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浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八下·柯桥期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·柯桥期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·柯桥期中）在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如表，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 181 192 181 192
方差 61 24 31 15
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025八下·柯桥期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·柯桥期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
6．（2025八下·柯桥期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·柯桥期中）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（　　）
A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数
C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数
8．（2025八下·柯桥期中）估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
9．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·柯桥期中）如图，在中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，代数式的值是(　　)
A．12 B．10 C．6 D．5
二、填空题（本大题有10题，每小题3分，共30分）
11．（2025八下·柯桥期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·柯桥期中）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是　 　．
13．（2025八下·柯桥期中）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设　 　．
14．（2025八下·柯桥期中）若是方程的一个根，则代数式的值是　 　．
15．（2025八下·柯桥期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 　 　 ．（填序号）
16．（2025八下·柯桥期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为　 　°．
17．（2025八下·柯桥期中）已知 是关于 的方程 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 的两条边长，则 的周长为　 　．
18．（2025八下·柯桥期中）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 　 　 ．
19．（2025八下·柯桥期中）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
20．（2025八下·柯桥期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 　 　 ．
三、解答题（本大题有7小题，第21～24小题每小题6分，第25～26小题8分，第27小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
21．（2025八下·柯桥期中）计算：
（1）
（2）
22．（2025八下·柯桥期中）解下列方程：
（1）
（2）
23．（2025八下·柯桥期中）如图，四边形是平行四边形，分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，交于点F和点E，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的面积．
24．（2025八下·柯桥期中）为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下
队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误
甲 m 27.5 8 2
乙 28 n 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中的_________，_________；
（2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好．
25．（2025八下·柯桥期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
26．（2025八下·柯桥期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
27．（2025八下·柯桥期中）如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、是最简二次根式，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
2．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数看，乙、丁的平均数最高，从方差看，丁的方程最小，最稳定，故最适合的是丁同学.
故答案为：D.
【分析】要选择最适合代表班级的同学，需综合考虑平均数和方差.平均数高的同学成绩更优秀，而方差小的同学成绩更稳定，因此应选择平均数高且方差小的同学.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【分析】
．
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设应邀请个队参赛，
根据题意得，，
即，
故选：．
【分析】
设应邀请个队参赛，根据相等关系" 赛程计划安排天，每天安排场比赛 "列方程即可．
7．【答案】C
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：由题意和条形图可得，
3环以下（含3环）的人数为：，故选项A不符合题意，
∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，
∴中位数是第18人的成绩，由图可知，4环的人数超过6人，
∴4环以下（含4环）的人数为：，故选项B不符合题意，
5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，
6环以下（含6环）的人数为：，故选项D不符合题意，
故选：C．
【分析】
A、观察条形统计图可直观得到3环以下（含3环）的人数是10人；
B、由于中位数是5环，且共有35名成员，则中位数是第18名成员的成绩，因此4环以下（含4环）的人数应该是17人；
C、由于5环的人数无法确定，因此5环以下（含5环）的人数也无法确定；
D、由于7环只有一人，则6环以下（含6环）的人数为34人.
8．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
；
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
先利用二次根式的乘法运算法则结合乘法分配律化原式为，再估算出的大小即可.
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：D．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先根据题目所给新定义运算法则，得出关于x的一元二次方程，再根据题意列出不等式并求解即可．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平移全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴当，的值发生变化时，代数式的值是，
故选：D．
【分析】
过点D作交的延长线于，则由平行四边形的性质可证明，则有，再利用勾股定理得关于x、y的方程并整理即可．
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】37
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据中，37出现的次数最多，故众数为37；
故答案为：37．
【分析】
首先统计每个数据出现的次数，再找出出现次数最多的数据即可.
13．【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．　
14．【答案】-9
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，
∴2a2-a-5=0，
∴2a2-a=5，
∴4a2-2a=10，
∴2a-4a2+1=-10+1=-9，
故答案为：-9．
【分析】
先根据方程的定义得出2a2-a=5，再将代数式2a-4a2+1变形为含2a2-a的形式，最后代入计算即可.
15．【答案】③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意；
③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意．
∴判定四边形一定是平行四边形的只有③．
故答案为：③．
【分析】
由同旁内角互补可得两直线平行，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
16．【答案】114
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，，
∴∠DCA=∠BAC，
根据折叠，可得∠EAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∵∠1=∠DCA+∠EAC，
又∵∠1=∠2=44°，
∴∠EAC=22°，
∴∠BAC=22°，
∴∠B=180°-44°-22°=114°，
故答案为：114．
【分析】
由两直线平行内错角相等结合折叠的性质可得∠DCA=∠EAC，再利用三角形外角的性质可得∠DCA，即∠DCB可得，再由平行四边形的邻角互补即可求得 ∠B ．
17．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得4-2（m+4）+4m=0，解得m=2，
方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故答案为：10．
【分析】将x=2代入方程求出m的值，再解出方程的根为x1=4，x2=2，根据三角形三边的关系得到等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，然后计算三角形ABC的周长即可。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得，利用平行四边形的性质得到AO的长度，再通过勾股定理计算出BO的长度，进而求得BD的长度.
