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浙江省湖州市长兴县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·长兴期中）下列y关于x的函数中，是二次函数的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：对A选项，自变量x的次数为1，故A不符合题意；
对B选项，可化为y=1-2x，自变量x的次数为1，故B不符合题意；
对C选项，自变量x的次数为-2，故C不符合题意；
对D选项，自变量x的次数为2，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的概念，依次判断各选项即可.
2．（2025九上·长兴期中）下列事件为必然事件的是(　　)
A．买一张电影票，座位号是偶数
B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下
C．打开电视机，正在播放“快乐大本营”
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 也可能正面朝上，为随机事件，故B不符合题意；
对C选项，打开电视机，正在播放“快乐大本营”是随机事件，故C不符合题意；
对D选项， 任意画一个三角形，其内角和是180° 是必然事件，故D符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据事件的分类，依次判断各选项中事件发生的可能性即可得结论.
3．（2025九上·长兴期中）已知⊙O与点 P 在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP 的长为3，则下列说法正确的是(　　)
A．点 P 在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点 P 与⊙O 的位置关系
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=3，半径r=5，OP故答案为： B.
【分析】直接由点P到圆心的距离与半径的大小关系即得位置关系.
4．（2025九上·长兴期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，弧AB的度数为（　　）
A．80° B．40° C．20° D．60°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 如图，
，
点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，则∠AOB＝80°，则弧AB的度数也为80°，
故选：A.
【分析】 如图， 由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此可求得∠AOB的度数，再由弧的度数的定义可得弧AB的度数 .
5．（2025九上·长兴期中）已知二次函数 下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是 (　　)
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(1，3)
C．图象与x轴有唯一交点 D．当x≤1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数二次项系数a=-1<0，故抛物线开口向下，故A错误；
顶点横坐标为x=，y=-1+2+3=4，故顶点坐标为(1，4)，故B错误；
，抛物线与x轴有两个交点，故C错误；
二次函数的对称轴为直线x=1，当x≤1时，y随x的增大而增大，故D正确；
故答案为： D.
【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴x=1，令x=1，y=4得顶点坐标(1，4)，根据判别式△>0知二次函数与x轴有两个交点，根据开口和对称轴知当x≤1时，y随x的增大而增大.
6．（2025九上·长兴期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为(　　)
A．20 B．40 C．60 D．100
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：m=1220%=60.
故答案为： C.
【分析】根据频率与概率的关系，用12除以20%即得总数.
7．（2025九上·长兴期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连结DF，则∠FDC的度数是(　　)
A．18° B．30° C．36° D．40°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的内角为，即有∠ABC=108°，∠BAC=
∴∠CAE=108°-∠CAB=108°-36°=72°
∴∠DEA+∠CAE=108°+72°=180°
∴DF||AC
又∵DE=AF=AE
∴AEDF为菱形
∴∠EDF=∠EAC=72°
∴∠FDC=108°-∠EDF=108°-72°=36°
故答案为： C.
【分析】先求出正五边形的内角，由BA=BC可得∠BAC的度数，由此得∠EAC的度数，即可得DE||AC，可证AEDF为菱形，得∠DEF的度数，即可得∠FDC的度数.
8．（2025九上·长兴期中）如图，是二次函数 图象的一部分，与x轴一交点为A(3，0)，下列结论正确的个数有(　　)
①abc<0； ②a+c=b； ③b2<4ac； ④a+bA．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象知开口向上，故a>0，对称轴为直线x=1>0，故b<0，与y轴的交点在负半轴，故c<0，故abc>0，故①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x0，0)则有，得x0=-1，即与x轴的交点为为(-1，0)，代入得a-b+c=0，即a+c=b，故②正确；
抛物线与x轴有两个交点，故，即有，故③错误；
当x=1时，y取最小值a+b+c，故当x=m时，a+b+c抛物线与x轴的交点为(-1，0)和(3，0)，当-1综上所述，②④⑤正确，正确的个数为3个.
故答案为：B .
