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广东省佛山市禅城区佛山实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（2025八下·禅城期中）下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·禅城期中）如果，下列不等式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．3
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、不等式两边同时减1，不等号方向不变，因此 成立，A正确；
B、不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，因此 成立，B正确；
C、不等式两边同时乘以负数-2，不等号方向改变，因此 成立，C正确；
D、先对 两边乘以-2，不等号方向改变，得到 ；再两边加3，不等号方向不变，得到 。因此 不成立，D错误；
故答案为：D。
【分析】本题考查不等式的性质，解题时需紧扣三条核心规则：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
3．（2025八下·禅城期中）不等式在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：；
；
解得；
该不等式的解集为 ，在数轴上表示为在处画实心圆点，并向左延伸：
故答案为：A。
【分析】先通过移项、合并同类项、系数化为 1（注意变号）解出不等式 x≤ 1，再在数轴上用实心圆点表示 1并向左画线，即可选出正确选项。
4．（2025八下·禅城期中）下列分解因式正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、∵
∴该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】
本题考查因式分解的方法，熟知因式分解的方法是解题关键.根据因式分解的方法：提公因式法和公式法；对于选项A：根据完全平方公式即可作出判断，对于选项B：根据提公因式法先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可作出判断；对于选项C：根据平方差公式分解即可作出判断；根据选项D：先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可作出判断；由此可判断出答案.
5．（2025八下·禅城期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：已知直线 与直线 交于点 。
不等式 表示直线 的函数值小于直线 的函数值。
根据图象，在交点 的左侧，即当 时，直线 位于直线 的下方，满足上述条件。
所以，不等式 的解集是 。
故答案为：C
【分析】将不等式 理解为比较直线 和 的函数值大小，即寻找 在 下方时的 范围。两直线的交点 是函数值相等的点，也是判断大小关系的分界点。观察图像，在交点左侧（）时， 在 下方，满足不等式条件，因此解集为 。
6．（2025八下·禅城期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图的步骤，直线MN是线段AB的垂直平分线。
因为点D在MN上，所以AD=BD。
△BCD的周长为：
∴的周长，
已知AC=12，BC=10，代入得：
所以，△BCD的周长为22。
故答案为：C。
【分析】题目中的尺规作图是典型的线段垂直平分线作法，利用垂直平分线的性质，将△BCD周长中的BD转化为AD，实现了线段的等量代换。通过AD + CD = AC，将周长表达式简化为AC + BC，避免了复杂的计算，直接利用已知条件求解。
7．（2025八下·禅城期中）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原分式方程为：
因为分母不能为0，所以 。若方程有增根，则增根必为 。
方程两边同乘 ，去分母得：
去括号：
合并同类项：
解得：
将增根 代入上式：
两边同乘3：
移项得：
所以， 的值为 。
故答案为：B。
【分析】先根据分母为0，确定唯一可能的增根 ，将分式方程转化为整式方程，并用含 的式子表示 ，把增根代入整式方程，即可求出参数 。
8．（2025八下·禅城期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；反证法；角平分线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个角是 60° 的三角形是等边三角形。反例：三个角分别为 30°、60°、90° 的直角三角形，有一个 60° 角，但不是等边三角形。A是假命题；B、若 a > b，则 a2 > b2。反例：当 a = -1，b = -2 时，满足 a > b，但 (-1)2 = 1，(-2)2 = 4，此时 a2 < b2。B是假命题；
C、用反证法证明 “已知△ABC，AB = AC，求证：∠B < 90°”，第一步应先假设∠B > 90°。反证法应假设结论的反面，即∠B ≥ 90°，包含∠B = 90° 的情况。C是假命题；
D、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上。根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。D是真命题；
故答案为：D。
【分析】利用等边三角形判定条件、举反例（如 a=-1，b=-2）、反证法假设结论反面（∠B≥90°）及角平分线判定定理，最终确定D为真命题。
9．（2025八下·禅城期中）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为 万平方米。
根据题意，实际工作效率比原计划提高了20%，因此实际每天绿化的面积为 万平方米。
原计划完成任务所需时间为： 天；
实际完成任务所需时间为： 天；
由于实际比原计划提前了25天完成任务，因此可列出方程：；
故答案为：C。
【分析】先根据 “提前 25 天完成” 确定等量关系为 “原计划时间 实际时间 = 25”，再用工作总量除以效率分别表示出原计划和实际的时间，代入等量关系即可列出正确方程。
10．（2025八下·禅城期中）乘坐轨道交通出行绿色低碳、舒适便捷．如图1是我市一个地铁站入口双翼闸机的示意图，它是轴对称图形．如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查直角三角形中30°角的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半，解题需通过作垂线构造直角三角形。为求出最大宽度，过点A作于点N，过点B作于点M，此时可通过闸机的最大宽度为。已知，，在中，是30°角所对的直角边，斜边为，故；同理，，再加上，可得最大宽度为。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·禅城期中）分解因式： =　 　．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025八下·禅城期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
13．（2025八下·禅城期中）若是完全平方式，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此建立出关于字母m的方程，求解即可.
