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广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025八下·惠来期中）下列各式中，是不等式的有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025八下·惠来期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·惠来期中）若一个不等式的正整数解为1，2，3，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（　　）
A．
B．
C．
D．．
4．（2025八下·惠来期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·惠来期中）如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·惠来期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
7．（2025八下·惠来期中）两条纸带，较长的一条长23 cm，较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（　　）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
8．（2025八下·惠来期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．24
9．（2025八下·惠来期中）已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
10．（2025八下·惠来期中）如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2025八下·惠来期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是　 　．
12．（2025八下·惠来期中）已知点位于第三象限，则a的取值范围是　 　．
13．（2025八下·惠来期中）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是　 　．
14．（2025八下·惠来期中）如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为　 　．
15．（2025八下·惠来期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16．（2025八下·惠来期中）（1）解不等式，并写出最大整数解；
（2）解不等式，利用数轴确定不等式的解集．
17．（2025八下·惠来期中）按要求完成下列各小题：
（1）在中，，，求的度数；
（2）如图，，，．求证：．
18．（2025八下·惠来期中）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·惠来期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上．
（1）的形状是______（直接写答案）；
（2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积；
（3）画出绕点逆时针时针旋转的．
20．（2025八下·惠来期中）如果不等式组的解集是
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式的解为
21．（2025八下·惠来期中）截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计915万户，批发零售业比住宿餐饮业多490.4万户.
（1）求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？
（2）为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共120万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025八下·惠来期中）请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
x 0 1 2 3 4 5 6
y 5 m 1 1 3 n
（1）表格中：　 　，　 　．
（2）根据表格已有数据，描点，连线．在平面直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）．
（3）观察图象，回答问题：
①当x　 　时，y随x的增大而减小；
②该函数的最小值为　 　；
③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是　 　．
23．（2025八下·惠来期中）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，点D在等边的边上，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受到启发，如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若的延长线经过点E，求的度数．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，如图3，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点F，连接．智慧小组对该图形进行探究，得出结论：．智慧小组的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个，
故答案为：C ．
【分析】根据不等式的定义逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、由图可得A的正整数解为，故不正确；
B、由图可得B的正整数解为，，，故正确；
C、由图可得C的正整数解为，，故不正确；
D、由图可得D的正整数解为，，故不正确；
故答案为：B．
【分析】结合数轴分别判断出各选项中整数的解，再逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，
当时，.
故答案为：C．
【分析】从图象角度看，求当时， x的取值范围，就是求函数y=kx+b的图象位于x轴的上方部分相应的自变量的取值范围，结合其与x轴交点的横坐标即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：在直线上平移得到，
，，
，，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可知，，再由三角形内角和求得，
，．
6．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据等边三角形判定定理，有理数的乘方，角平分线性质，反证法的意义逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设剪下的长度为x厘米，得：
23-x≥2（15-x）
23-x≥30-2x
x≥7．
答：剪下的长度至少是7厘米．
故应选：B．
【分析】设剪下的长度为x厘米，则第一根纸带还剩（23-x）米，第二根纸带还剩（15-x）米，根据剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，列出不等式，求解得出最小整数解即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵轴，，，
∴点的纵坐标为，
过点作，交轴于点，交于点，则：，
∵
∴，
∴，，
∴的面积为．
故答案为：C．
【分析】过点作，交轴于点，交于点，先利用点坐标的定义及线段的和差可得AD和BD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和为直角三角形的两条直角边时，
第三边长为；
当为直角边，为直角三角形的斜边时，
第三边长为，
这个直角三角形的第三边长为或．
故选： C．
【分析】分情况讨论：当和为直角三角形的两条直角边时，当为直角边，为直角三角形的斜边时，根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求得，由角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得AD=2CD求出AD的值，然后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角；
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和或余角的定义求解即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点位于第三象限，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，列出不等式求解．
13．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：，即：；
∵，
∴，解得：；
故答案为：．
【分析】将两个二元一次方程相加，得到的值，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，是边上的高，
，
在中，，
，
，
故答案为：3．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出AD的长即可.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，核心是通过旋转的性质推导相关角的度数。根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此，（旋转角），。因为，所以是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可求出。在中，，根据三角形内角和定理，，因此。又因为旋转角，在中，利用三角形内角和定理，。
16．【答案】解：（1），
去分母得，，
移项得，，
合并，得，，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为0；
（2）
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：.
