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浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八下·余杭期中）下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x+1=0 B．x2-4x C．x2+2x-3=0 D．x-2y=3
2．（2025八下·余杭期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·余杭期中）某地一周每一天的平均气温与天数如表所示，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：）是（　　）
平均气温 26 27 28 30
天数 1 2 1 3
A．26 B．27 C．28 D．30
4．（2025八下·余杭期中） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·余杭期中）用配方法解方程x2+6x=7，应在方程两边同时加上（　　）
A．9 B．6 C．36 D．3
6．（2025八下·余杭期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·余杭期中）当时，代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·余杭期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·余杭期中）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
10．（2025八下·余杭期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·余杭期中）若的值为零，则的值是　 　．
12．（2025八下·余杭期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是　 　.
13．（2025八下·余杭期中）一组数据的平均数为4，则的值是　 　．
14．（2025八下·余杭期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是　 　平方单位．
15．（2025八下·余杭期中） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
16．（2025八下·余杭期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八下·余杭期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·余杭期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·余杭期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题．
（1）画一个面积为12的，使它的顶点都在格点上；
（2）求该平行四边形的周长．
20．（2025八下·余杭期中）某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：
甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8；
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10．
请根据信息回答问题：
级别 平均数 众数 中位数 方差
甲 8
乙 8 8 0.8
（1）求的值；
（2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由．
21．（2025八下·余杭期中）如图，在中，对角线相交于点分别平分与．
（1）求证：；
（2）猜想与的关系，并证明你的猜想．
22．（2025八下·余杭期中）某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近．为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造．相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中，斜坡的坡比为3.1，坡长米．
（1）求该斜坡的竖直高度；
（2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，且保证坡脚处到点的仰角不得低于，问最多削进多少米？
23．（2025八下·余杭期中）已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
（3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
24．（2025八下·余杭期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为．
（1）求证：；
（2）当时，求．
（3）若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+1=0是等式，但最高次数为1，则不是一元二次方程；
B、x2-4x不是等式（缺少“=0”），无法构成方程，则不是一元二次方程；
C、x2+2x-3=0是等式，最高次数为2，则是一元二次方程；
D、x-2y=3是等式，但含有两个未知数x和y，则不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此逐项分析即可求解.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：根据题意，得30出现了3次，且出现的次数最多，
∴众数是30，
故答案为：D．
【分析】根据众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的那个数，据此即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程中的一次项系数为6，
∴需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为完全平方形式，题目中方程为，二次项系数已为1，常数项已移至右边，只需通过配方将左边配成完全平方式，这需要在两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分，据此即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质直接进行化简计算即可.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵该县2022年接待游客15万人次，且年平均增长率为，
∴2023年接待游客人次，
∴2024年接待游客人次，
∵2024年增长至46万人次，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据该县2022年接待游客人次以及年平均增长率为，得到2023年以及2024年接待游客人次，然后结合2024年增长至46万人次，即可列出方程.
9．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【分析】
本题考查解一元二次方程的求根公式和勾股定理，先通过求根公式计算出方程正根，再在直角三角形中利用勾股定理求得AB，进而得AD=AB-BD=，故AD的长是方程的一个正根．
10．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，得奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，第行有个数，且第个数为，
∴前行的总个数为：（个），
∵，
∴数是第个数，
∵，
∴数在第行，
∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列
∴在第行第个数，
∴数所在的位置可表示为，
故答案为：D．
【分析】由数可知奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，第行有个数，且第个数为，从而得到前行的总个数，然后求出数是第个数，进而确定数在第行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数的位置，则可得到答案．
11．【答案】
【知识点】求二次根式中的参数
【解析】【解答】解：∵的值为零，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质得到，然后解一元一次方程即可求解.
12．【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：一个四边形，它的外角和的度数是：
故答案为：360°.
【分析】根据多边形外角和公式计算即可.
13．【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：一组数据的平均数为4，
4×4=2+3+5+a，
解得，
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义可得一组数据的和等于这组数据的个数与平均数的积，据此建立方程，求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是正三角形，且边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个路标的面积是平方单位，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质得到，从而得，进而利用勾股定理得到，然后利用三角形的面积公式求出的面积即可求解．
15．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，进而根据等腰三角形判定得到，于是得到，，则可推出，然后根据列式进行求解即可．
17．【答案】（1）解：原式=2×2-+2
=
=.
（2）解：原式=
=
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.
