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浙江省杭州市临平区2025-2026学年上学期八年级期中学情评估数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)
1．（2025八上·临平期中）下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是 （　　）
A．1， 2， 3 B．2， 2， 5 C．3， 3， 7 D．4， 5， 6
2．（2025八上·临平期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·临平期中）若a>b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a-1-3b
C．a+5>b+5 D．
4．（2025八上·临平期中）作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（　　）
A．AD B．AE C．AF D．都有可能
5．（2025八上·临平期中）命题“若a是实数，则|a|>-a”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=3
C． D．
6．（2025八上·临平期中）若等腰三角形的两边长分别是2和3，则它的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．7或8
7．（2025八上·临平期中）如图，已知AB=AD，那么添加下面的一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC 的是（　　）
A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DAC
C．CD=CB D．∠B=∠D=90°
8．（2025八上·临平期中）如图，直立在地面上的柱子AB(AB⊥EF)，在顶端处用两根长度均为2米的绳子固定(即AE=AF=2米)，测得E，B， F在同一直线上， 且∠AEF=60°。则柱子AB的长度为（　　）米。
A．1.5 B． C． D．1.8
9．（2025八上·临平期中）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP，QR组成，两根木条在点Q处相连并.可绕点Q转动，另有长度与QS相等的两根木条MS，MT，其中木条MS的一端S固定在木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M 和点T在相应轨道槽中的位置可改变∠PQR的大小。若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足∠PQR=40°时，下列判断正确的是 （　　）
A．QT=QM B．MS 平分∠QMT
C．∠PTM=120° D．∠RMT=120°
10．（2025八上·临平期中） 如图， 在长方形纸片ABCD 中， AB=4cm， AD=12cm， 分别在BC， AD上取点E， F，将此长方形纸片沿EF折叠，重叠部分为△GEF(G在边AD上)，则重叠部分面积的最大值为（　　）
A． B． C．12cm2 D．18cm2
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·临平期中）如图，钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是　 　。
12．（2025八上·临平期中）命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是　 　
13．（2025八上·临平期中）根据机器零件的设计图纸(如图)，用不等式表示该零件长度的合格尺寸(即L的取值范围， 单位： mm) 是　 　。
14．（2025八上·临平期中） 如图，∠ABC=30°， D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当∠ADC=　 　°时，△ABD为直角三角形。
15．（2025八上·临平期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=2cm， ∠A=108°， 通过观察尺规作图的痕迹， 可以求得CD 长度为　 　cm。
16．（2025八上·临平期中） 如图， 已知在△ABC中， AB=AC， ∠BAC= 点D在AC上， 且BD=BC，点E和点 D关于直线AB 对称，连接EB，ED，则∠E 的度数是　 　(用含m的代数式表示)。
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17．（2025八上·临平期中）写出下列不等式中x的取值范围，并把x的取值范围表示在数轴上。
（1）x-3≤0；
（2）2x+5>1。
18．（2025八上·临平期中）如图，点P 是△ABC内部任意一点。观察可以发现AB+AC>PB+PC，你能通过推理证明这个发现吗 请填空完成证明过程。
证明：延长BP与AC 相交于点D，
∵AB+AD>BP+PD， PD+CD>　 　(三角形的任意两边之和大于第三边) ，
∴AB+AD+PD+CD>　 　，
∴AB+AD+CD>　 　(　 　)，即AB+AC>PB+PC。
19．（2025八上·临平期中）如图， 点B，E，C， F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，∠B=∠DEF。
（1） 求证： △ABC≌△DEF。
（2） 求证： AC∥DF。
20．（2025八上·临平期中）如图， 在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上。
（1）直接写出 三边的长度。
（2）判断△ABC的形状，并说明理由。
21．（2025八上·临平期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C， D， 使BC=CD， 再过点D 画出BF的垂线DE， 使点E与点A， C在同一条直线上，这时测得DE的长就是AB 的长。请给出证明。
22．（2025八上·临平期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠A=78°。请根据要求完成以下任务：
（1）尺规作图：作出△ABC的角平分线AD(保留作图痕迹)。
