
D． 一组对边平行且一组对角相等的四边形，可通过平行线性质推导出另一组对边也平行，符合平行四边形的判定条件，故D为真命题．
故选D．
【分析】
根据矩形、正方形和菱形的性质以及平行四边形的判定解答即可.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后再根据平行线的性质解答即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：交换前的重量关系：甲袋9枚黄金与乙袋11枚白银重量相等，故有方程；
交换后的重量关系：甲袋交换后变为8枚黄金和1枚白银，总重量为；乙袋交换后变为10枚白银和1枚黄金，总重量为；等量关系为：甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减甲袋重量等于13两，故方程为；
联立得：；
故选：C．
【分析】
根据两袋初始重量相等列出 第一个方程，再根据交换1枚后的重量差列出第二个方程，从而得到方程组.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即．
所以的面积等于．
故选C．
【分析】
先利用反比例函数中过双曲线上一点与原点、坐标轴所围成直角三角形面积的定值性质，在结合两个图像可知A，C关于原点对称即可得出d的面积等于2倍的所围成的直角三角形的面积，最后即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】如图，∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
③如图，
∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，．
∵．
∵，
∴H、B、E三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
设正方形的边长为，则，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【分析】
①利用正方形的性质和已知角度可证明，进而得出，即可判断；
②利用相似三角形的性质可得，结合已知，证明是等腰直角三角形即可；
③通过将旋转得到，证明，然后再利用全等三角形的性质，得出即可；
④设正方形的边长为，则，，利用平行线分线段比例和勾股定理计算CE的长度.
11．【答案】b(a+2)（a-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
，
．
【分析】
首先提取公因式b，再利用平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得且，
解得且，
∴自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
【分析】
先根据二次根式被开方数非负求出x的取值范围，再根据分式分母不为零求出x的范围，最后取两者的公共部分即可.
13．【答案】互相垂直平分
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质，通过证明三角形全等得出线段相等关系，从而确定两条线段的关系.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；求余弦值；多边形的面积
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小直角边长为x，较长的直角边，
则有，解得：，
∴较短直角边的边长为3，则较长直角边长为4，
∴．
故答案为：．
【分析】
先根据正方形面积求出边长，进而得到直角三角形的直角边长度，再利用三角函数的定义求出的值.
15．【答案】-7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
=
=
=
=．
故答案为：．
【分析】
先利用方程根的定义将x12用含x1的式子表示，再代入所求代数式，结合韦达定理求出两根之和，进而计算出结果.
16．【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】①从图像观察，开口朝上，所以，对称轴在y轴右侧，所以，
图像与y轴交点在x轴下方，所以，
∴，所以①不正确；
②点，与y轴的负半轴交于点，且，
设代入，得：，
∵
∴，
所以②正确；
③∵，，设抛物线解析式为：，过
∴∴，所以③正确；
④如图：设，交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵对称轴，
∴
由顶点坐标公式可知
∵
∴，
由题意，
解得或者
由①知
∴，所以④不正确．
故答案为：
【分析】
首先根据抛物线与坐标轴的交点关系及已知条件得出B点的坐标，再将B点坐标再代入解析式进行计算和推理，最后根据对称轴和垂直条件进一步分析即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；绝对值的非负性；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先分别计算出各项的值：乘方的运算、根据绝对值的性质计算、特殊三角函数值计算以及零指数幂的运算，最后再进行加减运算即可解答.
18．【答案】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【分析】
先根据中点定义得到一组对边相等，再利用平行线性质得到一组对应角相等，最后结合已知的另一组对应边相等，通过全等三角形SAS判定定理完成证明.
19．【答案】解：原式=，
=，
=，
=﹣，
当x=2时，
原式=﹣=﹣2．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简括号内的的分式，将除法转化为乘法，再将式子因式分解与约分，最后将x的值代入即可.
