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湖南省长沙市博才实验中学联考2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选释题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·长沙期中）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025九下·长沙期中）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·长沙期中）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·长沙期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
5．（2025九下·长沙期中）如图，把一块含有的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·长沙期中）若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
7．（2025九下·长沙期中）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （　　）
读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上
学生人数 6 11 8 8 7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
8．（2025九下·长沙期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·长沙期中）如图，是的高，若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·长沙期中）如图，矩形中，，，为边上与两点不重合的任意一点．设，到的距离为，则与的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·长沙期中）因式分解：　 　．
12．（2025九下·长沙期中）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是　 　．
13．（2025九下·长沙期中）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若，则点经过的路径长度为　 　．（结果保留）
14．（2025九下·长沙期中）如果一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为　 　.
15．（2025九下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是　 　．
16．（2025九下·长沙期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手　 　次．
三、解答题（本题共9小题，其中17-19每小题6分，20-21每小题8分，22-23每小题9分，24-25每小题10分，共72分）
17．（2025九下·长沙期中）计算：
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025九下·长沙期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交，过两交点作直线，交于点D，交于点F．
（1）根据尺规作图的描述和痕迹，可判断直线是线段_________的_________线；
（2）若，，求的长．
20．（2025九下·长沙期中）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（2025九下·长沙期中）如图，在中，以边上一点为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点，．
（1）求证：与相切于点；
（2）若，，求的半径．
22．（2025九下·长沙期中）某文创商店举办非遗展演，民俗体验等特色活动，共花费元购进“泥塑“和“团扇“共件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑
团扇
（1）该文创产品店购进泥塑和团扇各多少件？
（2）因销售火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共件．若此次购进泥塑的数量不超过团扇数量的倍，且全部售完．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
23．（2025九下·长沙期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，，和交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的值．
24．（2025九下·长沙期中）如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做弦，、两点之间的距离称为抛物线的弦长．
（1）求抛物线的弦长，
（2）已知抛物线的弦长的最小值是，当时，求的值；
（3）设，为正整数，且，拋物线的弦长为，抛物线的弦长为，，试求出与之间的函数头系式：若不论为何值，恒成立，求，的值．
25．（2025九下·长沙期中）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（　　）
②梯形是倍分四边形（　　）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【分析】
先明确左视图的概念，在分析立体图形从左面观察得到的列数，其中左列有2个小正方形，右列有1个小正方形，最后将左视图的形状与选项对比即可解答.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数据0.000015用科学记数法表示为，
故选：A．
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的正数，其形式为，其中，n为负整数，确定n的值时，要看小数点向右移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故符合题意；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用较小的两条线段之和大于第三条线段，即可 解答。
5．【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∵三角板为含有角的直角三角板，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算．先由平行线的性质得到，再根据，即可得到．
6．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：D
【分析】由，利用比例的性质，即可求得的值．
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为全班抽取了 人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是 ，
这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7.
故答案为：A.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数， 中位数是指在一组数据按顺序排列后（即从大到小或从小到大），中间的那个数，若这组数据有偶数个数，中位数取中间两个数的平均数 ，从而求解.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线与双曲线相交于两点，
∴点关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
故选：．
【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，根据题意，直线与反比例函数图象的两个交点关于原点中心对称，依据原点对称点的坐标特征解答即可得出结果，熟练掌握反比例函数图象的对称性是解决本题的核心．
9．【答案】B
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：B．
【分析】本题重点考查解直角三角形与勾股定理的综合应用. 根据解直角三角形得，再利用勾股定理进行求解，熟练掌握这类几何计算的核心知识是顺利解题的关键．
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，即：，
∴，
故选：．
【分析】本题重点考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数表达式的推导，灵活运用这些几何与函数知识是解决本题的核心．
先由矩形的性质得到边的平行与相等关系，即，，，再证明，最后通过相似三角形的对应边成比例建立等式，即，代入求解即可得到结果．
11．【答案】3a（a-3）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-9a=3a（a-3）．
故答案为：3a（a-3）．
【分析】需要找出多项式的公因式，再提取公因式进行因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，
∴两根之积为-12，
∴另一根为-12÷3=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据根与系数的关系可得：两根之积为-12，据此求解.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：长度，
故答案为：．
【分析】本题重点考查弧长的计算公式，核心是运用弧长计算公式代入数值求解， 熟练记忆并运用弧长公式 是解决本题的关键.
14．【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：.
故这个多边形的边数为10.
故答案为：10.