18．【答案】（1）解：，
或，
解得：，
（2）解：∵，
∴，
或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”解一元二次方程即可求解；
（2）利用“十字相乘法”分解因式，然后解一元二次方程即可求解.
（1）解：，
或，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
或，
解得，．
19．【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：由（1）得，，
∴平行四边形的周长为：
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据的面积为12，可知当高为3时可得平行四边形的一边长为4，然后将向右平移4格即可得到所求平行四边形；
（2）根据网格利用勾股定理求出平行四边形的边长，利用周长公式即可求解.
（1）解：如图所示：
为所作平行四边形；
（2）解：如图所示：
则，，
∴．
20．【答案】（1）解：∵甲的成绩为：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10，
，，
∴，
∵乙的成绩为：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10，
（2）解：选择甲参加市里比赛，理由如下：
∵甲乙两人的平均数，众数，中位数都相等，且两人方差，
∴选择甲参加市里比赛
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据甲乙成绩，结合平均数，众数，中位数，方差的定义以及计算方法即可求解；
（2）根据平均数，众数，中位数以及方差四个数据作比较，即可求解.
（1）解：甲：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10，
，，，
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10，
；
（2）解：选择甲参加市里比赛．
理由如下：
∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，
∵方差越小，成绩越平稳，
∴选择甲．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴
（2）解：，，证明如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，从而得到，进而结合角平分线的定义即可得证结论；
（2）由（1）可得，从而得，然后根据平行四边形性质得到，进而证明，于是得到.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴；
（2）解：与平行且相等．
证明如下：
由（1）知，
∴，
∵对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与平行且相等．
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该斜坡的竖直高度为6米
（2）解：如图，连接，过点作于，
由（1）可知：，，
∵坡脚处到点的仰角不得低于，
∴最大削进时，，
在中，，则，
设，则，
，
由勾股定理可得，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴最大削进米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据斜坡的坡比可设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）连接，过点作于，由（1）可知：，，求出当最大削进时，，然后在中，利用勾股定理列方程求解得到，即可求出的长.
（1）解：过点作，如图所示：
∵，米，
∴设，则，
在中，由勾股定理得，
则，
∵，
∴，
则，
即该斜坡的竖直高度为6米；
（2）解：连接，过点作，如图所示：
由（1）可知，米，米，
∵坡脚处到点的仰角不得低于，
∴最大削进时，，
在中，，则，
设，则，
米，
由勾股定理可得，解得，
，
，则米，
∴米，
即最大削进米．
23．【答案】（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）计算对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式一定为正数即可；
（2）由（1）得，无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根，故AB≠AC，由等腰三角形定义知只能AB=BC或AC=BC，即x=10一定是方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0的一个根，根据方程根的定义，将x=10代入方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0，求出n的值，然后分①当n=12时，②当n=10时两种情况分别得出方程，再根据根与系数的关系，求出等腰三角形的底边长，即可求出△ABC的周长；
（3）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=，可得AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，结合完全平方公式将方程变形后整体代入可得关于字母n的方程，求解得出n的值，再检验即可确定n．
（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
，轴，
，
，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3），，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
【分析】（1）根据平行四边形以及平行线的性质得到，根据对称性得到，进行等量代换后，得到，最后由等腰三角形判定即可得证结论；
（2）过点作轴于点，如图所示，结合平行四边形性质，从而判定，确定，设点坐标，表示出相关线段长度，即可得到答案；
（3）过点作轴于点，如图所示，设，，则，由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论求解即可得到答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
在中，，，则，
，轴，
，
，
则，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3）解：过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
1 / 1浙江省杭州市余杭区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八下·余杭期中）下列属于一元二次方程的是（　　）
A．x+1=0 B．x2-4x C．x2+2x-3=0 D．x-2y=3
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+1=0是等式，但最高次数为1，则不是一元二次方程；
B、x2-4x不是等式（缺少“=0”），无法构成方程，则不是一元二次方程；
C、x2+2x-3=0是等式，最高次数为2，则是一元二次方程；
D、x-2y=3是等式，但含有两个未知数x和y，则不是一元二次方程；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此逐项分析即可求解.
2．（2025八下·余杭期中）使二次根式有意义的x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可求出答案.
3．（2025八下·余杭期中）某地一周每一天的平均气温与天数如表所示，则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：）是（　　）
平均气温 26 27 28 30
天数 1 2 1 3
A．26 B．27 C．28 D．30
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：根据题意，得30出现了3次，且出现的次数最多，
∴众数是30，
故答案为：D．
【分析】根据众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的那个数，据此即可得到答案.