19．【答案】
【知识点】点的坐标；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为，宽为，根据题意得，
，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
【分析】设长方形的长为，宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则连接BD交AC于点O得DO＝BO，又DE＝FE，则OE是的中位线，即BF等于OE的2倍，再利用AE、CE的长求出对角线AC的长，则OC可得，再利用线段的和差关系求出OE即可．
21．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式2
＝42
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质进行化简，再进行二次根式的加减混合运算.
(2)利用二次根式的性质进行混合运算.
22．【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
即，
，，
，
．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
23．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由作图方法可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形 ；
（2）解： 过点A作BC的垂线段AG .
∵
四边形ABEF是平行四边形
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点A作BC的垂线段AG，则由直角三角形两锐角互余可得，则等于的一半等于4，再利用勾股定理求出AG的长，又BE＝AB＝8，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由作图方法可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形 ；
（2）解：连接交于点L，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积是．
24．【答案】（1）；
（2）乙
（3）解：甲的综合得分为：，
乙的综合得分为：，
，
乙队员表现更好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图知，甲的平均得分，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数，
故答案为：，；
（2）
解：乙的平均得分为，甲的平均得分为，
乙的得分中位数为，甲的得分中位数为，
∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好.
【分析】
（1）先利用平均数的计算公式求解，求中位数时，由于数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为6个，则取中间两个数据的平均值即可；
（2）对比甲乙两人的平均数和中位数求解即可；
（3）先利用加权平均数计算公式分别求出甲和乙的得分，然后比较求解即可．
（1）解：由统计图知，甲的平均得分，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数，
故答案为：，；
（2）解：乙的平均得分为，甲的平均得分为，
乙的得分中位数为，甲的得分中位数为，
∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好；
（3）解：甲的综合得分为：，
乙的综合得分为：，
，
乙队员表现更好．
25．【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；

（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）需先将长和宽的二次根式化为最简二次根式，再代入长方形周长公式C=2（a+b)进行计算即可；
（2）先分别求出长方形绿地和长方形花坛的面积，利用“通道面积=绿地面积-花坛面积”求出通道面积，花坛面积的计算需要运用平方差公（a+b)(a-b)，最后根据“总价=单价 面积”计算总花费.
（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
26．【答案】（1）解：设函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，56），（14，52）代入，
∴，
解得：，
∴y＝﹣2x+80
（2）解：由题意，销售额＝x（﹣2x+8）＝﹣2x2+80x，
又销售额是1000元，
∴1000＝﹣2x2+80x．
∴2x2﹣80x+1000＝0．
∴Δ＝（﹣80）2﹣4×2×1000＝﹣1600＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到1000元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为y＝kx+b，从表格中选取两组有序数对代入解析式，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得函数解析式.
(2)由题意可得﹣2x2+80x=1000，通过根的判别式可得，故该商品日销售额不能达到1000元．
27．【答案】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，设与交于点H，先由矩形的性质可知OD是直角三角形ADF斜边AF上的中线，则OD等于AF的一半，又由矩形的对角线互相平分且相等可证明是等边三角形，则，此时为便于计算可设，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，即，再由三角形的内角和定理可得，再利用三角形的外角的性质可得，则由直角三角形两锐角互余结合同角的余角相等可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求解即可．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
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一、选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八下·柯桥期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、是最简二次根式，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
2．（2025八下·柯桥期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称又是轴对称图形，故A选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．（2025八下·柯桥期中）在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如表，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 181 192 181 192
方差 61 24 31 15
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数看，乙、丁的平均数最高，从方差看，丁的方程最小，最稳定，故最适合的是丁同学.
故答案为：D.
【分析】要选择最适合代表班级的同学，需综合考虑平均数和方差.平均数高的同学成绩更优秀，而方差小的同学成绩更稳定，因此应选择平均数高且方差小的同学.
4．（2025八下·柯桥期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【分析】
．
5．（2025八下·柯桥期中）如图，过对角线的交点O，交于E，交于F，若的周长为18，，则四边形的周长为（　　）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵过对角线的交点O，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的周长为：，
∵的周长为18，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：B．
【分析】先利用平行四边形的性质和“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用平行四边形的周长公式及等量代换可得，最后求出四边形的周长即可.