【分析】由函数图象知a、b、c的符号，即可判断①；由对称性知当x=-1时，y=0，即可判断②；由图像知抛物线与x轴有2个交点，即知③错误；当x=1时取最小值，即知a+b+c9．（2025九上·长兴期中）二次函数，对称轴为直线x=3，若关于x的一元二次方程（t为实数）在2A．t>-7 B．-7【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=3，
∴
解得m=6，
∴抛物线解析式为y=-x2+6x=-(x-3)2+9，
抛物线的顶点坐标为(3，9)，
当x=2时，y=-x2+6x=8；当x=7时，y=-x2+6x=-7，
∵关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在2∴抛物线y=-x2+6x与直线y=t在2 ∴-7故答案为：D.
【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y=-x2+6x，配方得到抛物线的顶点坐标为(3，9)，再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x2+4x与直线y=t在110．（2025九上·长兴期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°， AC =BC =4， D是AB的中点，经过C、D两点的圆交AC、BC于点E、F，且AE =CF.当圆变化时，点C 到线段EF的最大距离为(　　)
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】 【解答】解：连接CD、DE、DF，
∵∠C=90°，AC=BC
∴∠A=45°
∵D为AB的中点，CA=CB
∴CD⊥AB，DA=DC
又∵∠A=∠DCF
∴△ADE≌△CDF(SAS)
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠CDF=90°
∴∠EDF=90°
∴
∵
∴
EF越小，越小，越大，此时点C到EF的距离越大，
当EF最小时，点C到EF的距离最大，
当CD为直径时，CD最小即EF最小，此时CEDF为正方形，
此时点C至EF的距离为；
故答案为：A.
【分析】连接CD、DE、DF，由等腰直角三角形的性质知CD⊥AB，DA=DC，易得△ADE≌△CDF，由此得DECF的面积为定值，当CD为直径时，EF取最小值，即点C到EF的距离最大，求出此时的最大值即可.
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·长兴期中）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，它的顶点坐标为((-2，1)，则此抛物线的解析式 　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： 抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同 ，故a=-3，顶点坐标为(-2，1)，故抛物线的解析式为.
故答案为： .
【分析】抛物线的形状和开口由a决定，由此知抛物线的a=-3，由顶点可列出其顶点式.
12．（2025九上·长兴期中）已知直角三角形的两边长为3和4，则该直角三角形的外接圆直径为　 　.
【答案】4或5
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当斜边为c=4时，外接圆的直径为4；
当3和4为直角边时，斜边c=，外接圆直径为5；
综上所述，外接圆直径为4或5.
故答案为：4或5 .
【分析】分别讨论斜边为为4或者5时的外接圆直径，即得结果.
13．（2025九上·长兴期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ABCD内接 ⊙O
∴∠BAD+∠C=180°
∴∠BAD=180°-125°=55°
∵DE为直径
∴∠DAE=90°
∴∠BAE=90°-∠BAD=90°-55°=35°
故答案为： 35°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得∠BAD的度数，由直径所对圆周角为直角得∠DAE=90°，即得∠BAE的度数.
14．（2025九上·长兴期中）从-2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，则抽出的数对(a，b)是二次函数 图象上点的坐标的概率为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意知抽出的所有结果是(0，1)、(0，-2)、(1，-2)、(1，0)、(-2，1)、(-2，0)共6种，
其中(0，-2)在抛物线上，故点在抛物线上的概率P=.
故答案为： .
【分析】一一列举所有的点，依次将点代入函数中，即知点(0，-2)在函数图象上，由此可得点在抛物线 上的概率.
15．（2025九上·长兴期中）已知二次函数
（1）若点(b-2，c)在该函数图象上，则b的值为　 　
（2） 若点( 都在该函数图象上，且则 b的取值范围为　 　
【答案】（1）±2
（2）- 32
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)将x=b-2代入函数得，整理得b2=4，解得b=±2；
(2)二次函数的开口向上且对称轴为直线x=b，
当xb时，y随x的增大而增大，
①当b<2b<2b+6，即b>0，b-2则有b-(b-2)<2b-b，得b>2；
②当2b则有2b+6-b>b-(b-2)>b-2b，得b>-3，
故-3综上所述，- 32
【分析】(1)将点(b-2，c)代入二次函数中，即可得b的值；
(2)由二次函数解析式知开口方向和对称轴，结合x=b与三点横坐标的大小关系分别讨论b<2b<2b+6和2b16．（2025九上·长兴期中）如图，在⊙O中，AB 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D，连接 CD . 如果AD=6 ， DB=2 ， 则AC 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CO、CB，作CE⊥AB于点E，
∵和所对圆周角为∠CAB
∴=
∴BC=DC
∵CE⊥BD
∴DE=BE=BD=1
∴AB=AD+BD=6+2=8
∴OB=OC=AB=4
∴OE=OB-BE=4-1=3
∴AE=AD+DE=6+1=7
∴CE=
∴AC=
故答案为： .
