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广东省惠州市惠阳区第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·惠阳期中）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
2．（2025八下·惠阳期中） 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
3．（2025八下·惠阳期中）下列各曲线中表示是的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·惠阳期中） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·惠阳期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·惠阳期中）点在一次函数的图象上，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·惠阳期中）在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝6，则DE＝（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（2025八下·惠阳期中）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）.
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．（2025八下·惠阳期中）一次函数的图像不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2025八下·惠阳期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边作菱形轴，则菱形的周长是（　　）
A．12 B．15 C．16 D．20
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·惠阳期中）在圆的面积公式中，常量是　 　．
12．（2025八下·惠阳期中）化简二次根式的结果等于　 　．
13．（2025八下·惠阳期中）如图，中，，则　 　．
14．（2025八下·惠阳期中）如图，在菱形中，，则的长为　 　．
15．（2025八下·惠阳期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是　 　．
三、解答题（一）（本小题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分）
16．（2025八下·惠阳期中）计算：
（1）
（2）
17．（2025八下·惠阳期中）如图，在中，点 、、 分别在、 、上， ，，且 是的中点．求证：
18．（2025八下·惠阳期中）已知y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
四、解答题（2）（本小题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·惠阳期中）一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
20．（2025八下·惠阳期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
21．（2025八下·惠阳期中）如图所示，在中，，，，把折叠，使落在直线上．
（1）判断的形状．
（2）求重叠部分（阴影部分）的面积．
五、解答题（三）（本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·惠阳期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
（1）如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形；
（2）如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
23．（2025八下·惠阳期中）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）；
（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得且.
故答案为：C.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数，可得x+1≥0且x-3≠0，求解即可.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是勾股数；∴A错误；
B、∵，∴三角形是直角三角形，∴B正确；
C、∵，∴不是勾股数；∴C错误；
D、∵，∴不是勾股数；∴D错误；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以C正确．
故选：C
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、则本项错误，不符合题意；
B、不是同类二次根数，无法进行合并计算，则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、则本项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A、B选项；
由二次根式的乘法法则可判断C选项；
由二次根式的除法法则可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．
6．【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为点 在一次函数 的图象上，
所以将 ， 代入函数解析式，可得：
移项，得：；
合并同类项，得：；
系数化为1，得：；
所以 的值为 ，
故答案为：C。
【分析】将点 代入一次函数 ，得到方程 ，解此方程即可求出 的值。
7．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图，
在△ABC中，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理：
已知 ，代入得：
故答案为：C。
【分析】先根据中点条件判断DE是△ABC的中位线，再利用三角形中位线定理 直接计算出DE的长度。
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
【分析】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数中，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴图象一定不经过第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在一次函数 中：
当 时，，解得 ，所以点A的坐标为 ，即 。
当 时，，所以点B的坐标为 ，即 。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
因为四边形ABCD是菱形，所以四条边相等，周长为：，
所以菱形ABCD的周长为20，
故答案为：D。
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点 A、B 的坐标，再用勾股定理算出 AB 的长度，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长。
11．【答案】
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，
故答案为：π．
【分析】依据常量与变量的定义，在圆面积公式 S=πr2 中判断出 π 是常量，S 和 r 是变量。
12．【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的性质进行求解即可.