20．【答案】（1）解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
（2）72
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）解：
【分析】
（1）通过已知的A组人数及其所占百分比求出总人数，再用总人数减去其他组人数得到C组人数，进而补全条形统计图；
（2）根据C组人数占总人数的比例求出扇形的圆心角度数（圆心角度数等于360°乘以该部分占总体的百分比）；
（3）通过画树状图展示所有等可能结果，从树状图可看出12中结果，然后在找出符合条件的结果数，最后利用概率公式计算出刚好抽到1名男生与1名女生的概率即可．
（1）解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：72；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
21．【答案】（1）设购进一台电脑需x万元，购买一台电子白板需y万元
根据题意得
解之，
答：购进一台电脑需0.5万元，购买一台电子白板需1.5万元
（2）设购进电脑m台，则购进电子白板台
则
解之，
∵ m为整数
∴，16， 17，18，19，20
∴ 有六种购进方案．
设购买总费用为w万元，则：
即
∵
∴ w随m的增大而减小
∴ 当时，
∴ 购进20台电脑，10台电子白板时总费用最低为25万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每台电脑需x万元，每台电子白板需y万元，根据已知条件列出二元一次方程组，求解方程组即可；
（2）设购进电脑m台，则购进电子白板台，根据总费用不超过30万元和购进的电子板不少于10台列出一元一次不等式组，设购买总费用为w万元，表示出，求出m的取值范围，再根据费用函数求出最省钱的方案即可.
22．【答案】（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为．
∵点B到x轴的距离为2，
∴点B的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴．
将点代入，
得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：联立，
解得，，
∵点A在第一象限，
∴，

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】
（1） 利用待定系数法，先通过点C求出一次函数解析式，再结合点B的纵坐标求出点B坐标，最后求出反比例函数解析式.
（2） 通过联立方程组求交点A的坐标；利用“割补法”将的面积转化为的面积之和进行计算即可.
（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为．
∵点B到x轴的距离为2，
∴点B的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴．
将点代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，
解得，，
∵点A在第一象限，
∴，
．
23．【答案】解：如图：由题意可得：，，
∴，
∴，
如图：过点C作垂线交延长线于点D，
∴．
在中，，
∴
∴．
又∵在中，．
∴．
∴A，C两地的距离是米．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用三角形内角和定理、等腰三角形性质以及含30°角的直角三角形的性质即可解答.
24．【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图，连结，
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正切值求边长
【解析】【分析】对于（1），根据圆周角定理求出，再根据三角形外角和公式可得，最后再根据切线的判定定理，即可得出答案；
对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得出，再根据三角形外角的性质和“等角对等边”得的长度，最后根据三角函数正切函数的定义得出答案．
25．【答案】提出问题：；
类比探究：．
证明：如图， 由（）得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
迁移应用：作，使，连接，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：提出问题：由旋转得，，
∴，
即，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】提出问题：由旋转性质知：，，进而根据SAS可证明，得到，在等量代换即可得出；
类比探究：首先可由得出，即可得出∠DCE=90°，根据勾股定理即可得出=2AD2；
迁移应用：
作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解；
26．【答案】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）或或或或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：（3）存在，理由如下：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【分析】（1）利用交点式可求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，则可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标，由于PQ垂直x轴，则由抛物线上点的坐标特征可得点Q的坐标，即线段PQ可转化为点P的横坐标的二次函数，由于二次项系数为负，再利用二次函数的性质即可求出PQ 的最大值；
（3）由（2）知，直线PQ平行y轴，若，则直线QC与DQ关于直线PQ对称，可利用待定系数法先求出直线CQ的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出直线CQ与x的交点M的坐标，则轴对称的性质结合中点坐标公式可得直线DQ与x轴的交点M`的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，再联立直线DQ与抛物线的解析式可得点D的坐标，再设出点E的坐标，则可利用两点距离公式分别表示出BD、BE、DE，再利用等腰三角形的概念分类讨论并列方程求解即可．
（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
1 / 1四川省乐山市马边彝族自治县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·马边期中）的绝对值为（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是．
故选：B．
【分析】本题主要考查了绝对值的定义，其中正数与0的绝对值等于其本身，负数的绝对值等于其相反数，据此计算，即可得到答案.