【分析】和所对圆周角为∠CAB得CD=CB，由等腰三角形的性质知DE=BE=1，由勾股定理得CE的长，由此可得AC的长.
三、解答题(本大题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．（2025九上·长兴期中）知函数 (b，c为常数)的图象经过点 ( - 1，0)， (3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）当-4≤x≤0时，求函数y的最大值和最小值.
【答案】（1）解：∵函数的图象经过点 (-1， 0)， (3， 0)， 且a=-1，
∴函数解析式为 y=-(x+1)(x-3)；
或 推出
（2）解：由 (1) 得： 函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵-4≤x≤0，
∴当x=0时， y的值最大， 最大值为3，
当x=-4时， y的值最小， 最小值为-21.
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用二次函数的交点式可得解析式为 y=-(x+1)(x-3)；
(2)由二次函数解析式知开口方向和对称轴，根据函数的增减性，可得函数的最大值与最小值.
18．（2025九上·长兴期中）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习.
（1）求甲同学选择A 班剪纸课的概率.
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率.
【答案】（1）解：由题意知，共有A、B 、C、D四门特色课程 ，故甲同学选择A 班剪纸课的概率为 .
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，
∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由课程总数为4，即可知选课程A的概率；
(2)利用树状图知共有16种结果，而选择同一门课程的结果有4种，相比即得概率.
19．（2025九上·长兴期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是A(-3，2)， B(-1，4)， C(0，2).
⑴将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的
⑵平移 ，若点A 的对应点 的坐标为((-5，-2)，画出平移后的
⑶若将 绕某一点旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心的坐标.
【答案】解：⑴如图△A1B1C即为所求；
⑵如图△A2B2C2即为所求；
⑶旋转中心的坐标为(-1，0).
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)分别找到A、B、C关于点C的对应点，即得
(2)根据A和A2的坐标知平移的距离，分别将B、C平移相应的距离，即得
(3)连接A1、A2，B1、B2，交点即为旋转中心；
20．（2025九上·长兴期中）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C.
（1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 O；
（2） 若 为等腰三角形，且AAB=AC=5，BC=8，求该圆板的半径.
【答案】（1）解：如图， 点O为所作；
（2）解：连接OA、OB， OA 交BC于 D点， 如图，
∵AB=AC，
∴OA 垂直平分BC，
在Rt△ABD中， ∵AB=5， BD=4，
设⊙O的半径为r， 则OB=r， OD=r-3，
在 Rt△BOD 中，
解得
即该圆板的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)分别作线段AB和AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
(2)连接OA、OB，由垂径定理知BD=CD=4，设半径为r，利用勾股定理得 解方程即可半径.
21．（2025九上·长兴期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得
∴抛物线为 当x=15时，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为
∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪；
(2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值.
22．（2025九上·长兴期中）如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm， BC=5cm，
∴BD=13 (cm)，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
故AB的长为
（2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ，
∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABC' =180°，
又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
，
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先勾股定理得BD的长，由∠ABD=∠ADB=45°是AB=AD，由此得AB的长；
(2)由圆内接四边形的性质知∠ABC+∠ABC' =180°，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，知 △ACD≌△ABC'，由此得△C'AC是等腰直角三角形即得
23．（2025九上·长兴期中）已知二次函数 (a， b是常数， 且a>0).
（1）若抛物线经过A(1， 5)， B(-2， - 1)， 求该二次函数的解析式.
（2）在(1)的条件下，抛物线上有一点 P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点 P的坐标.