14．（2025八下·禅城期中）如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为　 　．
【答案】15
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：15 ．
【分析】利用平移性质可知阴影部分面积等于梯形 BEFG 的面积，再根据梯形面积公式计算即可。
15．（2025八下·禅城期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
故，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质与三角形全等的判定，解题需通过作垂线构造全等三角形。过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，由旋转性质可知，，故；又因，所以。结合，可证，则，。计算，因垂直x轴且在x轴下方，故点C的坐标为。
三、解答题（共8小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
16．（2025八下·禅城期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集 x<2 和 x≥ 1，再取它们的公共部分得到不等式组的解集 1≤x<2，最后在数轴上用实心点表示 1、空心点表示2，并画出区间即可。
17．（2025八下·禅城期中）（1）；
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】解：（1），
方程两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
，
根据题意，，即，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根的有效性；
（2）先按分式运算法则化简表达式，再根据分母不为 0 的条件选取合适的数代入求值。
18．（2025八下·禅城期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：如图3，
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据平移性质做做图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
19．（2025八下·禅城期中）如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠DBC，根据含30°角的直角三角形性质可得DN，根据勾股定理可得BN，再根据三角形面积可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
20．（2025八下·禅城期中）国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等．
（1）请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元：
（2）若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案：
甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折．
乙：一律打8折出售．
若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元．
①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？
【答案】（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；
（2）①
②小王想购买90个这种周边产品，
从甲批发商购买所需费用（元），
从乙批发商购买所需费用（元），
，
小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．
【知识点】分式方程的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）解：①根据题意得当时，，
当时，
；
【分析】（1）设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①分类讨论：当时，当时，根据题意建立函数关系式即可.
②分别求出从从甲，乙批发商购买所需费用，再比较大小即可求出答案.
（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；
（2）解：①根据题意得当时，，
当时，
；
②小王想购买90个这种周边产品，
从甲批发商购买所需费用（元），
从乙批发商购买所需费用（元），
，
小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．
21．（2025八下·禅城期中）【项目式学习】旋转对称图形的设计.八年级数学学习小组围绕这一主题，进行了项目式.学习小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫它的对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，图中的正六边形，点是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合．
素材二：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
（1）下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有_________，旋转能够完全重合的图形有_________（写选项），请写出一个有一个旋转角是旋转对称图形，这个图形可以是_________；（写图形名称）
（2）如图，正方形边长为，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，将正方形分成四部分．那么图形的周长为_________，面积为_________．
（3）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；六块图形的面积相同．请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
（4）尺规作图，在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写作法）
【答案】（1）；；；正方形
（2），
（3）解：根据要求画图如下：
根据要求画图如下：
（4）解：根据定义画图如下：
【知识点】弧长的计算；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；作图-作给定图形的对称轴；尺规作图-作三角形的内切圆
【解析】【解答】（1）解：根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意即正方形，
故答案为；；；；正方形．
（2）解：正方形的面积为，圆的周长为，
图形的周长为，面积为．
故答案为：，1．
【分析】(1) 根据旋转对称与中心对称的定义，逐一判断图形类型，并通过 360 ÷ 旋转角确定对应图形。
(2) 将图形 OBC 的周长拆分为两段圆弧与两条线段之和，面积则取正方形面积的一半进行计算。
(3) 利用正六边形的对称性，通过连接对边中点或中心与顶点的方式，将其等分为六块且保持整体对称。
(4) 在等边三角形内部构造一个同中心的对称图形，使整体同时满足旋转对称与轴对称的条件。
（1）解：根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意即正方形，
故答案为；；；；正方形．
（2）解：正方形的面积为，圆的周长为，
图形的周长为，面积为．
故答案为：，1．
（3）解：根据要求画图如下：
根据要求画图如下：
（4）解：根据定义画图如下：
22．（2025八下·禅城期中）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解．
例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解．
根据上面材料解答下列问题：
【材料理解】
（1）方程的两个解分别为______，______（）；
【类比引申】
（2）若，分别是方程的两个解，求的值；
【拓展提升】
（3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值．
【答案】（1），；
（2）∵，分别是方程的两个解，
∴
∴
（3）解：由题意得可化为，
设，方程可化为，
易知k和是这个方程的解，
∵k为自然数，
∴，
∴必有，，
∴，，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵可以化为，
∴方程的两个解分别为，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据新定义化简计算即可求出答案.
