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浙江省嘉兴市平湖市八校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九上·平湖期中）下列成语中，表示不可能事件的是（　　）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水滴石穿
【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A，水中捞月是不可能事件；
B、守株待兔是随机事件；
C、水涨船高是必然事件；
D、水滴石穿是必然事件；
故答案为：A.
【分析】在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件 ，根据定义并结合各选项即可判断求解.
2．（2025九上·平湖期中） 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5.5，则点P在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=5.5，半径r=5，即OP>r，点P在圆外.
故答案：A.
【分析】点到圆心的距离大于半径，即知点在圆外.
3．（2025九上·平湖期中）对于的顶点坐标为（　　）
A．(－3，2) B．(3，2) C．(－3，－2) D．(3，－2)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为(3，2).
故答案：B.
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可得其顶点坐标.
4．（2025九上·平湖期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．72° B．36° C．18° D．54°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠BAC=∠BOC=18°.
故答案：C.
【分析】直接由同弧所对圆周角与圆心角的关系可得∠BAC的度数.
5．（2025九上·平湖期中）将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度后，新得到的抛物线为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数向上平移3个单位，向左平移1个单位后得，整理得.
故答案：A.
【分析】直接根据函数“左加右减，上加下减”的平移规则，代入计算即可得平移后的函数.
6．（2025九上·平湖期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAC=180°-∠BCD=180°-130°=50°
∴∠BOD=2∠BAD=100°
故答案：B.
【分析】由圆内接四边形的性质得∠BAD的度数，再由同弧所对圆心角为圆周角的2倍可得∠BOD的度数.
7．（2025九上·平湖期中）已知，，是拋物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 拋物线 的开口向上，且对称轴为直线x=-1，
当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，
点(-2，y1)关于对称轴直线x=-1的对称点为(0，y1)，
而-1<0<1，故.
故答案：C.
【分析】由抛物线解析式知其开口方向和对称轴，同时知其增减性，(-2，y1)的对称点(0，y1)，由-1<0<1得.
8．（2025九上·平湖期中） 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让绿灯发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：闭合任意两个开关的情况有S1和S2，S2和S3，S1和S3，其中能使绿灯发光的是闭合S1和S3，故能使绿灯发光的概率P=.
故答案：D.
【分析】先列出三个开关闭合2个开关的所有情况，有3种，而使绿灯发光的情况有1种，故概率为.
9．（2025九上·平湖期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-α
∵ACD=ABD=β，∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°
∴β+γ+90°-α=180°
∴
故答案：C.
【分析】连接AC，知ACE=ABD=α，由AB为直径知ACB=90，得∠CAB=90°-α，再由三角形内角和定理得β+γ+90°-α=180°，即有.
10．（2025九上·平湖期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，7）、B（3，3），点P（m，n）在线段AB上，设t=anm2(a为常数)；下列两个说法：
①当a=1时，t有最大值2，无最小值；
②当0A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；
C．①②都正确 D．①②都错误；
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入得，解得，故直线AB的解析式为y=2x-3，故n=2m-3(-2≤m≤3)， 代入t=anm2得t=a(2m-3)-m2，即
当a=1时，，当m=1时，t取最大值，即tmax=-2，当m=-2时，取最小值，tmin=-11，故①错误；
当 0故答案：B.
【分析】先求出直线AB的解析式，可得n=2m-3，代入t=anm2得t=a(2m-3)-m2，即，再分别讨论当a=1和0二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·平湖期中）二次函数y＝x21的图象与y轴的交点坐标是　 　．
【答案】(0，-1)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对二次函数 y＝x21 ，令x=0，则y=-1，函数与y轴交点为(0，-1).
故答案：(0，-1).
【分析】令x=0得y=-1，即得函数与y轴的交点坐标.
12．（2025九上·平湖期中）如图，△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，若∠COB=35°，则∠BOA=　 　°．
【答案】25
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转知∠AOC=60°
∵∠COB=35°
∴∠BOA=∠AOC-∠BOC=60°-35°=25°
故答案：25.