（3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令 是否存在一个常数t，使得当 时，w的最小值恰好等于t.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵抛物线 经过A(1，5)，B(-2，-1)，
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：设点 则平移后点的坐标为：
将该点的坐标代入. 得：
解得： m=-3， 则点P的坐标为： (-3，1)；
（3）解：存在， 理由：
一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点在直线y=3x上，
得方程组，
整理得：
∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，
即
当b=t+1时， 当b=2时， w=1， 当b=t时，
当t+1≤2时， 即t≤1时，则函数w在b=t+1时取得最小值， 即 解得t=1或t=1.5(舍去)；
当t<2当t≥2，即t≥2时，则函数w在x=t时取得最小值，即 则t=3或t=1.5 (舍去)；
综上， t=1或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A、B分别代入抛物线解析式，可得a、b的值，即可得二次函数解析式；
(2)设点求出平移后的坐标将平移后的坐标代入解析式，即得m的值，即可得点P的坐标；
(3)联立二次函数与函数y=3x，得由此得 分类t+1≤2、t<224．（2025九上·长兴期中）已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由A为弧中点知AE=AF，同时由∠AEC=∠AFB，EC=BF 得△AEC≌△AFB(SAS)，由全等的性质得EM=BM+BF；
(2)先得△AEF为等边三角形得EF=AE=20，即可得△BEF的周长；
(3)在EB延长线上截取BC=BF=19，连接AC，AF，FC，由题中数据知EM=MC，同时由BC=BF得∠BFC=∠BCF，得AF=AC，由此AE=AF，得∠AEF=61°.
1 / 1浙江省湖州市长兴县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·长兴期中）下列y关于x的函数中，是二次函数的是(　　)
A． B． C． D．
2．（2025九上·长兴期中）下列事件为必然事件的是(　　)
A．买一张电影票，座位号是偶数
B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下
C．打开电视机，正在播放“快乐大本营”
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
3．（2025九上·长兴期中）已知⊙O与点 P 在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP 的长为3，则下列说法正确的是(　　)
A．点 P 在⊙O上
B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外
D．无法判断点 P 与⊙O 的位置关系
4．（2025九上·长兴期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，弧AB的度数为（　　）
A．80° B．40° C．20° D．60°
5．（2025九上·长兴期中）已知二次函数 下列关于这个函数图象性质的说法，正确的是 (　　)
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(1，3)
C．图象与x轴有唯一交点 D．当x≤1时，y随x的增大而增大
6．（2025九上·长兴期中）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在20%左右，则m的值大约为(　　)
A．20 B．40 C．60 D．100
7．（2025九上·长兴期中）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连结DF，则∠FDC的度数是(　　)
A．18° B．30° C．36° D．40°
8．（2025九上·长兴期中）如图，是二次函数 图象的一部分，与x轴一交点为A(3，0)，下列结论正确的个数有(　　)
①abc<0； ②a+c=b； ③b2<4ac； ④a+bA．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2025九上·长兴期中）二次函数，对称轴为直线x=3，若关于x的一元二次方程（t为实数）在2A．t>-7 B．-710．（2025九上·长兴期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°， AC =BC =4， D是AB的中点，经过C、D两点的圆交AC、BC于点E、F，且AE =CF.当圆变化时，点C 到线段EF的最大距离为(　　)
A． B．2 C． D．
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·长兴期中）已知一条抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，它的顶点坐标为((-2，1)，则此抛物线的解析式 　 　.
12．（2025九上·长兴期中）已知直角三角形的两边长为3和4，则该直角三角形的外接圆直径为　 　.
13．（2025九上·长兴期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是⊙O的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
14．（2025九上·长兴期中）从-2，0，1三个数中随机抽取一个数记为a，不放回，再抽取一个数记为b，则抽出的数对(a，b)是二次函数 图象上点的坐标的概率为　 　.
15．（2025九上·长兴期中）已知二次函数
（1）若点(b-2，c)在该函数图象上，则b的值为　 　
（2） 若点( 都在该函数图象上，且则 b的取值范围为　 　
16．（2025九上·长兴期中）如图，在⊙O中，AB 为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D，连接 CD . 如果AD=6 ， DB=2 ， 则AC 的长为　 　.