4．（2025八下·余杭期中） 下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；
B、则本项不符合题意；
C、则本项符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次根式减法法则和乘法法则计算即可.
5．（2025八下·余杭期中）用配方法解方程x2+6x=7，应在方程两边同时加上（　　）
A．9 B．6 C．36 D．3
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵方程中的一次项系数为6，
∴需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，
故答案为：A.
【分析】配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为完全平方形式，题目中方程为，二次项系数已为1，常数项已移至右边，只需通过配方将左边配成完全平方式，这需要在两边同时加上一次项系数一半的平方即可.
6．（2025八下·余杭期中）如图，在中，下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行且相等，对角相等，对角线互相平分，据此即可得到答案.
7．（2025八下·余杭期中）当时，代数式的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质直接进行化简计算即可.
8．（2025八下·余杭期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵该县2022年接待游客15万人次，且年平均增长率为，
∴2023年接待游客人次，
∴2024年接待游客人次，
∵2024年增长至46万人次，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据该县2022年接待游客人次以及年平均增长率为，得到2023年以及2024年接待游客人次，然后结合2024年增长至46万人次，即可列出方程.
9．（2025八下·余杭期中）欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根．
故选：B．
【分析】
本题考查解一元二次方程的求根公式和勾股定理，先通过求根公式计算出方程正根，再在直角三角形中利用勾股定理求得AB，进而得AD=AB-BD=，故AD的长是方程的一个正根．
10．（2025八下·余杭期中）如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，得奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，第行有个数，且第个数为，
∴前行的总个数为：（个），
∵，
∴数是第个数，
∵，
∴数在第行，
∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列
∴在第行第个数，
∴数所在的位置可表示为，
故答案为：D．
【分析】由数可知奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，第行有个数，且第个数为，从而得到前行的总个数，然后求出数是第个数，进而确定数在第行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数的位置，则可得到答案．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·余杭期中）若的值为零，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】求二次根式中的参数
【解析】【解答】解：∵的值为零，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质得到，然后解一元一次方程即可求解.
12．（2025八下·余杭期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是　 　.
【答案】360°
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：一个四边形，它的外角和的度数是：
故答案为：360°.
【分析】根据多边形外角和公式计算即可.
13．（2025八下·余杭期中）一组数据的平均数为4，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：一组数据的平均数为4，
4×4=2+3+5+a，
解得，
故答案为：．
【分析】根据平均数的定义可得一组数据的和等于这组数据的个数与平均数的积，据此建立方程，求解即可.
14．（2025八下·余杭期中）如图，一个正三角形路标的边长为个单位，则这个路标的面积是　 　平方单位．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵是正三角形，且边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个路标的面积是平方单位，
故答案为：．
【分析】过点作于点，根据等边三角形的性质得到，从而得，进而利用勾股定理得到，然后利用三角形的面积公式求出的面积即可求解．
15．（2025八下·余杭期中） 定义新运算：例如：，．若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．（2025八下·余杭期中）如图，平行四边形的对角线，交于点，且，平分，交边于点，连接．若，则为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，进而根据等腰三角形判定得到，于是得到，，则可推出，然后根据列式进行求解即可．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八下·余杭期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=2×2-+2
=
=.
（2）解：原式=
=
=10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“”和合并同类二次根式的法则计算即可求解；
（2）根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.
18．（2025八下·余杭期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
或，
解得：，
（2）解：∵，
∴，
或，
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”解一元二次方程即可求解；
（2）利用“十字相乘法”分解因式，然后解一元二次方程即可求解.
（1）解：，
或，
解得，；
（2）解：，
因式分解得，
或，
解得，．
19．（2025八下·余杭期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B均在格点上，请解答下列问题．
（1）画一个面积为12的，使它的顶点都在格点上；
（2）求该平行四边形的周长．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求；
（2）解：由（1）得，，
∴平行四边形的周长为：
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣平移；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据的面积为12，可知当高为3时可得平行四边形的一边长为4，然后将向右平移4格即可得到所求平行四边形；
（2）根据网格利用勾股定理求出平行四边形的边长，利用周长公式即可求解.