【分析】由旋转的性质知∠AOC=60°，由此得∠BOA的度数.
13．（2025九上·平湖期中）在-4，-2，1，2四个数中，随机取一个数分别作为函数中a的值，使该二次函数图象开口向上的概率为是　 　．
【答案】0.5
【知识点】二次函数y=ax²的性质；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：给定的a的值有4个，使二次函数开口向上的有1，2共2个，故开口向上的概率P=0.5.
故答案：0.5.
【分析】使开口向上的a的值有2个，而a的值有4个，相比即得概率.
14．（2025九上·平湖期中）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠BAD＝35°，则∠B的度数是　 　．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵∠BCD=∠BAD=35°
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-35°=55°
∵CD=AD
∴∠DAC=∠DCA
∵∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-55°-55°=70°
∴∠B=∠ADC=70°
故答案：70°.
【分析】AB为直径知∠ACB=90°，可得∠BCD的度数，由此得∠ACD的度数，由等腰三角形的性质可得∠B的度数.
15．（2025九上·平湖期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为　 　．（填序号）
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确；
方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确；
故答案：③④.
【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值.
16．（2025九上·平湖期中） 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交射线DB于点F，连结EF、AF、AE，当△AEF成为等腰直角三角形时，的值为　 　．
【答案】或或1
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：①当∠AFE=90°时，如图，
此时∠BDA=∠AEF=45°，∠EDF=∠EAF=45°，
∠ADC=90°，
②当∠EAF=90°时，∠EDF=90°
∠ADF=∠AEF=45°
③当∠AEF=90°时，如图所示，
∠ADB=90°，∠EDF=∠EAF=45°
∠ABD=45°
故答案：或或1.
【分析】分别讨论当∠AFE、∠EAF、∠AEF分别为90°时的情况，画出相应的草图，结合圆周角定理即可求出的值.
三、解答题（本大题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）
17．（2025九上·平湖期中）已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，－2）.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
【答案】（1）解：由题意设二次函数表达式为，将(0，0)代入得
a-2=0，得a=2，故二次函数表达式为y=2（x-1）2-2
（2）解：二次函数y=2（x-1）2-2开口向上，且对称轴为直线x=1，当x≤1时，y随x的增大而减小，
当x>1时，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设函数的顶点式，再将(0，0)代入可得a的值，即得二次函数解析式；
(2)由二次函数知开口方向和对称轴，根据增减性知当x=1时取最小值.
18．（2025九上·平湖期中）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字 -1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或画树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果．
（2）求点M（x，y）在二次函数y=x2+1的图象上的概率．
【答案】（1）解：树状图如下图所示，所有可能的结果为(-1，1)、(-1，2)、(1，-1)、(1，2)、(2，-1)、(2，1).
（2）解：当x=1时，y=2；当y=-1时，y=2；故点M(x，y)在二次函数图象上的概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由题意利用树状图画出所有可能的结果；
(2)列举出在二次函数图象上的点有2个，即知概率.
19．（2025九上·平湖期中） 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形对角互补在AC左上方的圆上找到格点即可；
(2)取BC的中点，再连接O与中点，与圆的交点即为E.
20．（2025九上·平湖期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，．
（1）求证： OD∥BC；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵，OD是半径，
，
又，
，
（2）解：∵AC=8，DE=2，
，，
又∵在Rt△AOE中，，

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC；
(2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长.
21．（2025九上·平湖期中）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其中有三 对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤18，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b，当x=12时，y=500，当x=14时，y=400，得
解得，故函数关系式为y=-50x+1100
（2）解：由题意，笔记本的单件利润为（x-10)元，
故总利润w=（x-10）（-50x+1100）=
w为x的二次函数，开口向下，对称轴为直线x=
当x<16时，y随x的增大而增大，当x>16时，y随x的增大而减小，
当x=16时，y取最大值，故在12≤x≤18内，所以w最大=6×300=1800元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设y=kx+b，将表格中两组数据分别代入，求出k、b的值，即得y与x的函数关系式；
(2)单件利润为(x-10)，即得总利润w=（x-10）（-50x+1100）根据开口方向和对称轴，知x=16时y取最大值.