【分析】由于任何多边形的外角和都等于360°，故用外角和的总度数除以每一个外角的度数即可求出多边形的边数.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
16．【答案】2
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：共有5个人，A同学握手4次，
A与B、 C、 D、 E每人握手一次，
D同学握手1次，
B、C握手一定不是与D握手，
B握手3次，D握手1次，
B握手3次一定是与A、 C、 E的握手，
C握手2次，
C是与A和B握手，
E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
【分析】本题重点考查逻辑推理能力，通过梳理不同对象的握手次数来逐步推导结论是解题核心．已知共有5人参与，结合A同学握手4次，可确定A与B、C、D、E均握手一次，再结合D仅握手一次，逐步排除B、C与D的握手可能，最终确定E的握手次数．
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题重点考查负整数指数幂、二次根式、零指数幂及特殊角三角函数值的混合运算，解题核心是依据对应运算法则对每一项单独化简，最后完成加减运算．
18．【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题重点考查整式的混合运算及代入求值，熟练运用整式运算法则完成化简是解题关键．先计算括号内的乘法运算，再合并同类项，执行除法运算，最后代入数值求出结果即可.
19．【答案】（1），垂直平分
（2）解：直线是的垂直平分线，
，，
，，
，
在中，，，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(1)直线是线段的垂直平分线.
【分析】该题重点考查尺规作线段垂直平分线与解直角三角形的综合应用，熟练掌握相关几何知识是解题关键．
（1）依据尺规作线段垂直平分线的操作方法即可完成解答；
（2）依据直线是的垂直平分线推出且，再结合直角三角形性质得到，最后在中通过边角关系完成求解．
（1）解：直线是线段的垂直平分线；
故答案为：，垂直平分；
（2）解：直线是的垂直平分线，
，，
，，
，
在中，，，
，
．
20．【答案】（1），；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
【分析】（）用喜欢足球的学生人数除以其占比求出调查的总人数，在运用×喜欢乒乓球项目的占比解题即可；
（）用总人数乘以最喜欢篮球项目的百分比求出喜欢篮球的人数，再用总人数减去其他项目人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图；
（）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．【答案】（1）证明：如下图所示，连接，，
在与中，
，
，
，
与相切于，
，
，
是的半径，
与相切于
（2）解：在中，，
，
，，
，
解得
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题重点考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用．
通过判定，结合全等三角形对应角相等及切线的性质，证得，进而完成结论证明；
借助勾股定理构建关于半径的方程，求解该方程即可得到的半径．
（1）证明：如下图所示，连接，，
在与中，
，
，
，
与相切于，
，
，
是的半径，
与相切于；
（2）解：在中，，
，
，，
，
解得．
22．【答案】（1）解：设该文创商店第一次购进泥塑件，团扇件，根据题意得：
解得：，
文创商店购进泥塑件，团扇件
（2）解：设第二次购进泥塑件，则购进团扇件，
根据题意得：，
解得：，
设第二次获利元．
，
，
随a的增大而增大
当时，有最大值，最大值为，此时（件），
答：第二次购进泥塑件，购进团扇件才能使获利最大，最大利润元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组在实际问题中的应用，以及一次函数的最值求解，灵活运用方程组建模和函数性质分析是解题关键.