6．（2025八下·柯桥期中）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设应邀请个队参赛，
根据题意得，，
即，
故选：．
【分析】
设应邀请个队参赛，根据相等关系" 赛程计划安排天，每天安排场比赛 "列方程即可．
7．（2025八下·柯桥期中）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（　　）
A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数
C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数
【答案】C
【知识点】条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：由题意和条形图可得，
3环以下（含3环）的人数为：，故选项A不符合题意，
∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，
∴中位数是第18人的成绩，由图可知，4环的人数超过6人，
∴4环以下（含4环）的人数为：，故选项B不符合题意，
5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，
6环以下（含6环）的人数为：，故选项D不符合题意，
故选：C．
【分析】
A、观察条形统计图可直观得到3环以下（含3环）的人数是10人；
B、由于中位数是5环，且共有35名成员，则中位数是第18名成员的成绩，因此4环以下（含4环）的人数应该是17人；
C、由于5环的人数无法确定，因此5环以下（含5环）的人数也无法确定；
D、由于7环只有一人，则6环以下（含6环）的人数为34人.
8．（2025八下·柯桥期中）估计的值应在（　　）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
；
，
，
，
，
故选：C．
【分析】
先利用二次根式的乘法运算法则结合乘法分配律化原式为，再估算出的大小即可.
9．（2025八下·柯桥期中）定义新运算：，例如：，若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵该方程有实数根，
∴，
解得：．
故选：D．
【分析】
对于一元二次方程有根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．先根据题目所给新定义运算法则，得出关于x的一元二次方程，再根据题意列出不等式并求解即可．
10．（2025八下·柯桥期中）如图，在中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，代数式的值是(　　)
A．12 B．10 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平移全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
∴，
∴当，的值发生变化时，代数式的值是，
故选：D．
【分析】
过点D作交的延长线于，则由平行四边形的性质可证明，则有，再利用勾股定理得关于x、y的方程并整理即可．
二、填空题（本大题有10题，每小题3分，共30分）
11．（2025八下·柯桥期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2025八下·柯桥期中）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红杮的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是　 　．
【答案】37
【知识点】众数
【解析】【解答】解：在这组数据中，37出现的次数最多，故众数为37；
故答案为：37．
【分析】
首先统计每个数据出现的次数，再找出出现次数最多的数据即可.
13．（2025八下·柯桥期中）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设　 　．
【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案是：∠B≥90°．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．　
14．（2025八下·柯桥期中）若是方程的一个根，则代数式的值是　 　．
【答案】-9
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程2x2-x-5=0的一个根，
∴2a2-a-5=0，
∴2a2-a=5，
∴4a2-2a=10，
∴2a-4a2+1=-10+1=-9，
故答案为：-9．
【分析】
先根据方程的定义得出2a2-a=5，再将代数式2a-4a2+1变形为含2a2-a的形式，最后代入计算即可.
15．（2025八下·柯桥期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 　 　 ．（填序号）
【答案】③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意；
③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意．
∴判定四边形一定是平行四边形的只有③．
故答案为：③．
【分析】
由同旁内角互补可得两直线平行，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
16．（2025八下·柯桥期中）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，则的度数为　 　°．
【答案】114
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，，
∴∠DCA=∠BAC，
根据折叠，可得∠EAC=∠BAC，
∴∠DCA=∠EAC，
∵∠1=∠DCA+∠EAC，
又∵∠1=∠2=44°，
∴∠EAC=22°，
∴∠BAC=22°，
∴∠B=180°-44°-22°=114°，
故答案为：114．
【分析】
由两直线平行内错角相等结合折叠的性质可得∠DCA=∠EAC，再利用三角形外角的性质可得∠DCA，即∠DCB可得，再由平行四边形的邻角互补即可求得 ∠B ．
17．（2025八下·柯桥期中）已知 是关于 的方程 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 的两条边长，则 的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：把x=2代入方程x2-（m+4）x+4m=0得4-2（m+4）+4m=0，解得m=2，
方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
因为2+2=4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故答案为：10．
【分析】将x=2代入方程求出m的值，再解出方程的根为x1=4，x2=2，根据三角形三边的关系得到等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，然后计算三角形ABC的周长即可。
18．（2025八下·柯桥期中）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
.
故答案为：.
【分析】由勾股定理可得，利用平行四边形的性质得到AO的长度，再通过勾股定理计算出BO的长度，进而求得BD的长度.
19．（2025八下·柯桥期中）某数学兴趣小组的同学们，把6个形状、大小完全相同的长方形叠加成如图所示的三个上升的“L”图案，放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形的长为，宽为，根据题意得，
，解得，
点的坐标为，
故答案为：．
【分析】设长方形的长为，宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．（2025八下·柯桥期中）如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为 　 　 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】
由于平行四边形的对角线互相平分，则连接BD交AC于点O得DO＝BO，又DE＝FE，则OE是的中位线，即BF等于OE的2倍，再利用AE、CE的长求出对角线AC的长，则OC可得，再利用线段的和差关系求出OE即可．
三、解答题（本大题有7小题，第21～24小题每小题6分，第25～26小题8分，第27小题10分，共50分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
21．（2025八下·柯桥期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式2
＝42
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先利用二次根式的性质进行化简，再进行二次根式的加减混合运算.