22．（2025九上·平湖期中）如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
【答案】（1）解：连接AB，
∵
∴∠BAO=60°
在△AOB中，tan60°=，即，得OB=
（2）解：连接CM，
∵由(1)知AB=2OA=4，
∴MB=MC=2，
∵
∴∠BMC=90°
由勾股定理得CB=，CB=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)连接AB知∠BAO=60°，由正切值可得OB的长；
(2)连接CM，由(1)知AB的长，即知半径长，由勾股定理得BC的长.
23．（2025九上·平湖期中）已知二次函数（为常数），
（1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
（2）当时，的最小值为1，求的值；
（3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
∴二次函数为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，
∴，
解得：，
当时，如图，当时，
此时，函数取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
综上：或．
（3）解：当时，抛物线为
把向下平移个单位长度得到新抛物线为，
把代入可得：
，
∴，
当时，的最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(1，0)代入解析式可得b的值，即可得二次函数表达式；
(2)求出对称轴直线x=b，分类讨论b<-1、b>-1时的最小值，即可得b的值；
(3)由题意求出平移后的函数解析式，将将点(m，0)代入可得，求出n的范围.
24．（2025九上·平湖期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形.
注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家）
【性质探究】
（1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.即如图，四边形ABCD是⊙O的婆氏四边形，过点M作ME⊥BC于E，延长EM交AD于F，求证：F为AD中点；
（2）如图，在直径为d的⊙O中，弦AC、BD互相垂直，垂足为M.
求证：AB2+CD2=AD2+BC2=d2
（3）【性质运用】
如图，AC、BD是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以AM、BM、CM、DM为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为90°），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB⊥CD
∴∠BCM+∠MBC=90°
∵ME⊥BC
∴∠MBC+∠BME=90°
∴∠BME=∠BCM
∵∠DMF=∠BME，BCM=∠ADM
∴∠FMD=∠FDM
∴FM=FD
同理得∠DAM=∠AMF
∴FM=FA
∴FA=FD
∴F为AD的中点
（2）证明：作直径DG，连接CG
∴DC⊥GC
∵∠G=∠DAC
∵AC⊥BD
∴∠ADB=∠GDC
∴
∴AB=CG
∴AB2+CD2=DG2=d2
∴AD2+CB2=AM2+MD2+BM2+MC2= AM2+BM2+MD2+MC2=AB2+CD2
∴AB2+CD2=AD2+CB2=d2
（3）解：由（2）得AM2+MD2+BM2+MC2 =AD2+CB2=d2
S1=++
==
S==
为定值
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据垂直互余关系可得∠BME=∠BCM，结合对顶角和圆周角定理得∠FMD=∠FDM，同理得∠DAM=∠AMF，由此可得FA=FD，即F为AD的中点；
(2)作直径DG，连接CG，知∠G=∠DAC由互余关系得∠ADB=∠GDC，即得AB=CG，由此可得结论；
(3)由(2)的结论可得S1的表达式，求出S的表达式，即可知为定值.