三、解答题(本大题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)
17．（2025九上·长兴期中）知函数 (b，c为常数)的图象经过点 ( - 1，0)， (3，0).
（1）求二次函数表达式；
（2）当-4≤x≤0时，求函数y的最大值和最小值.
18．（2025九上·长兴期中）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习.
（1）求甲同学选择A 班剪纸课的概率.
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率.
19．（2025九上·长兴期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是A(-3，2)， B(-1，4)， C(0，2).
⑴将 以点C为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的
⑵平移 ，若点A 的对应点 的坐标为((-5，-2)，画出平移后的
⑶若将 绕某一点旋转可以得到 ，请直接写出旋转中心的坐标.
20．（2025九上·长兴期中）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C.
（1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点 O；
（2） 若 为等腰三角形，且AAB=AC=5，BC=8，求该圆板的半径.
21．（2025九上·长兴期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
22．（2025九上·长兴期中）如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
23．（2025九上·长兴期中）已知二次函数 (a， b是常数， 且a>0).
（1）若抛物线经过A(1， 5)， B(-2， - 1)， 求该二次函数的解析式.
（2）在(1)的条件下，抛物线上有一点 P，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点 P的坐标.
（3）若抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，令 是否存在一个常数t，使得当 时，w的最小值恰好等于t.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
24．（2025九上·长兴期中）已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：对A选项，自变量x的次数为1，故A不符合题意；
对B选项，可化为y=1-2x，自变量x的次数为1，故B不符合题意；
对C选项，自变量x的次数为-2，故C不符合题意；
对D选项，自变量x的次数为2，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的概念，依次判断各选项即可.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 也可能正面朝上，为随机事件，故B不符合题意；
对C选项，打开电视机，正在播放“快乐大本营”是随机事件，故C不符合题意；
对D选项， 任意画一个三角形，其内角和是180° 是必然事件，故D符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据事件的分类，依次判断各选项中事件发生的可能性即可得结论.
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：OP=3，半径r=5，OP故答案为： B.
【分析】直接由点P到圆心的距离与半径的大小关系即得位置关系.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： 如图，
，
点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，则∠AOB＝80°，则弧AB的度数也为80°，
故选：A.
【分析】 如图， 由圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB，据此可求得∠AOB的度数，再由弧的度数的定义可得弧AB的度数 .
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数二次项系数a=-1<0，故抛物线开口向下，故A错误；
顶点横坐标为x=，y=-1+2+3=4，故顶点坐标为(1，4)，故B错误；
，抛物线与x轴有两个交点，故C错误；
二次函数的对称轴为直线x=1，当x≤1时，y随x的增大而增大，故D正确；
故答案为： D.
【分析】由二次函数解析式知开口方向和对称轴x=1，令x=1，y=4得顶点坐标(1，4)，根据判别式△>0知二次函数与x轴有两个交点，根据开口和对称轴知当x≤1时，y随x的增大而增大.
6．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：m=1220%=60.
故答案为： C.
【分析】根据频率与概率的关系，用12除以20%即得总数.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的内角为，即有∠ABC=108°，∠BAC=
∴∠CAE=108°-∠CAB=108°-36°=72°
∴∠DEA+∠CAE=108°+72°=180°
∴DF||AC
又∵DE=AF=AE
∴AEDF为菱形
∴∠EDF=∠EAC=72°
∴∠FDC=108°-∠EDF=108°-72°=36°
故答案为： C.
【分析】先求出正五边形的内角，由BA=BC可得∠BAC的度数，由此得∠EAC的度数，即可得DE||AC，可证AEDF为菱形，得∠DEF的度数，即可得∠FDC的度数.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象知开口向上，故a>0，对称轴为直线x=1>0，故b<0，与y轴的交点在负半轴，故c<0，故abc>0，故①错误；
设抛物线与x轴的另一个交点为(x0，0)则有，得x0=-1，即与x轴的交点为为(-1，0)，代入得a-b+c=0，即a+c=b，故②正确；
抛物线与x轴有两个交点，故，即有，故③错误；
当x=1时，y取最小值a+b+c，故当x=m时，a+b+c抛物线与x轴的交点为(-1，0)和(3，0)，当-1综上所述，②④⑤正确，正确的个数为3个.
