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定远育才学校2026届九年级第二次模拟
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的算术平方根为(????)
A. B. C. D.
2.中央广指电视总台年春节联欢晚会为全球华人和海外朋友布上了一道年味浓郁、文化醇厚、利技闪耀的“文化年夜饭”，截至月日时，春晚境内全媒体总触达亿次，创年来新高数据“”用科学记数法表示为(????)
A. B. C. D.
3.某博物院收藏的一件“镇馆之宝”云纹青铜大铙，如图，云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌图为其示意图，它的俯视图是(????)
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是(????)
A. B. C. D.
5.已知反比例函数的图象过点，则一次函数的图象与轴的交点坐标为(????)
A. B. C. D.
6.若关于的方程没有实数根，则的值可以为(????)
A. B. C. D.
7.如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点若，则的长是(????)
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为(????)
A.
B.
C.
D.
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与二次函数的图象可能是(????)
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动若在某一时刻能使与全等则点的运动速度为(????)
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知、为有理数，并满足，则??????? ．
12.如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连接，若，则的度数为??????? ．
13.现有六张分别标有，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，两张卡片上的数字和大于的概率是??????? ．
14.如图，点为的边上一动点点与点，不重合，，，与关于边成轴对称，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
若，则的度数为??????? ；
点在运动的过程中，的最小值为??????? ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
如图，小方格是边长为的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
建立直角坐标系，画出关于轴的对称的，并写出，，的坐标；
连接，在坐标平面的格点上确定一个点，使是以为底的等腰直角三角形，画出，并写出所有点的坐标．

17.本小题分
长丰草莓是安徽省特色水果，安徽省的特产之一，在很多地方均有大量草莓种植基地某学校数学兴趣小组为了解一些新品种草莓的年产量情况，从草莓种植基地各随机抽取株“红颜”和“赛娃”两个品种的种植情况进行调查研究，每株草莓的年产量用单位：克表示，根据实际情况将草莓的每株年产量分成组：，，，下面给出了部分信息：
“红颜”草莓每株年产量数在组中为，，，，，，，．
“赛娃”草莓每株年产量数分别为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的“红颜”草莓和“赛娃”草莓的每株年产量数统计表
品种 红颜草莓 赛娃草莓
平均数克
中位数克
众数克
请根据以上信息，解答下列问题．
填空：______，______；
根据以上数据，你认为哪个品种的草莓年产量更好？请说明理由；写出一条理由即可
该种植基地“红颜”草莓和“赛娃”草莓共有株，请你估计该种植基地的“红颜”草莓和“赛娃”草莓年产量数高于克的有多少株？
18.本小题分
如图，是边长为的等边三角形，线段在轴上，反比例函数的图象经过点．
求点的坐标及反比例函数的解析式；
若这个反比例函数图象上有两个点，，且，请比较和的大小．
19.本小题分
小红和小华想测量一竖直放置在山坡上的防火警示杆的高度，在管理人员的陪同下，她们带着工具前往测量小红在坡面上的点处安装测角仪，测得警示杆顶端的仰角为，小华测得警示杆与坡面的夹角为，且警示杆底端与测角仪底端之间的距离为，已知测角仪的高度为，点，，，，，，在同一平面内，，均与水平线垂直求警示杆的高参考数据：，，，，，

20.本小题分
观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例：；
例：．
利用以上结论解答以下问题：
______；
应用上面的结论，求下列式子的值：；
比较与的大小，并说明理由；
拓展提高，求下列式子的值：．
21.本小题分
如图，为直径，，为上的两点，且是的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．

22.本小题分
如图，在?中，点在边上，将沿折叠，使点的对应点落在?内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点．
如图，求证：∽；
如图，当时，点在延长线上，若，，求的长；
如图，当时，点在边上，若，直接写出的值．





23.本小题分
直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点．
求抛物线的表达式；
点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值；
记抛物线与轴的另一交点为点，将原抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度可得新抛物线点为新抛物线上的一动点，若满足，则求所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程．


答 案

1.? 2.? 3.? 4.? 5.? 6.? 7.? 8.? 9.? 10.?
11.? 12.? 13.? 14.
15.解：原式


．
16.解：画出关于轴的对称的，如图所示：

，，；
如图所示，

点的坐标为或．

17.解：“赛娃”草莓每株年产量数中出现的次数最多，
众数；
“红颜”草莓每株年产量数在组中的数量为，
“红颜”草莓每株年产量数在组中所占的百分比为．
；
故答案为：；；
“红颜”草莓年产量更好．
理由：因为“红颜”草莓的年产量的中位数比“赛娃”草莓的年产量的中位数的高，
所以“红颜”草莓年产量更好．答案不唯一
“红颜”草莓组株数为株，“赛娃”草莓组株数为株，
株．
18.解：如图，过点作于点，

由条件可知，
，
，
点，
点在反比例函数的图象上，
，
，
反比例函数的解析式为；
由知：，
该反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
又这个反比例函数图象上有两个点，，且，
．
19.解：如图，过点作于点，过点作于点则四边形是矩形．

，．
在中，，
，
在中，，
．
故警示杆的高约为．

20.解：；
故答案为：；




；
，
同理可得，
，
，
；




．

21. 证明：连接，如图，

是的切线，
，
，
，
，
由条件可知，
，
，
，
；
解：作于点，如图，

，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．

22. 证明：四边形为平行四边形，
，，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，即，
，
∽；
解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，即，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
∽，
，
，
，
，
；
解：如图，延长，交于点，

，
设，则，
，
四边形为平行四边形，
，，，，
，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，即，
，
∽；
，
，
，
，
，，
，
∽，∽，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
．

23.解：对于直线：，当时，；当时，，
，，
直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点，
，
解得，，
抛物线的表达式为．
为直线上方抛物线上一点，
作直线，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，

设：，则，
有两个相等的实数根，
令，
解得，
：，
，
解得，，
即当时，面积取得最大值；
由可知，，，
，
为等腰直角三角形，
，
将直线：向下平移个单位长度得到直线，
：，
设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
对于直线：，当时，，即，
，
，
，
直线和直线的距离为，
为直线上任意一点，过点作于点，
；
将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示，
则，，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，
为定值，
此时取得最小值；
作轴于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
，
，
即点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
，，，，
点向右平移个单位，向下平移个单位可得到点，
，
，
点为点关于轴的对称点，，
，
当、、共线时，
此时，
当面积取得最大值时，最小值为．
由可得，，
，，
根据题意可得，
取点，连接，则，

在和中，
，
≌，
，
，
点为射线与抛物线的交点，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，可得，
解得，，
，
，，
，
作平行四边形，则，，

，
点为射线与抛物线的交点，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
由，可得，
解得，，
，
综上，所有符合条件的点的横坐标为或．

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