1 / 1浙江省嘉兴市平湖市八校联考2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九上·平湖期中）下列成语中，表示不可能事件的是（　　）
A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．水滴石穿
2．（2025九上·平湖期中） 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为5.5，则点P在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
3．（2025九上·平湖期中）对于的顶点坐标为（　　）
A．(－3，2) B．(3，2) C．(－3，－2) D．(3，－2)
4．（2025九上·平湖期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝36°，则∠BAC的度数是（　　）
A．72° B．36° C．18° D．54°
5．（2025九上·平湖期中）将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1个单位长度后，新得到的抛物线为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·平湖期中）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
7．（2025九上·平湖期中）已知，，是拋物线上的点，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·平湖期中） 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让绿灯发光的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·平湖期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·平湖期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，7）、B（3，3），点P（m，n）在线段AB上，设t=anm2(a为常数)；下列两个说法：
①当a=1时，t有最大值2，无最小值；
②当0A．①正确，②错误； B．①错误，②正确；
C．①②都正确 D．①②都错误；
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·平湖期中）二次函数y＝x21的图象与y轴的交点坐标是　 　．
12．（2025九上·平湖期中）如图，△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD，若∠COB=35°，则∠BOA=　 　°．
13．（2025九上·平湖期中）在-4，-2，1，2四个数中，随机取一个数分别作为函数中a的值，使该二次函数图象开口向上的概率为是　 　．
14．（2025九上·平湖期中）如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点（位于AB两侧），CD＝AD，且∠BAD＝35°，则∠B的度数是　 　．
15．（2025九上·平湖期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0；②b2－4ac＜0；③a－b＋c＜0；④若方程ax2＋bx＋c＝－3有两个根为m、n，则m＋n=2．其中正确的为　 　．（填序号）
16．（2025九上·平湖期中） 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交射线DB于点F，连结EF、AF、AE，当△AEF成为等腰直角三角形时，的值为　 　．
三、解答题（本大题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分）
17．（2025九上·平湖期中）已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，－2）.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
18．（2025九上·平湖期中）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字 -1，1，2．第一次从袋中任意摸出一个小球（不放回），得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y．
（1）用列表法或画树状图法，列出点M（x，y）的所有可能结果．
（2）求点M（x，y）在二次函数y=x2+1的图象上的概率．
19．（2025九上·平湖期中） 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
20．（2025九上·平湖期中）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O ，OD交AC于点E ，．
（1）求证： OD∥BC；
（2）若，，求BC的长．
21．（2025九上·平湖期中）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其中有三 对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤18，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
22．（2025九上·平湖期中）如图，在平面直角坐标系中，△COB的外接圆⊙M与y轴交于点．
（1）求OB的长．
（2）求CB的长．
23．（2025九上·平湖期中）已知二次函数（为常数），
（1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
（2）当时，的最小值为1，求的值；
（3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
24．（2025九上·平湖期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形.
注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家）
【性质探究】
（1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边.即如图，四边形ABCD是⊙O的婆氏四边形，过点M作ME⊥BC于E，延长EM交AD于F，求证：F为AD中点；
（2）如图，在直径为d的⊙O中，弦AC、BD互相垂直，垂足为M.
求证：AB2+CD2=AD2+BC2=d2
（3）【性质运用】
如图，AC、BD是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以AM、BM、CM、DM为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为90°），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A，水中捞月是不可能事件；
B、守株待兔是随机事件；
C、水涨船高是必然事件；
D、水滴石穿是必然事件；
故答案为：A.
【分析】在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件 ，根据定义并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=5.5，半径r=5，即OP>r，点P在圆外.
故答案：A.
【分析】点到圆心的距离大于半径，即知点在圆外.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为(3，2).
故答案：B.
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可得其顶点坐标.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠BAC=∠BOC=18°.
故答案：C.
【分析】直接由同弧所对圆周角与圆心角的关系可得∠BAC的度数.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数向上平移3个单位，向左平移1个单位后得，整理得.
故答案：A.
【分析】直接根据函数“左加右减，上加下减”的平移规则，代入计算即可得平移后的函数.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD内接于
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAC=180°-∠BCD=180°-130°=50°
∴∠BOD=2∠BAD=100°
故答案：B.
【分析】由圆内接四边形的性质得∠BAD的度数，再由同弧所对圆心角为圆周角的2倍可得∠BOD的度数.
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 拋物线 的开口向上，且对称轴为直线x=-1，
当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，
点(-2，y1)关于对称轴直线x=-1的对称点为(0，y1)，
而-1<0<1，故.
故答案：C.
【分析】由抛物线解析式知其开口方向和对称轴，同时知其增减性，(-2，y1)的对称点(0，y1)，由-1<0<1得.
8．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：闭合任意两个开关的情况有S1和S2，S2和S3，S1和S3，其中能使绿灯发光的是闭合S1和S3，故能使绿灯发光的概率P=.