2．（2025九下·马边期中）如图是由6个相同的小立方体搭成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，如图所示：
故答案为：A．
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
3．（2025九下·马边期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故运算不正确，不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故运算不正确，不符合题意；
C.，故运算正确，符合题意；
D.，故运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
分别根据同底数幂除法法则、合并同类项的条件、单项式乘法法则、积的乘方运算法则，依次判断各选项运算的正确性即可.
4．（2025九下·马边期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米.将数字21500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 21500000=2.15×107，
故答案为：A.
【分析】 一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
5．（2025九下·马边期中）下面四个命题，其中真命题是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．菱形的对角线相等且互相垂直
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】A． 矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直．只有正方形（特殊矩形）的对角线才垂直，故A为假命题．
B． 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形．例如，可构造对角线满足条件但对角线不互相平分的四边形不是平行四边形，故B为假命题．
C． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等．仅当菱形为正方形时对角线相等，故C为假命题．
D． 一组对边平行且一组对角相等的四边形，可通过平行线性质推导出另一组对边也平行，符合平行四边形的判定条件，故D为真命题．
故选D．
【分析】
根据矩形、正方形和菱形的性质以及平行四边形的判定解答即可.
6．（2025九下·马边期中）如图，在中，，，平分，交于，，交于点，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后再根据平行线的性质解答即可.
7．（2025九下·马边期中）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
解得：
∴ 且 .
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，由此并结合题意可得△≥0且k+2≠0，代入求解可得k的范围.
8．（2025九下·马边期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是： 甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋互相交换1枚后， 甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、 白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：交换前的重量关系：甲袋9枚黄金与乙袋11枚白银重量相等，故有方程；
交换后的重量关系：甲袋交换后变为8枚黄金和1枚白银，总重量为；乙袋交换后变为10枚白银和1枚黄金，总重量为；等量关系为：甲袋比乙袋轻13两，即乙袋重量减甲袋重量等于13两，故方程为；
联立得：；
故选：C．
【分析】
根据两袋初始重量相等列出 第一个方程，再根据交换1枚后的重量差列出第二个方程，从而得到方程组.
9．（2025九下·马边期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则的面积等于（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即．
所以的面积等于．
故选C．
【分析】
先利用反比例函数中过双曲线上一点与原点、坐标轴所围成直角三角形面积的定值性质，在结合两个图像可知A，C关于原点对称即可得出d的面积等于2倍的所围成的直角三角形的面积，最后即可得出答案.
10．（2025九下·马边期中）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】如图，∵四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，故②正确，
③如图，
∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，．
∵．
∵，
∴H、B、E三点共线，
在和中，
，
∴，
∴，故③正确，
设正方形的边长为，则，，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【分析】
①利用正方形的性质和已知角度可证明，进而得出，即可判断；
②利用相似三角形的性质可得，结合已知，证明是等腰直角三角形即可；
③通过将旋转得到，证明，然后再利用全等三角形的性质，得出即可；
④设正方形的边长为，则，，利用平行线分线段比例和勾股定理计算CE的长度.
二、填空题：本大题6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025九下·马边期中）因式分解：　 　．
【答案】b(a+2)（a-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】，
，
．
【分析】
首先提取公因式b，再利用平方差公式进行因式分解即可.
12．（2025九下·马边期中）函数的自变量的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意，得且，
解得且，
∴自变量的取值范围是且，
故答案为：且．
【分析】
先根据二次根式被开方数非负求出x的取值范围，再根据分式分母不为零求出x的范围，最后取两者的公共部分即可.
13．（2025九下·马边期中）在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为　 　．
【答案】互相垂直平分
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质，通过证明三角形全等得出线段相等关系，从而确定两条线段的关系.