13．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
14．【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据菱形的性质得到是等边三角形解题即可．
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，记AB的中点为E，连接OE、CE，
∵，
∴，
，
∴线段长的最大值是OE+CE=，
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．如图，记AB的中点为E，连接OE、CE，则OE=，勾股定理求出CE，根据三角形两边之和大于第三边，当CEO三点共线时OC最大．
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先利用二次根式乘法法则计算 ，再将结果除以 ，最后化简得到结果；
(2) 先运用乘法分配律展开 ，再将 化简，最后合并同类二次根式得到结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形
∴DE=BF
∵F是BC的中点
∴BF=CF
∴DE=CF ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先由两组对边分别平行证得四边形 BDEF 是平行四边形，得到 DE=BF，再利用 F 是 BC 中点的条件得到 BF=CF，最后通过等量代换证明 DE=CF。
18．【答案】（1）解：设y与之间的函数解析式为，
将时，代入，
得，
解得，
则y与x之间的函数解析式为
（2）解：将代入，
得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，先设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可得．
（1）解：设y与之间的函数解析式为，
将时，代入，
得，
解得，
则y与x之间的函数解析式为．
（2）解：将代入，
得．
19．【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（3，5），（-4，-9）代入得：
解得：
则一次函数解析式为y=2x-1；
（2）对于y=2x-1，
令x=0，则y=-1，令y=0，则x=
∴函数图象与两坐标轴交点坐标为（0，-1），（，0），
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积S=×1×=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】(1) 设一次函数解析式为 y=kx+b，将两点坐标代入得到方程组，解出 k、b 得到解析式；
(2) 分别令 x=0 和 y=0，求出函数图象与坐标轴的交点坐标，最后用三角形面积公式计算出围成的三角形面积。
（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（3，5），（-4，-9）代入得：
解得：
则一次函数解析式为y=2x-1；
（2）对于y=2x-1，
令x=0，则y=-1，令y=0，则x=
∴函数图象与两坐标轴交点坐标为（0，-1），（，0），
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积S=×1×=．
20．【答案】（1）解∶，
是的中点，
在与中，
（2）解：由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：（1）∵，，，
则，
即满足，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设CD=x，
∵在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，
∴BD=B'D=16-x，B'C=AB-AC=20-12=8，∠DCB'=90°，
∴在Rt△DCB'中，
CD2+B'C2=DB'2，
∴x2+82=（16-x）2，
解得：x=6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：×6×12=36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设CD=x，根据折叠性质可得BD=B'D=16-x，B'C=AB-AC=20-12=8，∠DCB'=90°，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
.
在和中，
平行四边形是矩形．
（2）解：．
理由如下：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：（2）中的结论仍然成立．证明：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形为平行四边形，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1) 利用平行四边形对边相等的性质，结合已知对角线相等的条件，通过 SSS 证明
△ABC△DCB，得到一组邻角互补且相等，从而证明有一个内角为 90°，再根据矩形定义判定该平行四边形为矩形。
(2) 连接 GE，利用折叠性质和中点条件得到 EF=EC，再结合矩形的直角，通过 HL 证明
Rt△GFERt△GCE ，从而得到对应边 GF=GC。
(3) 连接 FC，先由折叠和中点得到 EF=EC，推出∠EFC=∠ECF；再利用平行四边形对角相等及邻角互补的性质，证明∠EFG=∠ECD，通过角的差运算得到∠GFC=∠GCF，最后根据等角对等边得到 FG=CG，证明结论仍然成立。
（1）四边形是平行四边形，
.
在和中，
平行四边形是矩形．
（2）．
理由如下：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形为平行四边形，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
23．【答案】解：（1）等腰直角；
（2）过点作轴于点，如图，
则：．
∴，
∴ ．
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，
把代入中，得，
∴点的坐标为，
∴，
把代入，得，解得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴．
当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点的坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）证明：在和中，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点作轴于点，则：，根据角之间的关系可得∠OAB=∠HCA，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系可得OH，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，根据y轴上点的坐标特征可得点的坐标为，则，根据x轴上点的坐标特征可得点的坐标为，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据点的坐标可得点的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案；当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F，则，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标可得点E的坐标为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
1 / 1广东省惠州市惠阳区第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·惠阳期中）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得且.
故答案为：C.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数，可得x+1≥0且x-3≠0，求解即可.
2．（2025八下·惠阳期中） 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．5，8，13 C．1，1， D．1，，4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不是勾股数；∴A错误；
B、∵，∴三角形是直角三角形，∴B正确；
C、∵，∴不是勾股数；∴C错误；
D、∵，∴不是勾股数；∴D错误；
故选：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两条直角边的平方和等于斜边的平方即可.