故答案：D.
【分析】先列出三个开关闭合2个开关的所有情况，有3种，而使绿灯发光的情况有1种，故概率为.
9．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB=90°-∠ABC=90°-α
∵ACD=ABD=β，∠ACE+∠AEC+∠CAE=180°
∴β+γ+90°-α=180°
∴
故答案：C.
【分析】连接AC，知ACE=ABD=α，由AB为直径知ACB=90，得∠CAB=90°-α，再由三角形内角和定理得β+γ+90°-α=180°，即有.
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入得，解得，故直线AB的解析式为y=2x-3，故n=2m-3(-2≤m≤3)， 代入t=anm2得t=a(2m-3)-m2，即
当a=1时，，当m=1时，t取最大值，即tmax=-2，当m=-2时，取最小值，tmin=-11，故①错误；
当 0故答案：B.
【分析】先求出直线AB的解析式，可得n=2m-3，代入t=anm2得t=a(2m-3)-m2，即，再分别讨论当a=1和011．【答案】(0，-1)
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对二次函数 y＝x21 ，令x=0，则y=-1，函数与y轴交点为(0，-1).
故答案：(0，-1).
【分析】令x=0得y=-1，即得函数与y轴的交点坐标.
12．【答案】25
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转知∠AOC=60°
∵∠COB=35°
∴∠BOA=∠AOC-∠BOC=60°-35°=25°
故答案：25.
【分析】由旋转的性质知∠AOC=60°，由此得∠BOA的度数.
13．【答案】0.5
【知识点】二次函数y=ax²的性质；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：给定的a的值有4个，使二次函数开口向上的有1，2共2个，故开口向上的概率P=0.5.
故答案：0.5.
【分析】使开口向上的a的值有2个，而a的值有4个，相比即得概率.
14．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∵∠BCD=∠BAD=35°
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-35°=55°
∵CD=AD
∴∠DAC=∠DCA
∵∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-55°-55°=70°
∴∠B=∠ADC=70°
故答案：70°.
【分析】AB为直径知∠ACB=90°，可得∠BCD的度数，由此得∠ACD的度数，由等腰三角形的性质可得∠B的度数.
15．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图像知抛物线开口向下，故a<0，故①错误；
抛物线与x轴有两个交点，得，故②错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故③正确；
方程 ax2＋bx＋c＝－3 的根可理解为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点横坐标，根据二次函数的对称性知m+n=2，故④正确；
故答案：③④.
【分析】观察图形知抛物线开口向下，知a的符号，与x轴有两个交点，得，当x=-1时，y<0得a-b+c<0，将方程转化为函数y=ax2＋bx＋c与函数y=-3的交点问题，根据对称性知m+n的值.
16．【答案】或或1
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：①当∠AFE=90°时，如图，
此时∠BDA=∠AEF=45°，∠EDF=∠EAF=45°，
∠ADC=90°，
②当∠EAF=90°时，∠EDF=90°
∠ADF=∠AEF=45°
③当∠AEF=90°时，如图所示，
∠ADB=90°，∠EDF=∠EAF=45°
∠ABD=45°
故答案：或或1.
【分析】分别讨论当∠AFE、∠EAF、∠AEF分别为90°时的情况，画出相应的草图，结合圆周角定理即可求出的值.
17．【答案】（1）解：由题意设二次函数表达式为，将(0，0)代入得
a-2=0，得a=2，故二次函数表达式为y=2（x-1）2-2
（2）解：二次函数y=2（x-1）2-2开口向上，且对称轴为直线x=1，当x≤1时，y随x的增大而减小，
当x>1时，y随x的增大而增大，当x=1时，y有最小值-2
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)设函数的顶点式，再将(0，0)代入可得a的值，即得二次函数解析式；
(2)由二次函数知开口方向和对称轴，根据增减性知当x=1时取最小值.
18．【答案】（1）解：树状图如下图所示，所有可能的结果为(-1，1)、(-1，2)、(1，-1)、(1，2)、(2，-1)、(2，1).