（2）根据新定义可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意得可化为，设，化简方程可得k和是这个方程的解，根据题意建立方程，解方程可得，，再代入分式，化简即可求出答案.
23．（2025八下·禅城期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
1 / 1广东省佛山市禅城区佛山实验学校2024-2025学年八年级下学期期中考数学卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．（2025八下·禅城期中）下列四个前沿的大模型的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·禅城期中）如果，下列不等式中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．3
3．（2025八下·禅城期中）不等式在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·禅城期中）下列分解因式正确的一项是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·禅城期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·禅城期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，，则的周长为（　　）
A．18 B．19 C．22 D．25
7．（2025八下·禅城期中）如果关于的分式方程有增根，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·禅城期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
9．（2025八下·禅城期中）绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为万平方米，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·禅城期中）乘坐轨道交通出行绿色低碳、舒适便捷．如图1是我市一个地铁站入口双翼闸机的示意图，它是轴对称图形．如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·禅城期中）分解因式： =　 　．
12．（2025八下·禅城期中）若分式 的值为0，则x=　 　．
13．（2025八下·禅城期中）若是完全平方式，则的值为　 　．
14．（2025八下·禅城期中）如图，将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形．已知，则图中阴影部分面积为　 　．
15．（2025八下·禅城期中）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是　 　．
三、解答题（共8小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
16．（2025八下·禅城期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．（2025八下·禅城期中）（1）；
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
18．（2025八下·禅城期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移4个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______．
19．（2025八下·禅城期中）如图，在四边形中，平分，，交的延长线于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
20．（2025八下·禅城期中）国产电影《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，其电影周边产品同样火爆．小李计划购买某种周边产品进行销售，现有甲、乙两个批发商可供选择，甲比乙的单价少5元．且用2000元在甲采购的周边产品个数与用2200元在乙采购的个数相等．
（1）请利用分式方程，求甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是多少元：
（2）若两个批发商针对这种周边产品给出了不同的优惠方案：
甲：若一次性购买这种周边产品的数量不超过40个，按原价出售；若超过40个．超过的部分打8折．
乙：一律打8折出售．
若小李计划在甲批发商处购买这种周边产品m个，设应付n元．
①直接写出n与m之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
②若小王想购买90个这种周边产品时，从哪家购买比较划算？
21．（2025八下·禅城期中）【项目式学习】旋转对称图形的设计.八年级数学学习小组围绕这一主题，进行了项目式.学习小组成员经过查阅相关资料，得到如下素材：
素材一：一般地，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形，这个定点叫它的对称中心，叫做这个旋转对称图形的一个旋转角．例如，图中的正六边形，点是它的内角平分线的交点，将这个正六边形绕着点旋转，旋转后的图形与旋转前的图形重合．
素材二：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
（1）下列图形中不是旋转对称图形的有________，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有_________，旋转能够完全重合的图形有_________（写选项），请写出一个有一个旋转角是旋转对称图形，这个图形可以是_________；（写图形名称）
（2）如图，正方形边长为，以各边中点为圆心，为半径依次作圆，将正方形分成四部分．那么图形的周长为_________，面积为_________．
（3）为了美化环境，某中学需要在一块正六边形空地上分别种植六种不同的花草，现将这块空地按下列要求分成六块：分割后的整个图形必须既是轴对称图形又是旋转对称图形；六块图形的面积相同．请你按上述两个要求，分别在图中的两个正六边形中画出两种不同的分割方法（只要求画图正确，不写作法）．
（4）尺规作图，在图中的等边三角形内部作出一个图形，使作出的图形和这个等边三角形构成的整体既是一个旋转对称图形又是一个轴对称图形（作出的图形用实线，作图过程用虚线，保留痕迹，不写作法）
22．（2025八下·禅城期中）对于形如（、为常数）的分式方程，若，，容易验证，是分式方程的解．