故答案为：B .
【分析】由函数图象知a、b、c的符号，即可判断①；由对称性知当x=-1时，y=0，即可判断②；由图像知抛物线与x轴有2个交点，即知③错误；当x=1时取最小值，即知a+b+c9．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=3，
∴
解得m=6，
∴抛物线解析式为y=-x2+6x=-(x-3)2+9，
抛物线的顶点坐标为(3，9)，
当x=2时，y=-x2+6x=8；当x=7时，y=-x2+6x=-7，
∵关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在2∴抛物线y=-x2+6x与直线y=t在2 ∴-7故答案为：D.
【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y=-x2+6x，配方得到抛物线的顶点坐标为(3，9)，再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x2+4x与直线y=t在110．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】 【解答】解：连接CD、DE、DF，
∵∠C=90°，AC=BC
∴∠A=45°
∵D为AB的中点，CA=CB
∴CD⊥AB，DA=DC
又∵∠A=∠DCF
∴△ADE≌△CDF(SAS)
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF
∵∠ADE+∠CDE=90°，∠CDE+∠CDF=90°
∴∠EDF=90°
∴
∵
∴
EF越小，越小，越大，此时点C到EF的距离越大，
当EF最小时，点C到EF的距离最大，
当CD为直径时，CD最小即EF最小，此时CEDF为正方形，
此时点C至EF的距离为；
故答案为：A.
【分析】连接CD、DE、DF，由等腰直角三角形的性质知CD⊥AB，DA=DC，易得△ADE≌△CDF，由此得DECF的面积为定值，当CD为直径时，EF取最小值，即点C到EF的距离最大，求出此时的最大值即可.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： 抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同 ，故a=-3，顶点坐标为(-2，1)，故抛物线的解析式为.
故答案为： .
【分析】抛物线的形状和开口由a决定，由此知抛物线的a=-3，由顶点可列出其顶点式.
12．【答案】4或5
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当斜边为c=4时，外接圆的直径为4；
当3和4为直角边时，斜边c=，外接圆直径为5；
综上所述，外接圆直径为4或5.
故答案为：4或5 .
【分析】分别讨论斜边为为4或者5时的外接圆直径，即得结果.
13．【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ABCD内接 ⊙O
∴∠BAD+∠C=180°
∴∠BAD=180°-125°=55°
∵DE为直径
∴∠DAE=90°
∴∠BAE=90°-∠BAD=90°-55°=35°
故答案为： 35°.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得∠BAD的度数，由直径所对圆周角为直角得∠DAE=90°，即得∠BAE的度数.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意知抽出的所有结果是(0，1)、(0，-2)、(1，-2)、(1，0)、(-2，1)、(-2，0)共6种，
其中(0，-2)在抛物线上，故点在抛物线上的概率P=.
故答案为： .
【分析】一一列举所有的点，依次将点代入函数中，即知点(0，-2)在函数图象上，由此可得点在抛物线 上的概率.
15．【答案】（1）±2
（2）- 32
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)将x=b-2代入函数得，整理得b2=4，解得b=±2；
(2)二次函数的开口向上且对称轴为直线x=b，
当xb时，y随x的增大而增大，
①当b<2b<2b+6，即b>0，b-2则有b-(b-2)<2b-b，得b>2；
②当2b则有2b+6-b>b-(b-2)>b-2b，得b>-3，
故-3综上所述，- 32
【分析】(1)将点(b-2，c)代入二次函数中，即可得b的值；
(2)由二次函数解析式知开口方向和对称轴，结合x=b与三点横坐标的大小关系分别讨论b<2b<2b+6和2b16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CO、CB，作CE⊥AB于点E，
∵和所对圆周角为∠CAB
∴=
∴BC=DC
∵CE⊥BD
∴DE=BE=BD=1
∴AB=AD+BD=6+2=8
∴OB=OC=AB=4
∴OE=OB-BE=4-1=3
∴AE=AD+DE=6+1=7
∴CE=
∴AC=
故答案为： .