（2） 取AC的中点E， 连结DE， 求∠ADE的度数。
23．（2025八上·临平期中）如图， 点C在AB上， 点D， E在AB的同一侧， ∠DCE=∠A=∠B=α，CD=CE。
（1）若α=90°。
①请按题意画出示意图；
②猜想线段AD，BE，AB有怎样的数量关系，并证明。
（2） 若α≠90°， 线段AD， BE， AB 是否满足(1) 中的数量关系 请说明理由。
24．（2025八上·临平期中）如图1， 点M， N把线段AB分割成AM， MN， NB 三条线段， 如果以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB 的勾股分割点。
（1）如图1，M， N是线段AB 的勾股分割点，且AM=2， BN=3， 则MN的长为　 　。
（2） 如图2， 在△ABC中， 边AC， BC的垂直平分线分别交AB于点M， N， 若点M， N是线段AB的勾股分割点， 且MN>AM， MN>BN， 求∠C的度数。
（3） 如图3， 在正方形ABCD 中， 点E在边AB上(不与A， B重合) ， 点F在BC延长线上， 且CF=AE， 连接EF分别交 BD， CD于点 G， H。求证： 点 G， H是线段EF的勾股分割点。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：对A选项，1+2=3，故A不符合题意；
对B选项，2+2<5，故B不符合题意；
对C选项，3+3<7，故C不符合题意；
对D选项，5-4<6<4+5，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，求出两个较小数据与最大数据对比，即可得结果.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，不是轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，不是轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，是轴对称图形，故C不符合题意；
对D选项，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】直接由轴对称图形的性质，沿某直线翻折可完全重合，依次判断即可得结果.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a>b，则a-1>b-1，故A错误；
a>b，则-3a<-3b，故B错误；
a>b，则a+5>b+5，故C正确；
a>b，则，故D错误；
故答案：C.
【分析】根据不等式的性质，分别判断各选项的正误即可得结果.
4．【答案】A
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：三角形的中线，角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的的高有两条在三角形的外部.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的特征画图，即可判断.
5．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：当a=-2时，|-2|>-(-2)，明显不成立，故A符合题意；
当a=3时，|3|>-3，明显成立，故B不符合题意；
当a=时，||>-，明显成立，故C不符合题意；
当a=时，||>-，明显成立，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别将选项中a的值代入不等关系 |a|>-a ，不成立的即为反例.
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的第三边为2或3，故周长2+2+3=7或2+3+3=8，即周长为7或8.
故答案：D.
【分析】先求出第三边的长，即可得周长.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：题中有全等的条件AB=AD，AC=AC，
对A选项，BCA=DCA，边边角，不能判定 △ABC≌△ADC ，故A符合题意；
对B选项， ∠BAC=∠DAC ，则△ABC≌△ADC(SAS)，故B不符合题意；
对C选项， CD=CB ，则△ABC≌△ADC(SSS)，故C不符合题意；
对B选项， ∠B=∠D=90 ，则△ABC≌△ADC(HL)，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】列出已有条件AB=AD，AC=AC，结合各选项中的条件，依次组合即可判断.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AE=AF，∠AEF=60°
∴△AEF为等边三角形
∴EF=2
∵AB⊥EF
∴BE=1
∴AB=
故答案：B.
【分析】由AE=AF，∠AEF=60°知△AEF为等边三角形，由此得BE=1，由勾股定理即得AB的长.
9．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由已知QS=MS
∴∠SMQ=∠PQR=40°
∵∠MST为△SQM的外角
∴∠MST=∠SQM+∠SMQ=40°+40°=80°
∵SM=TM
∴∠STM=∠TSM=80°
∴∠QMT=180°-∠QTM-∠TQM=180°-40°-80°=60°
∴QT≠QM，故A错误；
∵∠TMS=180°-∠TSM-∠STM=180°-80°-80°=20°
∴∠QMS=40°
故B错误；
∠PTM为△QTM的外角
∠PTM=∠TMQ+∠TQM=40°+60°=100°，故C错误；
∵∠RMT为△QTM的外角
∴∠RMT=∠TQM+∠QTM=40°+80°=120°，故D正确；
故答案：D.
【分析】由QS=SM得∠SQM=∠SMQ，由外角的性质得∠MST=80°，由MS=MT得∠MTS=80°，由此得∠SMT=20°，由外角的性质得∠PTM和∠TMR的度数，即可判断各选项.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：△EFG以GF为底，高为4cm，当GF取最大值时，面积取最大值，如下图
∵当点F与点D重合时，GF取最大值，
∴△CBD沿BF折叠至△EBD
∴∠CBF=∠GBF
∵AD||BC
∴∠GDB=∠CBD
∴∠GBD=∠GDB
∴GB=GD
设GF=m，则AG=12-m，BG=m
在△ABG中，由勾股定理得，解得m=
Smax=.