3．（2025八下·惠阳期中）下列各曲线中表示是的函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以C正确．
故选：C
【分析】根据函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·惠阳期中） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、则本项错误，不符合题意；
B、不是同类二次根数，无法进行合并计算，则本项不符合题意；
C、，则本项符合题意；
D、则本项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，但不是同类二次根式的就一定不能合并，据此可判断A、B选项；
由二次根式的乘法法则可判断C选项；
由二次根式的除法法则可判断D选项.
5．（2025八下·惠阳期中）如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．
6．（2025八下·惠阳期中）点在一次函数的图象上，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：因为点 在一次函数 的图象上，
所以将 ， 代入函数解析式，可得：
移项，得：；
合并同类项，得：；
系数化为1，得：；
所以 的值为 ，
故答案为：C。
【分析】将点 代入一次函数 ，得到方程 ，解此方程即可求出 的值。
7．（2025八下·惠阳期中）在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝6，则DE＝（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 如图，
在△ABC中，
∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理：
已知 ，代入得：
故答案为：C。
【分析】先根据中点条件判断DE是△ABC的中位线，再利用三角形中位线定理 直接计算出DE的长度。
8．（2025八下·惠阳期中）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）.
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：B．
【分析】由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，再根据菱形判定定理即可求出答案.
9．（2025八下·惠阳期中）一次函数的图像不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在一次函数中，，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，
∴图象一定不经过第二象限．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
10．（2025八下·惠阳期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以为边作菱形轴，则菱形的周长是（　　）
A．12 B．15 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】菱形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在一次函数 中：
当 时，，解得 ，所以点A的坐标为 ，即 。
当 时，，所以点B的坐标为 ，即 。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
因为四边形ABCD是菱形，所以四条边相等，周长为：，
所以菱形ABCD的周长为20，
故答案为：D。
【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点 A、B 的坐标，再用勾股定理算出 AB 的长度，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长。
二、填空题（本小题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·惠阳期中）在圆的面积公式中，常量是　 　．
【答案】
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，
故答案为：π．
【分析】依据常量与变量的定义，在圆面积公式 S=πr2 中判断出 π 是常量，S 和 r 是变量。
12．（2025八下·惠阳期中）化简二次根式的结果等于　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：3．
【分析】利用二次根式的性质进行求解即可.
13．（2025八下·惠阳期中）如图，中，，则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
14．（2025八下·惠阳期中）如图，在菱形中，，则的长为　 　．
【答案】10
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：10．
【分析】根据菱形的性质得到是等边三角形解题即可．
15．（2025八下·惠阳期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点、是坐标轴上的动点，若正方形的边长为4，则线段长的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，记AB的中点为E，连接OE、CE，
∵，
∴，
，
∴线段长的最大值是OE+CE=，
故答案为：．
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系等知识．如图，记AB的中点为E，连接OE、CE，则OE=，勾股定理求出CE，根据三角形两边之和大于第三边，当CEO三点共线时OC最大．
三、解答题（一）（本小题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分）
16．（2025八下·惠阳期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先利用二次根式乘法法则计算 ，再将结果除以 ，最后化简得到结果；
(2) 先运用乘法分配律展开 ，再将 化简，最后合并同类二次根式得到结果。
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2025八下·惠阳期中）如图，在中，点 、、 分别在、 、上， ，，且 是的中点．求证：
【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形
∴DE=BF
∵F是BC的中点
∴BF=CF
∴DE=CF ．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先由两组对边分别平行证得四边形 BDEF 是平行四边形，得到 DE=BF，再利用 F 是 BC 中点的条件得到 BF=CF，最后通过等量代换证明 DE=CF。
18．（2025八下·惠阳期中）已知y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）解：设y与之间的函数解析式为，
将时，代入，
得，
解得，
则y与x之间的函数解析式为
（2）解：将代入，
得
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，先设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得；
（2）将代入（1）中的函数解析式即可得．
（1）解：设y与之间的函数解析式为，
将时，代入，
得，
解得，
则y与x之间的函数解析式为．
（2）解：将代入，
得．
四、解答题（2）（本小题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·惠阳期中）一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9）
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（3，5），（-4，-9）代入得：