（1）可设第一次购进泥塑件，团扇件，根据题干条件建立二元一次方程组，求解方程得到结果；
（2）设第二次购进泥塑件，则团扇为件，先根据题意确定的取值范围，再设第二次获利为元．根据销售泥塑和团扇的利润和列出函数解析式，利用函数性质求出最值．
（1）解：设该文创商店第一次购进泥塑件，团扇件，根据题意得：
解得：，
文创商店购进泥塑件，团扇件；
（2）解：设第二次购进泥塑件，则购进团扇件，
根据题意得：，
解得：，
设第二次获利元．
，
，
随a的增大而增大
当时，有最大值，最大值为，此时（件），
答：第二次购进泥塑件，购进团扇件才能使获利最大，最大利润元．
23．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形
（2），，，
．
．
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题重点考查菱形性质，矩形判定，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，熟练整合多个几何知识点进行逻辑推理是解题核心．
（1）先根据平行四边形的判定定理征得四边形为平行四边形，再结合菱形性质推出，进而根据矩形的判定条件完成证明；
（2）通过解直角三角形分别求出，的长度，进而得到和的长，最后利用勾股定理求出的长度，再解直角三角形得出结果．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形．
（2），，，
．
．
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
．
24．【答案】（1）解：令，
可得：，
解得：，，
（2）解：令，
可得：，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：，
，
即，
令，，
由题意可知，分成两种情况：
若，即时，，
，（舍）；
若，即时，，
，（舍）；
综上所述，或
（3）解：由可知：
拋物线的弦长为，
抛物线的弦长为，
，，
，
恒成立，
且；
为正整数，
，
，
，
，
或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题重点考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，解决核心是准确理解弦及弦长的定义，据此建立二次函数系数间的数量关系．
令，得：，求解后得到点，的横坐标，再依据弦长定义计算弦长的值；
令，得：，根据求根公式得：，再由弦长公式得出，进而推出，最后结合，分情况确定的取值范围；
由可得：，因恒成立，故需满足且，由此推出，根据平方的非负性得，再结合、为正整数，最终求出、的值．
（1）解：令，
可得：，
解得：，，
；
（2）解：令，
可得：，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：，
，
即，
令，，
由题意可知，分成两种情况：
若，即时，，
，（舍）；
若，即时，，
，（舍）；
综上所述，或；
（3）解：由可知：
拋物线的弦长为，
抛物线的弦长为，
，，
，
恒成立，
且；
为正整数，
，
，
，
，
或．
25．【答案】（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
1 / 1湖南省长沙市博才实验中学联考2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选释题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·长沙期中）的倒数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵
∴的倒数是，
故选：C
【分析】根据代数的定义即可求出答案.
2．（2025九下·长沙期中）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：B．
【分析】
先明确左视图的概念，在分析立体图形从左面观察得到的列数，其中左列有2个小正方形，右列有1个小正方形，最后将左视图的形状与选项对比即可解答.
3．（2025九下·长沙期中）在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将数据0.000015用科学记数法表示为，
故选：A．
【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的正数，其形式为，其中，n为负整数，确定n的值时，要看小数点向右移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2025九下·长沙期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故符合题意；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用较小的两条线段之和大于第三条线段，即可 解答。
5．（2025九下·长沙期中）如图，把一块含有的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，∵，
∴，
∵三角板为含有角的直角三角板，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算．先由平行线的性质得到，再根据，即可得到．
6．（2025九下·长沙期中）若，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：D
【分析】由，利用比例的性质，即可求得的值．
7．（2025九下·长沙期中）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是 （　　）
读书时间 6 小时及以下 7 小时 8 小时 9 小时 10 小时及以上
学生人数 6 11 8 8 7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：因为全班抽取了 人，所以一共有40个数据，且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据分别为8，8，所以这一组数据的中位数是 ，
这一组数据中出现次数最多的是7，所以众数是7.
故答案为：A.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数， 中位数是指在一组数据按顺序排列后（即从大到小或从小到大），中间的那个数，若这组数据有偶数个数，中位数取中间两个数的平均数 ，从而求解.
8．（2025九下·长沙期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线与双曲线相交于两点，
∴点关于原点对称，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
故选：．
【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，根据题意，直线与反比例函数图象的两个交点关于原点中心对称，依据原点对称点的坐标特征解答即可得出结果，熟练掌握反比例函数图象的对称性是解决本题的核心．
9．（2025九下·长沙期中）如图，是的高，若，，则边的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：B．
【分析】本题重点考查解直角三角形与勾股定理的综合应用. 根据解直角三角形得，再利用勾股定理进行求解，熟练掌握这类几何计算的核心知识是顺利解题的关键．
10．（2025九下·长沙期中）如图，矩形中，，，为边上与两点不重合的任意一点．设，到的距离为，则与的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，即：，
∴，
故选：．
【分析】本题重点考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，以及反比例函数表达式的推导，灵活运用这些几何与函数知识是解决本题的核心．
先由矩形的性质得到边的平行与相等关系，即，，，再证明，最后通过相似三角形的对应边成比例建立等式，即，代入求解即可得到结果．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九下·长沙期中）因式分解：　 　．
【答案】3a（a-3）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：3a2-9a=3a（a-3）．
故答案为：3a（a-3）．
【分析】需要找出多项式的公因式，再提取公因式进行因式分解即可.
12．（2025九下·长沙期中）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，
∴两根之积为-12，
∴另一根为-12÷3=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据根与系数的关系可得：两根之积为-12，据此求解.
13．（2025九下·长沙期中）如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．若，则点经过的路径长度为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：长度，
故答案为：．
【分析】本题重点考查弧长的计算公式，核心是运用弧长计算公式代入数值求解， 熟练记忆并运用弧长公式 是解决本题的关键.
14．（2025九下·长沙期中）如果一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】10
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：.