故答案：A.
【分析】由△EFG的高确定，求GF的最大值即可，当E与点B重合，F与D重合时，GF可取最大值；设GF=m，则AG=12-m，由勾股定理得m的值，即可得面积最大值.
11．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性.
故答案：三角形具有稳定性.
【分析】三角形结构坚固、稳定，数学依据是三角形具有稳定性.
12．【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
13．【答案】19.99≤L≤20.01
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意合格尺寸的最小值为20-0.01=19.99，最大值为20+0.01=20.01，即范围是19.99≤L≤20.01.
故答案：19.99≤L≤20.01.
【分析】分别求出合格尺寸的最小值与最大值，即可得范围.
14．【答案】90°或 120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠ADB=90°时，∠ADC=90°，如下左图；
当∠DAB=90°时，∠ADC=∠ABD+∠DAB=90°+30°=120°，如下右图，
故答案：90°或 120°.
【分析】分别讨论D为直角顶点和A为直角顶点的情形，利用草图即可得∠ADC的度数.
15．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，由作图痕迹知D在线段AB的垂直平分线上，
∵DA=DB
∴∠DAB=∠DBA
∵AB=AC，∠A=108°
∴∠ABC=∠ACB=
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=108°-36°=72°
∵∠ADC为△ABD的外角
∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=36°+36°=72°
∴∠CDA=∠CAD
∴CD=AC=2cm
故答案：2.
【分析】由垂直平分线的性质得∠DAB=∠DBA，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=36°，由此得∠CAD=∠CDA，即CD=AC.
16．【答案】m
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BAC=m
∴∠ABC=∠ACB=
∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD=
∴∠CBD=
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=
∵D、E关于AB对称
∴DE⊥AB，∠EDB=∠E
∴∠EDB=90°-∠ABD=
∴∠E=m
故答案：m.
【分析】由等腰三角形的性质知∠ABC和∠CBD的度数，根据对称知DE⊥AB，∠EDB=∠DEB，由此得∠E的度数.
17．【答案】（1）解：x≤3
（2）解：2x>1-5
2x>-4
x>-2
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)求解不等式，再表示在数轴上；
(2)先求解不等式，再表示在数轴上.
18．【答案】PC；BP+PD+PC；PB+PC；不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)在PCD中，PD+CD>PC，
AB+AD>BP+PD， PD+CD> PC两式相加得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC
消去相同项得AB+AD+CD>BP+PC，理由是不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【分析】分别根据三角形三边关系、不等式的性质进行填写即可得结论.
19．【答案】（1）证明： ∵BE=CF
∴BC=EF
在△ABC与△DEF中
BC=EF，∠B=∠DEF， AB=DE
∴ △ABC≌△DEF；
（2）证明： ∵ △ABC≌ △DEF
∴∠ACB=∠F
∴ AC∥ DF
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)由BE=CF得BC=EF，由此可得全等条件，即可证明全等；
(2)由全等性质知∠ACB=∠F，即可得AC||DF.
20．【答案】（1）(或： ，，
（2）解：△ABC是直角三角形
理由如下：
5
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)由勾股定理得AB=，AC=，BC=；
【分析】(1)根据风格，由勾股定理分别计算AB、AC、BC的长即可；
(2)由(1)中数据知，即知△ABC为直角三角形.
21．【答案】证明： ∵AB⊥BF， DE⊥BF
∴∠B=∠CDE=90°
在△ABC与△EDC中
∠B=∠CDE， BC=DC， ∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由垂直知∠B=∠CDE=90°，由此知△ABC≌△EDC，即得AB=DE.
22．【答案】（1）如图所示

（2）解：∵ AD是∠BAC的平分线，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵点E是AC的中点，
∴∠ADE =∠CAD=39°.
【知识点】直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作图方法作图并保留痕迹即可；
(2)由等腰三角形“三线合一”知∠CAD=39°，根据直角三角形的性质知∠ADE的度数.