【分析】和所对圆周角为∠CAB得CD=CB，由等腰三角形的性质知DE=BE=1，由勾股定理得CE的长，由此可得AC的长.
17．【答案】（1）解：∵函数的图象经过点 (-1， 0)， (3， 0)， 且a=-1，
∴函数解析式为 y=-(x+1)(x-3)；
或 推出
（2）解：由 (1) 得： 函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵-4≤x≤0，
∴当x=0时， y的值最大， 最大值为3，
当x=-4时， y的值最小， 最小值为-21.
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用二次函数的交点式可得解析式为 y=-(x+1)(x-3)；
(2)由二次函数解析式知开口方向和对称轴，根据函数的增减性，可得函数的最大值与最小值.
18．【答案】（1）解：由题意知，共有A、B 、C、D四门特色课程 ，故甲同学选择A 班剪纸课的概率为 .
（2）解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，
∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由课程总数为4，即可知选课程A的概率；
(2)利用树状图知共有16种结果，而选择同一门课程的结果有4种，相比即得概率.
19．【答案】解：⑴如图△A1B1C即为所求；
⑵如图△A2B2C2即为所求；
⑶旋转中心的坐标为(-1，0).
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)分别找到A、B、C关于点C的对应点，即得
(2)根据A和A2的坐标知平移的距离，分别将B、C平移相应的距离，即得
(3)连接A1、A2，B1、B2，交点即为旋转中心；
20．【答案】（1）解：如图， 点O为所作；
（2）解：连接OA、OB， OA 交BC于 D点， 如图，
∵AB=AC，
∴OA 垂直平分BC，
在Rt△ABD中， ∵AB=5， BD=4，
设⊙O的半径为r， 则OB=r， OD=r-3，
在 Rt△BOD 中，
解得
即该圆板的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)分别作线段AB和AC的垂直平分线，交点即为圆心O；
(2)连接OA、OB，由垂径定理知BD=CD=4，设半径为r，利用勾股定理得 解方程即可半径.
21．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得
∴抛物线为 当x=15时，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为
∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪；
(2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值.
22．【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm， BC=5cm，
∴BD=13 (cm)，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
故AB的长为
（2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ，
∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABC' =180°，
又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
，
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)先勾股定理得BD的长，由∠ABD=∠ADB=45°是AB=AD，由此得AB的长；
(2)由圆内接四边形的性质知∠ABC+∠ABC' =180°，将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，知 △ACD≌△ABC'，由此得△C'AC是等腰直角三角形即得
23．【答案】（1）解：∵抛物线 经过A(1，5)，B(-2，-1)，
解得
∴抛物线的表达式为：
（2）解：设点 则平移后点的坐标为：
将该点的坐标代入. 得：
解得： m=-3， 则点P的坐标为： (-3，1)；
（3）解：存在， 理由：
一个点的纵坐标是横坐标的三倍的点在直线y=3x上，
得方程组，
整理得：
∵抛物线上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的三倍，
即
当b=t+1时， 当b=2时， w=1， 当b=t时，
当t+1≤2时， 即t≤1时，则函数w在b=t+1时取得最小值， 即 解得t=1或t=1.5(舍去)；
当t<2当t≥2，即t≥2时，则函数w在x=t时取得最小值，即 则t=3或t=1.5 (舍去)；
综上， t=1或3.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点A、B分别代入抛物线解析式，可得a、b的值，即可得二次函数解析式；
(2)设点求出平移后的坐标将平移后的坐标代入解析式，即得m的值，即可得点P的坐标；
(3)联立二次函数与函数y=3x，得由此得 分类t+1≤2、t<224．【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由A为弧中点知AE=AF，同时由∠AEC=∠AFB，EC=BF 得△AEC≌△AFB(SAS)，由全等的性质得EM=BM+BF；
(2)先得△AEF为等边三角形得EF=AE=20，即可得△BEF的周长；
(3)在EB延长线上截取BC=BF=19，连接AC，AF，FC，由题中数据知EM=MC，同时由BC=BF得∠BFC=∠BCF，得AF=AC，由此AE=AF，得∠AEF=61°.
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