故这个多边形的边数为10.
故答案为：10.
【分析】由于任何多边形的外角和都等于360°，故用外角和的总度数除以每一个外角的度数即可求出多边形的边数.
15．（2025九下·长沙期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案.
16．（2025九下·长沙期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手　 　次．
【答案】2
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：共有5个人，A同学握手4次，
A与B、 C、 D、 E每人握手一次，
D同学握手1次，
B、C握手一定不是与D握手，
B握手3次，D握手1次，
B握手3次一定是与A、 C、 E的握手，
C握手2次，
C是与A和B握手，
E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
【分析】本题重点考查逻辑推理能力，通过梳理不同对象的握手次数来逐步推导结论是解题核心．已知共有5人参与，结合A同学握手4次，可确定A与B、C、D、E均握手一次，再结合D仅握手一次，逐步排除B、C与D的握手可能，最终确定E的握手次数．
三、解答题（本题共9小题，其中17-19每小题6分，20-21每小题8分，22-23每小题9分，24-25每小题10分，共72分）
17．（2025九下·长沙期中）计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题重点考查负整数指数幂、二次根式、零指数幂及特殊角三角函数值的混合运算，解题核心是依据对应运算法则对每一项单独化简，最后完成加减运算．
18．（2025九下·长沙期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题重点考查整式的混合运算及代入求值，熟练运用整式运算法则完成化简是解题关键．先计算括号内的乘法运算，再合并同类项，执行除法运算，最后代入数值求出结果即可.
19．（2025九下·长沙期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交，过两交点作直线，交于点D，交于点F．
（1）根据尺规作图的描述和痕迹，可判断直线是线段_________的_________线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1），垂直平分
（2）解：直线是的垂直平分线，
，，
，，
，
在中，，，
，
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(1)直线是线段的垂直平分线.
【分析】该题重点考查尺规作线段垂直平分线与解直角三角形的综合应用，熟练掌握相关几何知识是解题关键．
（1）依据尺规作线段垂直平分线的操作方法即可完成解答；
（2）依据直线是的垂直平分线推出且，再结合直角三角形性质得到，最后在中通过边角关系完成求解．
（1）解：直线是线段的垂直平分线；
故答案为：，垂直平分；
（2）解：直线是的垂直平分线，
，，
，，
，
在中，，，
，
．
20．（2025九下·长沙期中）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是______人，估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1），；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
【分析】（）用喜欢足球的学生人数除以其占比求出调查的总人数，在运用×喜欢乒乓球项目的占比解题即可；
（）用总人数乘以最喜欢篮球项目的百分比求出喜欢篮球的人数，再用总人数减去其他项目人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图；
（）画树状图得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）解：本次调查的总人数是人，
估计全校名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人，
故答案为：，；
（2）解：最喜欢篮球项目的学生有人，
∴最喜欢羽毛球项目的学生有人，
∴补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有种，
∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为．
21．（2025九下·长沙期中）如图，在中，以边上一点为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点，．
（1）求证：与相切于点；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如下图所示，连接，，
在与中，
，
，
，
与相切于，
，
，
是的半径，
与相切于
（2）解：在中，，
，
，，
，
解得
【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】本题重点考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的综合应用．
通过判定，结合全等三角形对应角相等及切线的性质，证得，进而完成结论证明；
借助勾股定理构建关于半径的方程，求解该方程即可得到的半径．
（1）证明：如下图所示，连接，，
在与中，
，
，
，
与相切于，
，
，
是的半径，
与相切于；
（2）解：在中，，
，
，，
，
解得．
22．（2025九下·长沙期中）某文创商店举办非遗展演，民俗体验等特色活动，共花费元购进“泥塑“和“团扇“共件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑
团扇
（1）该文创产品店购进泥塑和团扇各多少件？
（2）因销售火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共件．若此次购进泥塑的数量不超过团扇数量的倍，且全部售完．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设该文创商店第一次购进泥塑件，团扇件，根据题意得：
解得：，
文创商店购进泥塑件，团扇件
（2）解：设第二次购进泥塑件，则购进团扇件，
根据题意得：，
解得：，
设第二次获利元．
，
，
随a的增大而增大
当时，有最大值，最大值为，此时（件），
答：第二次购进泥塑件，购进团扇件才能使获利最大，最大利润元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题重点考查二元一次方程组在实际问题中的应用，以及一次函数的最值求解，灵活运用方程组建模和函数性质分析是解题关键.