例如：可化为，所以，是方程的解；又如可化为，所以，是方程的解．
根据上面材料解答下列问题：
【材料理解】
（1）方程的两个解分别为______，______（）；
【类比引申】
（2）若，分别是方程的两个解，求的值；
【拓展提升】
（3）若关于的方程的两个解分别为（），求的值．
23．（2025八下·禅城期中）李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、不等式两边同时减1，不等号方向不变，因此 成立，A正确；
B、不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，因此 成立，B正确；
C、不等式两边同时乘以负数-2，不等号方向改变，因此 成立，C正确；
D、先对 两边乘以-2，不等号方向改变，得到 ；再两边加3，不等号方向不变，得到 。因此 不成立，D错误；
故答案为：D。
【分析】本题考查不等式的性质，解题时需紧扣三条核心规则：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：；
；
解得；
该不等式的解集为 ，在数轴上表示为在处画实心圆点，并向左延伸：
故答案为：A。
【分析】先通过移项、合并同类项、系数化为 1（注意变号）解出不等式 x≤ 1，再在数轴上用实心圆点表示 1并向左画线，即可选出正确选项。
4．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、∵
∴该选项错误，不符合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】
本题考查因式分解的方法，熟知因式分解的方法是解题关键.根据因式分解的方法：提公因式法和公式法；对于选项A：根据完全平方公式即可作出判断，对于选项B：根据提公因式法先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可作出判断；对于选项C：根据平方差公式分解即可作出判断；根据选项D：先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可作出判断；由此可判断出答案.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：已知直线 与直线 交于点 。
不等式 表示直线 的函数值小于直线 的函数值。
根据图象，在交点 的左侧，即当 时，直线 位于直线 的下方，满足上述条件。
所以，不等式 的解集是 。
故答案为：C
【分析】将不等式 理解为比较直线 和 的函数值大小，即寻找 在 下方时的 范围。两直线的交点 是函数值相等的点，也是判断大小关系的分界点。观察图像，在交点左侧（）时， 在 下方，满足不等式条件，因此解集为 。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据尺规作图的步骤，直线MN是线段AB的垂直平分线。
因为点D在MN上，所以AD=BD。
△BCD的周长为：
∴的周长，
已知AC=12，BC=10，代入得：
所以，△BCD的周长为22。
故答案为：C。
【分析】题目中的尺规作图是典型的线段垂直平分线作法，利用垂直平分线的性质，将△BCD周长中的BD转化为AD，实现了线段的等量代换。通过AD + CD = AC，将周长表达式简化为AC + BC，避免了复杂的计算，直接利用已知条件求解。
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：原分式方程为：
因为分母不能为0，所以 。若方程有增根，则增根必为 。
方程两边同乘 ，去分母得：
去括号：
合并同类项：
解得：
将增根 代入上式：
两边同乘3：
移项得：
所以， 的值为 。
故答案为：B。
【分析】先根据分母为0，确定唯一可能的增根 ，将分式方程转化为整式方程，并用含 的式子表示 ，把增根代入整式方程，即可求出参数 。
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；反证法；角平分线的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个角是 60° 的三角形是等边三角形。反例：三个角分别为 30°、60°、90° 的直角三角形，有一个 60° 角，但不是等边三角形。A是假命题；B、若 a > b，则 a2 > b2。反例：当 a = -1，b = -2 时，满足 a > b，但 (-1)2 = 1，(-2)2 = 4，此时 a2 < b2。B是假命题；
C、用反证法证明 “已知△ABC，AB = AC，求证：∠B < 90°”，第一步应先假设∠B > 90°。反证法应假设结论的反面，即∠B ≥ 90°，包含∠B = 90° 的情况。C是假命题；
D、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上。根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。D是真命题；
故答案为：D。
【分析】利用等边三角形判定条件、举反例（如 a=-1，b=-2）、反证法假设结论反面（∠B≥90°）及角平分线判定定理，最终确定D为真命题。
9．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为 万平方米。
根据题意，实际工作效率比原计划提高了20%，因此实际每天绿化的面积为 万平方米。
原计划完成任务所需时间为： 天；
实际完成任务所需时间为： 天；
由于实际比原计划提前了25天完成任务，因此可列出方程：；
故答案为：C。
【分析】先根据 “提前 25 天完成” 确定等量关系为 “原计划时间 实际时间 = 25”，再用工作总量除以效率分别表示出原计划和实际的时间，代入等量关系即可列出正确方程。
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查直角三角形中30°角的性质，即30°角所对的直角边等于斜边的一半，解题需通过作垂线构造直角三角形。为求出最大宽度，过点A作于点N，过点B作于点M，此时可通过闸机的最大宽度为。已知，，在中，是30°角所对的直角边，斜边为，故；同理，，再加上，可得最大宽度为。
11．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵x2-4=0，
∴x=±2，
当x=2时，x+2≠0，
当x=-2时，x+2=0．
∴当x=2时，分式的值是0．
故答案为：2
【分析】分式的值等于0的条件是：分子等于0且分母不等于0，据此列式求出x的值即可。
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，据此建立出关于字母m的方程，求解即可.