14．（2025九下·马边期中）如图，是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型；求余弦值；多边形的面积
【解析】【解答】解：由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，
设直角三角形中较小直角边长为x，较长的直角边，
则有，解得：，
∴较短直角边的边长为3，则较长直角边长为4，
∴．
故答案为：．
【分析】
先根据正方形面积求出边长，进而得到直角三角形的直角边长度，再利用三角函数的定义求出的值.
15．（2025九下·马边期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为　 　．
【答案】-7
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
=
=
=
=．
故答案为：．
【分析】
先利用方程根的定义将x12用含x1的式子表示，再代入所求代数式，结合韦达定理求出两根之和，进而计算出结果.
16．（2025九下·马边期中）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（－2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①；②2b－4ac＝1；③；④当－1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的结论是　 　．
【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】①从图像观察，开口朝上，所以，对称轴在y轴右侧，所以，
图像与y轴交点在x轴下方，所以，
∴，所以①不正确；
②点，与y轴的负半轴交于点，且，
设代入，得：，
∵
∴，
所以②正确；
③∵，，设抛物线解析式为：，过
∴∴，所以③正确；
④如图：设，交点为P，对称轴与x轴交点为Q，顶点为D，
根据抛物线的对称性，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵对称轴，
∴
由顶点坐标公式可知
∵
∴，
由题意，
解得或者
由①知
∴，所以④不正确．
故答案为：
【分析】
首先根据抛物线与坐标轴的交点关系及已知条件得出B点的坐标，再将B点坐标再代入解析式进行计算和推理，最后根据对称轴和垂直条件进一步分析即可.
三、解答题：（本大题共10个小题，共102分，其中17-19每题9分，20-24每题10分，25题12分，26题13分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2025九下·马边期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；绝对值的非负性；有理数混合运算法则（含乘方）；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
．
【分析】
先分别计算出各项的值：乘方的运算、根据绝对值的性质计算、特殊三角函数值计算以及零指数幂的运算，最后再进行加减运算即可解答.
18．（2025九下·马边期中）如图，点O是线段AB的中点，且．求证：．
【答案】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】证明：∵点O是线段AB的中点，
∴，
∵，
∴，
在△AOD与△OBC中，
，
∴．
【分析】
先根据中点定义得到一组对边相等，再利用平行线性质得到一组对应角相等，最后结合已知的另一组对应边相等，通过全等三角形SAS判定定理完成证明.
19．（2025九下·马边期中）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x=2．
【答案】解：原式=，
=，
=，
=﹣，
当x=2时，
原式=﹣=﹣2．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先化简括号内的的分式，将除法转化为乘法，再将式子因式分解与约分，最后将x的值代入即可.
20．（2025九下·马边期中）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为　 　度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
（2）72
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）解：
【分析】
（1）通过已知的A组人数及其所占百分比求出总人数，再用总人数减去其他组人数得到C组人数，进而补全条形统计图；
（2）根据C组人数占总人数的比例求出扇形的圆心角度数（圆心角度数等于360°乘以该部分占总体的百分比）；
（3）通过画树状图展示所有等可能结果，从树状图可看出12中结果，然后在找出符合条件的结果数，最后利用概率公式计算出刚好抽到1名男生与1名女生的概率即可．
（1）解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：72；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
21．（2025九下·马边期中）在眉山市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，且要求购进的电子白板不少于10台，请设计一种最省钱的方案，并说明理由．
【答案】（1）设购进一台电脑需x万元，购买一台电子白板需y万元
根据题意得
解之，
答：购进一台电脑需0.5万元，购买一台电子白板需1.5万元
（2）设购进电脑m台，则购进电子白板台
则
解之，
∵ m为整数
∴，16， 17，18，19，20
∴ 有六种购进方案．
设购买总费用为w万元，则：
即
∵
∴ w随m的增大而减小
∴ 当时，
∴ 购进20台电脑，10台电子白板时总费用最低为25万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每台电脑需x万元，每台电子白板需y万元，根据已知条件列出二元一次方程组，求解方程组即可；
（2）设购进电脑m台，则购进电子白板台，根据总费用不超过30万元和购进的电子板不少于10台列出一元一次不等式组，设购买总费用为w万元，表示出，求出m的取值范围，再根据费用函数求出最省钱的方案即可.