解得：
则一次函数解析式为y=2x-1；
（2）对于y=2x-1，
令x=0，则y=-1，令y=0，则x=
∴函数图象与两坐标轴交点坐标为（0，-1），（，0），
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积S=×1×=．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】(1) 设一次函数解析式为 y=kx+b，将两点坐标代入得到方程组，解出 k、b 得到解析式；
(2) 分别令 x=0 和 y=0，求出函数图象与坐标轴的交点坐标，最后用三角形面积公式计算出围成的三角形面积。
（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，
把（3，5），（-4，-9）代入得：
解得：
则一次函数解析式为y=2x-1；
（2）对于y=2x-1，
令x=0，则y=-1，令y=0，则x=
∴函数图象与两坐标轴交点坐标为（0，-1），（，0），
则函数图象与坐标轴围成的三角形面积S=×1×=．
20．（2025八下·惠阳期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）证明四边形是菱形．
【答案】（1）解∶，
是的中点，
在与中，
（2）解：由（1）可知，，
是的中点，
四边形是平行四边形，
又为直角三角形，D是的中点，
四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据线段中点可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．（2025八下·惠阳期中）如图所示，在中，，，，把折叠，使落在直线上．
（1）判断的形状．
（2）求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】解：（1）∵，，，
则，
即满足，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设CD=x，
∵在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，
∴BD=B'D=16-x，B'C=AB-AC=20-12=8，∠DCB'=90°，
∴在Rt△DCB'中，
CD2+B'C2=DB'2，
∴x2+82=（16-x）2，
解得：x=6，
∴重叠部分（阴影部分）的面积为：×6×12=36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）设CD=x，根据折叠性质可得BD=B'D=16-x，B'C=AB-AC=20-12=8，∠DCB'=90°，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
五、解答题（三）（本小题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·惠阳期中）定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
（1）如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形；
（2）如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
.
在和中，
平行四边形是矩形．
（2）解：．
理由如下：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：（2）中的结论仍然成立．证明：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形为平行四边形，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1) 利用平行四边形对边相等的性质，结合已知对角线相等的条件，通过 SSS 证明
△ABC△DCB，得到一组邻角互补且相等，从而证明有一个内角为 90°，再根据矩形定义判定该平行四边形为矩形。
(2) 连接 GE，利用折叠性质和中点条件得到 EF=EC，再结合矩形的直角，通过 HL 证明
Rt△GFERt△GCE ，从而得到对应边 GF=GC。
(3) 连接 FC，先由折叠和中点得到 EF=EC，推出∠EFC=∠ECF；再利用平行四边形对角相等及邻角互补的性质，证明∠EFG=∠ECD，通过角的差运算得到∠GFC=∠GCF，最后根据等角对等边得到 FG=CG，证明结论仍然成立。
（1）四边形是平行四边形，
.
在和中，
平行四边形是矩形．
（2）．
理由如下：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵沿折叠后得到，
∴，
∴，
∵在矩形中，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：如下图，连接，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠后得到，
∴，，
∴，
∴，
∵矩形为平行四边形，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
即（2）中的结论仍然成立．
23．（2025八下·惠阳期中）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，则是______三角形（填形状）；
（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，，连接，过点A在第一象限内作的垂线，并在垂线截取，求点C的坐标；
（3）基本图形的应用：如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标．
【答案】解：（1）等腰直角；
（2）过点作轴于点，如图，
则：．
∴，
∴ ．
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：如图，当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，
把代入中，得，
∴点的坐标为，
∴，
把代入，得，解得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴．
当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F，
则，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
解得：，
∴点的坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）证明：在和中，
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）过点作轴于点，则：，根据角之间的关系可得∠OAB=∠HCA，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据两点间距离可得，，再根据边之间的关系可得OH，再根据点的坐标即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点D在点B的右侧时，过点作，交于点，过点作，交于点，根据y轴上点的坐标特征可得点的坐标为，则，根据x轴上点的坐标特征可得点的坐标为，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据点的坐标可得点的坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案；当点D在点B的左侧时，过点B作，交于点E，过点E作轴于点F，则，根据角之间的关系可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据点的坐标可得点E的坐标为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点代入解析式可得直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
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