（2）解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用三角形的内角和可得，最后求出即可；
（2）先利用线段的和差及等量代换可得，再利用“HL”证出即可.
（1）解：∵，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图（垂线）与等腰三角形性质、三角形内角和定理。
（1）尺规作高：以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧交于一点，连接与该点交于，即为高（保留痕迹）。
（2）要判断数量关系，先由得，在中，；因为，所以，由三角形内角和得；联立两式，整理得。
（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，且，
这个变化过程中扫过的面积；
（3）解：如图所示：
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣平移；作图﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：，，，
，且，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，AC，BC，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据题意，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图即可.
（1）解：，，，
，且，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，且，
这个变化过程中扫过的面积；
（3）解：如图所示：
20．【答案】（1）解：，由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴.
（2）解：∵不等式的解为，
∴，
解得：．
【知识点】已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，最后求出m的取值范围即可；
（2）根据不等式组的解及不等式的性质可得，再求出m的取值范围即可.
（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
21．【答案】（1）设批发零售业有万户，住宿餐饮业有万户．
依题意得解得
答：批发零售业有702.7万户，住宿餐饮业有212.3万户；
（2）设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户．依题意得，解得.
答：住宿餐饮业至少要新增40万户.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)设批发零售业有x万户，住宿餐饮业有y万户，根据“批发零售业和住宿餐饮业共计915万户，批发零售业比住宿餐饮业多490.4万户”列方程组求解即可；
(2)设住宿餐饮业至少要新增m万户，新增批发零售业 万户，根据“新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍”列不等式求解即可.
22．【答案】（1）3；5
（2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示：
（3）；-1；
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：3，5；
（3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，函数值最小，最小值为．
故答案为：；
③直线过点和，如图所示，
当的取值范围是，
故答案为：．
【分析】（1）将x=1和x=6代入解析式求出y的值即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）①结合函数图形直接分析求解即可；
②结合函数图形直接分析求解即可；
③结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：3，5；
（2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示：
（3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，函数值最小，最小值为．
故答案为：；
③直线过点和，如图所示，
当的取值范围是，
故答案为：．
23．【答案】（1）证明：，
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：设与的交点为F，如图，
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴.
（3）证明：智慧小组的结论正确，
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
过点A分别作，，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）设与的交点为F，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点A分别作，，垂足分别为M、N，先证出，，利用三角形的面积公式可得，可得，再证出平分，利用角平分线的定义可得，从而可得．
1 / 1广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025八下·惠来期中）下列各式中，是不等式的有（　　）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个，
故答案为：C ．
【分析】根据不等式的定义逐一判断即可．
2．（2025八下·惠来期中）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）和中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·惠来期中）若一个不等式的正整数解为1，2，3，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（　　）
A．
B．
C．
D．．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、由图可得A的正整数解为，故不正确；
B、由图可得B的正整数解为，，，故正确；
C、由图可得C的正整数解为，，故不正确；
D、由图可得D的正整数解为，，故不正确；
故答案为：B．
【分析】结合数轴分别判断出各选项中整数的解，再逐项分析判断即可.
4．（2025八下·惠来期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由一次函数的图象可知，
当时，.
故答案为：C．
【分析】从图象角度看，求当时， x的取值范围，就是求函数y=kx+b的图象位于x轴的上方部分相应的自变量的取值范围，结合其与x轴交点的横坐标即可得出答案.