14．【答案】15
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将直角三角形沿向右平移个单位得到直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：15 ．
【分析】利用平移性质可知阴影部分面积等于梯形 BEFG 的面积，再根据梯形面积公式计算即可。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
故，
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质与三角形全等的判定，解题需通过作垂线构造全等三角形。过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，由旋转性质可知，，故；又因，所以。结合，可证，则，。计算，因垂直x轴且在x轴下方，故点C的坐标为。
16．【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集是；
在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集 x<2 和 x≥ 1，再取它们的公共部分得到不等式组的解集 1≤x<2，最后在数轴上用实心点表示 1、空心点表示2，并画出区间即可。
17．【答案】解：（1），
方程两边同时乘以去分母得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）
，
根据题意，，即，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先将分式方程去分母转化为整式方程求解，再检验根的有效性；
（2）先按分式运算法则化简表达式，再根据分母不为 0 的条件选取合适的数代入求值。
18．【答案】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：如图3，
根据图形可知：
旋转中心的坐标为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据平移性质做做图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，平分，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠DBC，根据含30°角的直角三角形性质可得DN，根据勾股定理可得BN，再根据三角形面积可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据割补法，结合三角形面积即可求出答案.
20．【答案】（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；
（2）①
②小王想购买90个这种周边产品，
从甲批发商购买所需费用（元），
从乙批发商购买所需费用（元），
，
小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．
【知识点】分式方程的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）解：①根据题意得当时，，
当时，
；
【分析】（1）设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）①分类讨论：当时，当时，根据题意建立函数关系式即可.
②分别求出从从甲，乙批发商购买所需费用，再比较大小即可求出答案.
（1）解：设甲批发商的周边产品的单价是元，则乙批发商的周边产品的单价是元，
根据题意得，
解得，
，
答：甲和乙两个批发商的周边产品的单价分别是元、元；
（2）解：①根据题意得当时，，
当时，
；
②小王想购买90个这种周边产品，
从甲批发商购买所需费用（元），
从乙批发商购买所需费用（元），
，
小王想购买90个这种周边产品，从乙批发商购买比较划算．
21．【答案】（1）；；；正方形
（2），
（3）解：根据要求画图如下：
根据要求画图如下：
（4）解：根据定义画图如下：
【知识点】弧长的计算；轴对称图形；中心对称及中心对称图形；作图-作给定图形的对称轴；尺规作图-作三角形的内切圆
【解析】【解答】（1）解：根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意即正方形，
故答案为；；；；正方形．
（2）解：正方形的面积为，圆的周长为，
图形的周长为，面积为．
故答案为：，1．
【分析】(1) 根据旋转对称与中心对称的定义，逐一判断图形类型，并通过 360 ÷ 旋转角确定对应图形。
(2) 将图形 OBC 的周长拆分为两段圆弧与两条线段之和，面积则取正方形面积的一半进行计算。
(3) 利用正六边形的对称性，通过连接对边中点或中心与顶点的方式，将其等分为六块且保持整体对称。
(4) 在等边三角形内部构造一个同中心的对称图形，使整体同时满足旋转对称与轴对称的条件。
（1）解：根据定义判定不是旋转对称图形，既是旋转对称图形又是中心对称图形的有，旋转能够完全重合的图形有，，根据题意即正方形，
故答案为；；；；正方形．
（2）解：正方形的面积为，圆的周长为，
图形的周长为，面积为．
故答案为：，1．
（3）解：根据要求画图如下：
根据要求画图如下：
（4）解：根据定义画图如下：
22．【答案】（1），；
（2）∵，分别是方程的两个解，
∴
∴
（3）解：由题意得可化为，
设，方程可化为，
易知k和是这个方程的解，
∵k为自然数，
∴，
∴必有，，
∴，，
∴．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：（1）∵可以化为，
∴方程的两个解分别为，；
故答案为：，；
【分析】（1）根据新定义化简计算即可求出答案.
（2）根据新定义可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）由题意得可化为，设，化简方程可得k和是这个方程的解，根据题意建立方程，解方程可得，，再代入分式，化简即可求出答案.
23．【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
，，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题需结合旋转特点和图形性质逐步推导。
初识图形：在中，，，故；因点E在上，，故，且，为等边三角形，所以；，在中，，由勾股定理得。
深度探析(1)因，，故；又，故，；因，故，则；，故。
(2)延长、交于点H，因，故，又，故；因，故，结合，，可证，故，即F为中点。
拓展探究：分三种情况，①当时，由初识图形可知；②当点E在延长线上时，；③当在延长线上时，为等边三角形，，，，由勾股定理得，故的长为2、6或。
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