（1）解：如图所示：
为所作平行四边形；
（2）解：如图所示：
则，，
∴．
20．（2025八下·余杭期中）某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛（10分制，学生得分均为整数）．在这场竞赛中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：
甲：7，8，8，7，8，8，10，8，8，8；
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10．
请根据信息回答问题：
级别 平均数 众数 中位数 方差
甲 8
乙 8 8 0.8
（1）求的值；
（2）现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学知识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理由．
【答案】（1）解：∵甲的成绩为：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10，
，，
∴，
∵乙的成绩为：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10，
（2）解：选择甲参加市里比赛，理由如下：
∵甲乙两人的平均数，众数，中位数都相等，且两人方差，
∴选择甲参加市里比赛
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【分析】（1）根据甲乙成绩，结合平均数，众数，中位数，方差的定义以及计算方法即可求解；
（2）根据平均数，众数，中位数以及方差四个数据作比较，即可求解.
（1）解：甲：7，7，8，8，8，8， 8，8，8，10，
，，，
乙：7，8，7，8，7，8，9，8，8，10，
；
（2）解：选择甲参加市里比赛．
理由如下：
∵甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，
∵方差越小，成绩越平稳，
∴选择甲．
21．（2025八下·余杭期中）如图，在中，对角线相交于点分别平分与．
（1）求证：；
（2）猜想与的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴
（2）解：，，证明如下：
由（1）可得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得到，从而得到，进而结合角平分线的定义即可得证结论；
（2）由（1）可得，从而得，然后根据平行四边形性质得到，进而证明，于是得到.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵分别平分与，
∴，，
∴；
（2）解：与平行且相等．
证明如下：
由（1）知，
∴，
∵对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即与平行且相等．
22．（2025八下·余杭期中）某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近．为保障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造．相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其中，斜坡的坡比为3.1，坡长米．
（1）求该斜坡的竖直高度；
（2）为确保养殖厂安全，现计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，且保证坡脚处到点的仰角不得低于，问最多削进多少米？
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴该斜坡的竖直高度为6米
（2）解：如图，连接，过点作于，
由（1）可知：，，
∵坡脚处到点的仰角不得低于，
∴最大削进时，，
在中，，则，
设，则，
，
由勾股定理可得，
∴，
，
，
∴，
∴，
∴最大削进米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据斜坡的坡比可设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）连接，过点作于，由（1）可知：，，求出当最大削进时，，然后在中，利用勾股定理列方程求解得到，即可求出的长.
（1）解：过点作，如图所示：
∵，米，
∴设，则，
在中，由勾股定理得，
则，
∵，
∴，
则，
即该斜坡的竖直高度为6米；
（2）解：连接，过点作，如图所示：
由（1）可知，米，米，
∵坡脚处到点的仰角不得低于，
∴最大削进时，，
在中，，则，
设，则，
米，
由勾股定理可得，解得，
，
，则米，
∴米，
即最大削进米．
23．（2025八下·余杭期中）已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
（3）当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
【答案】（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）计算对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此此题只需要证明根的判别式一定为正数即可；
（2）由（1）得，无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根，故AB≠AC，由等腰三角形定义知只能AB=BC或AC=BC，即x=10一定是方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0的一个根，根据方程根的定义，将x=10代入方程x2-2(n-1)x+n2-2n=0，求出n的值，然后分①当n=12时，②当n=10时两种情况分别得出方程，再根据根与系数的关系，求出等腰三角形的底边长，即可求出△ABC的周长；
（3）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=，可得AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，结合完全平方公式将方程变形后整体代入可得关于字母n的方程，求解得出n的值，再检验即可确定n．
（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
24．（2025八下·余杭期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是直线在第一象限内的一个动点，点在轴正半轴上．以为边构造，点关于直线的对称点为．连接，线段与轴的交点为．
（1）求证：；
（2）当时，求．
（3）若点坐标为，直接写出当是等腰三角形时点的坐标．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
，轴，
，
，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3），，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
【分析】（1）根据平行四边形以及平行线的性质得到，根据对称性得到，进行等量代换后，得到，最后由等腰三角形判定即可得证结论；
（2）过点作轴于点，如图所示，结合平行四边形性质，从而判定，确定，设点坐标，表示出相关线段长度，即可得到答案；
（3）过点作轴于点，如图所示，设，，则，由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论求解即可得到答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作轴于点，如图所示：
在中，，，则，
，轴，
，
，
则，
在中，，，
∵，
∴，
设点坐标，
∴，，
∵，
∴，，，，，
，
，
∴；
（3）解：过点作轴于点，如图所示：
设，，则，
由于点A是直线在第一象限内的一个动点，当是等腰三角形时，分三种情况讨论如下：
①当时，，，，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，（舍去），
∴；
②当时，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得，
∴；
③当时，
，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，即，
解得（舍去），，
∴；
综上所述，点坐标，，．
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