5．（2025八下·惠来期中）如图，在直线上平移得到，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质
【解析】【解答】解：在直线上平移得到，
，，
，，
，
在中，，
，
，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可知，，再由三角形内角和求得，
，．
6．（2025八下·惠来期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据等边三角形判定定理，有理数的乘方，角平分线性质，反证法的意义逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025八下·惠来期中）两条纸带，较长的一条长23 cm，较短的一条长15 cm.把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（　　）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设剪下的长度为x厘米，得：
23-x≥2（15-x）
23-x≥30-2x
x≥7．
答：剪下的长度至少是7厘米．
故应选：B．
【分析】设剪下的长度为x厘米，则第一根纸带还剩（23-x）米，第二根纸带还剩（15-x）米，根据剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，列出不等式，求解得出最小整数解即可得出答案。
8．（2025八下·惠来期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（　　）
A．8 B．9 C．12 D．24
【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵轴，，，
∴点的纵坐标为，
过点作，交轴于点，交于点，则：，
∵
∴，
∴，，
∴的面积为．
故答案为：C．
【分析】过点作，交轴于点，交于点，先利用点坐标的定义及线段的和差可得AD和BD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
9．（2025八下·惠来期中）已知直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：当和为直角三角形的两条直角边时，
第三边长为；
当为直角边，为直角三角形的斜边时，
第三边长为，
这个直角三角形的第三边长为或．
故选： C．
【分析】分情况讨论：当和为直角三角形的两条直角边时，当为直角边，为直角三角形的斜边时，根据勾股定理即可求出答案.
10．（2025八下·惠来期中）如图，中，，，D为边上一点，且平分，若，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两锐角互余可求得，由角平分线的定义可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”得AD=2CD求出AD的值，然后根据线段的和差BC=CD+BD即可求解．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（2025八下·惠来期中）在一个直角三角形中，一个锐角等于，则另一个锐角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：另一个锐角；
故答案为：．
【分析】利用三角形的内角和或余角的定义求解即可.
12．（2025八下·惠来期中）已知点位于第三象限，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点位于第三象限，
∴，解得：.
故答案为：.
【分析】根据在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，列出不等式求解．
13．（2025八下·惠来期中）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
得：，即：；
∵，
∴，解得：；
故答案为：．
【分析】将两个二元一次方程相加，得到的值，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
14．（2025八下·惠来期中）如图，在中，，是边上的高，．若，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，是边上的高，
，
在中，，
，
，
故答案为：3．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出AD的长即可.
15．（2025八下·惠来期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，核心是通过旋转的性质推导相关角的度数。根据旋转的性质，旋转前后对应边相等、对应角相等，因此，（旋转角），。因为，所以是等腰三角形，等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可求出。在中，，根据三角形内角和定理，，因此。又因为旋转角，在中，利用三角形内角和定理，。
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16．（2025八下·惠来期中）（1）解不等式，并写出最大整数解；
（2）解不等式，利用数轴确定不等式的解集．
【答案】解：（1），
去分母得，，
移项得，，
合并，得，，
系数化为1，得：，
∴不等式的最大整数解为0；
（2）
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
17．（2025八下·惠来期中）按要求完成下列各小题：
（1）在中，，，求的度数；
（2）如图，，，．求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：.
（2）解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用三角形的内角和可得，最后求出即可；
（2）先利用线段的和差及等量代换可得，再利用“HL”证出即可.