（1）可设第一次购进泥塑件，团扇件，根据题干条件建立二元一次方程组，求解方程得到结果；
（2）设第二次购进泥塑件，则团扇为件，先根据题意确定的取值范围，再设第二次获利为元．根据销售泥塑和团扇的利润和列出函数解析式，利用函数性质求出最值．
（1）解：设该文创商店第一次购进泥塑件，团扇件，根据题意得：
解得：，
文创商店购进泥塑件，团扇件；
（2）解：设第二次购进泥塑件，则购进团扇件，
根据题意得：，
解得：，
设第二次获利元．
，
，
随a的增大而增大
当时，有最大值，最大值为，此时（件），
答：第二次购进泥塑件，购进团扇件才能使获利最大，最大利润元．
23．（2025九下·长沙期中）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，，和交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的值．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形
（2），，，
．
．
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题重点考查菱形性质，矩形判定，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，熟练整合多个几何知识点进行逻辑推理是解题核心．
（1）先根据平行四边形的判定定理征得四边形为平行四边形，再结合菱形性质推出，进而根据矩形的判定条件完成证明；
（2）通过解直角三角形分别求出，的长度，进而得到和的长，最后利用勾股定理求出的长度，再解直角三角形得出结果．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形，
，
．
四边形是矩形．
（2），，，
．
．
四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
．
24．（2025九下·长沙期中）如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做弦，、两点之间的距离称为抛物线的弦长．
（1）求抛物线的弦长，
（2）已知抛物线的弦长的最小值是，当时，求的值；
（3）设，为正整数，且，拋物线的弦长为，抛物线的弦长为，，试求出与之间的函数头系式：若不论为何值，恒成立，求，的值．
【答案】（1）解：令，
可得：，
解得：，，
（2）解：令，
可得：，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：，
，
即，
令，，
由题意可知，分成两种情况：
若，即时，，
，（舍）；
若，即时，，
，（舍）；
综上所述，或
（3）解：由可知：
拋物线的弦长为，
抛物线的弦长为，
，，
，
恒成立，
且；
为正整数，
，
，
，
，
或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】本题重点考查二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，解决核心是准确理解弦及弦长的定义，据此建立二次函数系数间的数量关系．
令，得：，求解后得到点，的横坐标，再依据弦长定义计算弦长的值；
令，得：，根据求根公式得：，再由弦长公式得出，进而推出，最后结合，分情况确定的取值范围；
由可得：，因恒成立，故需满足且，由此推出，根据平方的非负性得，再结合、为正整数，最终求出、的值．
（1）解：令，
可得：，
解得：，，
；
（2）解：令，
可得：，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：，
，
即，
令，，
由题意可知，分成两种情况：
若，即时，，
，（舍）；
若，即时，，
，（舍）；
综上所述，或；
（3）解：由可知：
拋物线的弦长为，
抛物线的弦长为，
，，
，
恒成立，
且；
为正整数，
，
，
，
，
或．
25．（2025九下·长沙期中）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①，在四边形中，若，则四边形为倍分四边形，为四边形的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（　　）
②梯形是倍分四边形（　　）
（2）如图①，倍分四边形中，是倍分线，若，，，求；
（3）如图②，中，以为直径的分别交、于点、，已知四边形是倍分四边形．
①求；
②连结，交于点，取中点，连结交于（如图③），若，求．
【答案】（1）①√；②×
（2）解：∵倍分四边形中，AC是倍分线，∴
如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
在中，
（3）解：①如图所示，连接，，， 设交于点，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，即是的中点，
∴，
∵四边形是倍分四边形．
若是倍分线，则点到的距离相等，
而是的角平分线，点到的距离相等，点不重合，故不是倍分线，
∴是倍分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
又∵，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
在中，
∴
②如图所示，设交于点，连接，过点作交于点，
由①可得，则四边形是平行四边形，
∵点是的中点，
∴，则，
在中，∵
∴，则
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
∴
即
∴
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答（1）】解：①平行四边形是倍分四边形（√ ）
②梯形是倍分四边形（×）
故答案为：①√；②×．
【分析】（1）根据“倍分四边形”的定义判断即可 ；
（2）根据“倍分四边形”的定义得到，过点作于点，即可得到，，然后利用勾股定理求出长，即可得到，再在中，运用勾股定理解题；
（3）①连接，，， 设交于点，利用是倍分四边形．得到是倍分线，即，然后得到，即可得到，设，得到，即可得到，过点作于点，再根据勾股定理得到，解题；
②设交于点，连接，过点作交于点，由①可得是平行四边形，即可得到，然后推导，即可得到解题．
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