22．（2025九下·马边期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点B到x轴的距离为2，点C的坐标为，连接，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求点A的坐标和的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为．
∵点B到x轴的距离为2，
∴点B的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴．
将点代入，
得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：联立，
解得，，
∵点A在第一象限，
∴，

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】
（1） 利用待定系数法，先通过点C求出一次函数解析式，再结合点B的纵坐标求出点B坐标，最后求出反比例函数解析式.
（2） 通过联立方程组求交点A的坐标；利用“割补法”将的面积转化为的面积之和进行计算即可.
（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为．
∵点B到x轴的距离为2，
∴点B的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴．
将点代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，
解得，，
∵点A在第一象限，
∴，
．
23．（2025九下·马边期中）2025年3月28日缅甸发生级地震，震源深度30千米，本次地震是2025年以来的最大地震，我国云南省瑞丽市458户1705人受灾，2人轻微受伤，中国在收到缅甸的请求后，第一时间赶赴灾区，如图所示，救援队从A处出发，要到A地北偏东方向的C处，救援队先沿正东方向走了到达B处，再沿北偏东方向走，恰能到达目的地C处，求A，C两地的距离．（结果取整数，参考数据：）
【答案】解：如图：由题意可得：，，
∴，
∴，
如图：过点C作垂线交延长线于点D，
∴．
在中，，
∴
∴．
又∵在中，．
∴．
∴A，C两地的距离是米．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用三角形内角和定理、等腰三角形性质以及含30°角的直角三角形的性质即可解答.
24．（2025九下·马边期中）如图，线段经过圆心O，交于点为的弦，连结
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图，连结，
∵是的直径，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
在中，，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；已知正切值求边长
【解析】【分析】对于（1），根据圆周角定理求出，再根据三角形外角和公式可得，最后再根据切线的判定定理，即可得出答案；
对于（2），先根据直径所对的圆周角是直角得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得出，再根据三角形外角的性质和“等角对等边”得的长度，最后根据三角函数正切函数的定义得出答案．
25．（2025九下·马边期中）[提出问题]如图，在中，，，点是边上一点(不与重合)，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段与的数量关系为__________．
[类比探究]如图，在与中，，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段之间的数量关系，并证明你的结论．
[迁移应用]如图，在四边形中，，若，，求的长．
【答案】提出问题：；
类比探究：．
证明：如图， 由（）得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
迁移应用：作，使，连接，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：提出问题：由旋转得，，
∴，
即，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】提出问题：由旋转性质知：，，进而根据SAS可证明，得到，在等量代换即可得出；
类比探究：首先可由得出，即可得出∠DCE=90°，根据勾股定理即可得出=2AD2；
迁移应用：
作，使，连接，如图，可证，得到，又由可得，即得，进而由即可求解；
26．（2025九下·马边期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）或或或或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：（3）存在，理由如下：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【分析】（1）利用交点式可求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，则可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标，由于PQ垂直x轴，则由抛物线上点的坐标特征可得点Q的坐标，即线段PQ可转化为点P的横坐标的二次函数，由于二次项系数为负，再利用二次函数的性质即可求出PQ 的最大值；
（3）由（2）知，直线PQ平行y轴，若，则直线QC与DQ关于直线PQ对称，可利用待定系数法先求出直线CQ的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出直线CQ与x的交点M的坐标，则轴对称的性质结合中点坐标公式可得直线DQ与x轴的交点M`的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，再联立直线DQ与抛物线的解析式可得点D的坐标，再设出点E的坐标，则可利用两点距离公式分别表示出BD、BE、DE，再利用等腰三角形的概念分类讨论并列方程求解即可．
（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
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