（1）解：∵，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，，
∴，即，
在和中，
，
∴．
18．（2025八下·惠来期中）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规过点作的高，为垂足．要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母
（2）猜想与证明：在（1）的条件下，试判断与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图（垂线）与等腰三角形性质、三角形内角和定理。
（1）尺规作高：以为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心画弧交于一点，连接与该点交于，即为高（保留痕迹）。
（2）要判断数量关系，先由得，在中，；因为，所以，由三角形内角和得；联立两式，整理得。
（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：，证明如下：
由图可知，
，
，
，
，
，
，
．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·惠来期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上．
（1）的形状是______（直接写答案）；
（2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积；
（3）画出绕点逆时针时针旋转的．
【答案】（1）等腰直角三角形
（2）解：如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，且，
这个变化过程中扫过的面积；
（3）解：如图所示：
【知识点】勾股定理的逆定理；作图﹣平移；作图﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：，，，
，且，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，AC，BC，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据题意，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据旋转性质作图即可.
（1）解：，，，
，且，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，且，
这个变化过程中扫过的面积；
（3）解：如图所示：
20．（2025八下·惠来期中）如果不等式组的解集是
（1）求m的取值范围；
（2）当m为何整数时，不等式的解为
【答案】（1）解：，由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴.
（2）解：∵不等式的解为，
∴，
解得：．
【知识点】已知不等式的解（集）求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集为，最后求出m的取值范围即可；
（2）根据不等式组的解及不等式的性质可得，再求出m的取值范围即可.
（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
21．（2025八下·惠来期中）截至2024年9月底，全国登记在册的批发零售业和住宿餐饮业共计915万户，批发零售业比住宿餐饮业多490.4万户.
（1）求批发零售业和住宿餐饮业各有多少户？
（2）为促进就业，鼓励消费，若2025年上半年新增批发零售业和住宿餐饮业共120万户，且新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍，问：住宿餐饮业至少要新增多少户？
【答案】（1）设批发零售业有万户，住宿餐饮业有万户．
依题意得解得
答：批发零售业有702.7万户，住宿餐饮业有212.3万户；
（2）设住宿餐饮业新增万户，则批发零售业新增万户．依题意得，解得.
答：住宿餐饮业至少要新增40万户.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)设批发零售业有x万户，住宿餐饮业有y万户，根据“批发零售业和住宿餐饮业共计915万户，批发零售业比住宿餐饮业多490.4万户”列方程组求解即可；
(2)设住宿餐饮业至少要新增m万户，新增批发零售业 万户，根据“新增批发零售业户数不超过新增住宿餐饮业户数的2倍”列不等式求解即可.
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（2025八下·惠来期中）请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
x 0 1 2 3 4 5 6
y 5 m 1 1 3 n
（1）表格中：　 　，　 　．
（2）根据表格已有数据，描点，连线．在平面直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）．
（3）观察图象，回答问题：
①当x　 　时，y随x的增大而减小；
②该函数的最小值为　 　；
③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是　 　．
【答案】（1）3；5
（2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示：
（3）；-1；
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：3，5；
（3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，函数值最小，最小值为．
故答案为：；
③直线过点和，如图所示，
当的取值范围是，
故答案为：．
【分析】（1）将x=1和x=6代入解析式求出y的值即可；
（2）利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象即可；
（3）①结合函数图形直接分析求解即可；
②结合函数图形直接分析求解即可；
③结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
（1）解：当时，，
当时，，
故答案为：3，5；
（2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示：
（3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，函数值最小，最小值为．
故答案为：；
③直线过点和，如图所示，
当的取值范围是，
故答案为：．
23．（2025八下·惠来期中）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，点D在等边的边上，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接．试猜想与的数量关系，并加以证明．
（1）独立思考：请解答老师提出的问题；
（2）实践探究：希望小组受到启发，如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，若的延长线经过点E，求的度数．
（3）问题解决：智慧小组突发奇想，如图3，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点F，连接．智慧小组对该图形进行探究，得出结论：．智慧小组的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：设与的交点为F，如图，
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴.
（3）证明：智慧小组的结论正确，
理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
过点A分别作，，垂足分别为M、N，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）设与的交点为F，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）过点A分别作，，垂足分别为M、N，先证出，，利用三角形的面积公式可得，可得，再证出平分，利用角平分线的定义可得，从而可得．
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