（2）解：当x=1时，y=2；当y=-1时，y=2；故点M(x，y)在二次函数图象上的概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由题意利用树状图画出所有可能的结果；
(2)列举出在二次函数图象上的点有2个，即知概率.
19．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)由圆内接四边形对角互补在AC左上方的圆上找到格点即可；
(2)取BC的中点，再连接O与中点，与圆的交点即为E.
20．【答案】（1）证明：∵，OD是半径，
，
又，
，
（2）解：∵AC=8，DE=2，
，，
又∵在Rt△AOE中，，

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；同位角相等，两直线平行；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由垂径定理的推论知E为AC的中点，根据中位线定理知OD||BC；
(2)先求出AE和OA的长，根据勾股定理得OE的长，即可得BC的长.
21．【答案】（1）解：设y=kx+b，当x=12时，y=500，当x=14时，y=400，得
解得，故函数关系式为y=-50x+1100
（2）解：由题意，笔记本的单件利润为（x-10)元，
故总利润w=（x-10）（-50x+1100）=
w为x的二次函数，开口向下，对称轴为直线x=
当x<16时，y随x的增大而增大，当x>16时，y随x的增大而减小，
当x=16时，y取最大值，故在12≤x≤18内，所以w最大=6×300=1800元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设y=kx+b，将表格中两组数据分别代入，求出k、b的值，即得y与x的函数关系式；
(2)单件利润为(x-10)，即得总利润w=（x-10）（-50x+1100）根据开口方向和对称轴，知x=16时y取最大值.
22．【答案】（1）解：连接AB，
∵
∴∠BAO=60°
在△AOB中，tan60°=，即，得OB=
（2）解：连接CM，
∵由(1)知AB=2OA=4，
∴MB=MC=2，
∵
∴∠BMC=90°
由勾股定理得CB=，CB=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】(1)连接AB知∠BAO=60°，由正切值可得OB的长；
(2)连接CM，由(1)知AB的长，即知半径长，由勾股定理得BC的长.
23．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
∴二次函数为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，
∴，
解得：，
当时，如图，当时，
此时，函数取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
综上：或．
（3）解：当时，抛物线为
把向下平移个单位长度得到新抛物线为，
把代入可得：
，
∴，
当时，的最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴．
【知识点】二次函数的其他应用；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(1，0)代入解析式可得b的值，即可得二次函数表达式；
(2)求出对称轴直线x=b，分类讨论b<-1、b>-1时的最小值，即可得b的值；
(3)由题意求出平移后的函数解析式，将将点(m，0)代入可得，求出n的范围.
24．【答案】（1）证明：∵AB⊥CD
∴∠BCM+∠MBC=90°
∵ME⊥BC
∴∠MBC+∠BME=90°
∴∠BME=∠BCM
∵∠DMF=∠BME，BCM=∠ADM
∴∠FMD=∠FDM
∴FM=FD
同理得∠DAM=∠AMF
∴FM=FA
∴FA=FD
∴F为AD的中点
（2）证明：作直径DG，连接CG
∴DC⊥GC
∵∠G=∠DAC
∵AC⊥BD
∴∠ADB=∠GDC
∴
∴AB=CG
∴AB2+CD2=DG2=d2
∴AD2+CB2=AM2+MD2+BM2+MC2= AM2+BM2+MD2+MC2=AB2+CD2
∴AB2+CD2=AD2+CB2=d2
（3）解：由（2）得AM2+MD2+BM2+MC2 =AD2+CB2=d2
S1=++
==
S==
为定值
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】(1)根据垂直互余关系可得∠BME=∠BCM，结合对顶角和圆周角定理得∠FMD=∠FDM，同理得∠DAM=∠AMF，由此可得FA=FD，即F为AD的中点；
(2)作直径DG，连接CG，知∠G=∠DAC由互余关系得∠ADB=∠GDC，即得AB=CG，由此可得结论；
(3)由(2)的结论可得S1的表达式，求出S的表达式，即可知为定值.
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