(2)利用二次根式的性质进行混合运算.
22．（2025八下·柯桥期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
解得
（2）解：，
即，
，，
，
．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
23．（2025八下·柯桥期中）如图，四边形是平行四边形，分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，交于点F和点E，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：由作图方法可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形 ；
（2）解： 过点A作BC的垂线段AG .
∵
四边形ABEF是平行四边形
.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）过点A作BC的垂线段AG，则由直角三角形两锐角互余可得，则等于的一半等于4，再利用勾股定理求出AG的长，又BE＝AB＝8，再利用平行四边形的面积公式计算即可．
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由作图方法可得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形 ；
（2）解：连接交于点L，
∵，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积是．
24．（2025八下·柯桥期中）为了增强学生的身体素质，助力学生全方位成长，某校积极组织了形式多样的课外体育活动．在九年级举办的篮球联赛进程中，甲、乙两位队员展现出了极为出色的表现，计分组在甲、乙两位队员最近的六场比赛里，得分、篮板以及失误这三个关键维度上的统计详情如下
队员 平均每场得分 得分中位数 平均每场篮板 平均每场失误
甲 m 27.5 8 2
乙 28 n 10 3
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中的_________，_________；
（2）请从得分方面分析：甲队员、乙队员在比赛中，_________（填“甲”或“乙”）队员表现更好；
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较哪位队员表现更好．
【答案】（1）；
（2）乙
（3）解：甲的综合得分为：，
乙的综合得分为：，
，
乙队员表现更好．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图知，甲的平均得分，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数，
故答案为：，；
（2）
解：乙的平均得分为，甲的平均得分为，
乙的得分中位数为，甲的得分中位数为，
∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好.
【分析】
（1）先利用平均数的计算公式求解，求中位数时，由于数据已按照从小到大的顺序排列且数据总个数为6个，则取中间两个数据的平均值即可；
（2）对比甲乙两人的平均数和中位数求解即可；
（3）先利用加权平均数计算公式分别求出甲和乙的得分，然后比较求解即可．
（1）解：由统计图知，甲的平均得分，
把乙的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三次、第四次的成绩分别为28和30，
乙的中位数，
故答案为：，；
（2）解：乙的平均得分为，甲的平均得分为，
乙的得分中位数为，甲的得分中位数为，
∴甲队员、乙队员在比赛中，乙队员表现更好；
（3）解：甲的综合得分为：，
乙的综合得分为：，
，
乙队员表现更好．
25．（2025八下·柯桥期中）某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；

（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）需先将长和宽的二次根式化为最简二次根式，再代入长方形周长公式C=2（a+b)进行计算即可；
（2）先分别求出长方形绿地和长方形花坛的面积，利用“通道面积=绿地面积-花坛面积”求出通道面积，花坛面积的计算需要运用平方差公（a+b)(a-b)，最后根据“总价=单价 面积”计算总花费.
（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
26．（2025八下·柯桥期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：设函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，56），（14，52）代入，
∴，
解得：，
∴y＝﹣2x+80
（2）解：由题意，销售额＝x（﹣2x+8）＝﹣2x2+80x，
又销售额是1000元，
∴1000＝﹣2x2+80x．
∴2x2﹣80x+1000＝0．
∴Δ＝（﹣80）2﹣4×2×1000＝﹣1600＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到1000元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数关系式为y＝kx+b，从表格中选取两组有序数对代入解析式，利用待定系数法解得k、b的值，进而求得函数解析式.
(2)由题意可得﹣2x2+80x=1000，通过根的判别式可得，故该商品日销售额不能达到1000元．
27．（2025八下·柯桥期中）如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结，
（1）如图2，点F与D重合时，
①求的面积．
②当最短时，求的长．
（2）如图3，当时，连结，若，求的长．
【答案】（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题；
②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题；
（2）连结交于点O，连结，设与交于点H，先由矩形的性质可知OD是直角三角形ADF斜边AF上的中线，则OD等于AF的一半，又由矩形的对角线互相平分且相等可证明是等边三角形，则，此时为便于计算可设，则由等边对等角结合三角形外角的性质可得，即，再由三角形的内角和定理可得，再利用三角形的外角的性质可得，则由直角三角形两锐角互余结合同角的余角相等可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理求解即可．
（1）解：①∵，
∴矩形面积15，
∵，
∴；
②记与交点为O，
∵，
∴，
当时，最小，即为最小，
此时四边形为矩形，
∴；
（2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H，
∵，
∴，
∴为矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴．
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