23．【答案】（1）解：①如图所示
②AD+BE=AB
证明：∠DAC=90°
∴∠ADC+∠ACD=90°
∵∠DCE=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴ADC=BCE
又∵CD=CE，∠CAD=∠CBE=90°
∴△ACD≌ △BEC(AAS)
∴AD=BC， AC=BE，
∴AD+BE=BC+AC=AB
（2）解：满足AD+BE=AB
证明：∵∠DAC= α
∴∠ADC+∠ACD=180°- α
∵∠DCE= α
∴∠ACD+∠BCE=180°- α
∴∠ADC=∠BCE
又∵CD=CE，∠CAD=∠CBE= α
∴△ACD≌ △BEC(AAS)
∴AD=BC， AC=BE
∴AD+BE=AB
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据 α=90° 的情形画图并证明△ACD≌ △BEC(AAS)，由全等的性质可得线段关系；
(2)同(1)理知∠ADC+∠ACD=180°- α、∠ACD+∠BCE=180°- α得∠ADC=∠BCE，由此可得△ACD≌ △BEC，由全等的性质得AD+BE=AB.
24．【答案】（1）或
（2）连接CM， CN，
∵AC， BC的垂直平分线分别交AB于点 M， N，
∴AM=CM， CN=BN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且MN>AM， MN>BN，
∴AM2+BN2=MN2，
∴CM2+CN2=MN2，
∴∠MCN=90°，
： °
（3）证明思路：如图，
在BC边上取一点M，使CM=CF， 连接GM， HM，证CD垂直平分MF，得
证 得.
由 得 从而. 由勾股定理得
所以
所以点 G，H 是线段EF的勾股分割点.
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)MN为直角边时，BN为斜边，MN=；
MN为斜边时，；
故MN的长为或.
【分析】(1)分别求出当MN为直角边和斜边时的长度即可；
(2)由垂直平分线的性质知∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，结合新定义知∠MCN=90°，利用外角的性质知由此可得∠ACB的度数；
(3)在BC上取点M使CM=CF，连接GM、HM，可证明
1 / 1浙江省杭州市临平区2025-2026学年上学期八年级期中学情评估数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)
1．（2025八上·临平期中）下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是 （　　）
A．1， 2， 3 B．2， 2， 5 C．3， 3， 7 D．4， 5， 6
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：对A选项，1+2=3，故A不符合题意；
对B选项，2+2<5，故B不符合题意；
对C选项，3+3<7，故C不符合题意；
对D选项，5-4<6<4+5，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，求出两个较小数据与最大数据对比，即可得结果.
2．（2025八上·临平期中）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，不是轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，不是轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，是轴对称图形，故C不符合题意；
对D选项，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】直接由轴对称图形的性质，沿某直线翻折可完全重合，依次判断即可得结果.
3．（2025八上·临平期中）若a>b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a-1-3b
C．a+5>b+5 D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：a>b，则a-1>b-1，故A错误；
a>b，则-3a<-3b，故B错误；
a>b，则a+5>b+5，故C正确；
a>b，则，故D错误；
故答案：C.
【分析】根据不等式的性质，分别判断各选项的正误即可得结果.
4．（2025八上·临平期中）作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（　　）
A．AD B．AE C．AF D．都有可能
【答案】A
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：三角形的中线，角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的的高有两条在三角形的外部.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的特征画图，即可判断.
5．（2025八上·临平期中）命题“若a是实数，则|a|>-a”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a=-2 B．a=3
C． D．
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：当a=-2时，|-2|>-(-2)，明显不成立，故A符合题意；
当a=3时，|3|>-3，明显成立，故B不符合题意；
当a=时，||>-，明显成立，故C不符合题意；
当a=时，||>-，明显成立，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】分别将选项中a的值代入不等关系 |a|>-a ，不成立的即为反例.
6．（2025八上·临平期中）若等腰三角形的两边长分别是2和3，则它的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．7或8
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的第三边为2或3，故周长2+2+3=7或2+3+3=8，即周长为7或8.
故答案：D.
【分析】先求出第三边的长，即可得周长.
7．（2025八上·临平期中）如图，已知AB=AD，那么添加下面的一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC 的是（　　）
A．∠BCA=∠DCA B．∠BAC=∠DAC
C．CD=CB D．∠B=∠D=90°
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：题中有全等的条件AB=AD，AC=AC，
对A选项，BCA=DCA，边边角，不能判定 △ABC≌△ADC ，故A符合题意；
对B选项， ∠BAC=∠DAC ，则△ABC≌△ADC(SAS)，故B不符合题意；
对C选项， CD=CB ，则△ABC≌△ADC(SSS)，故C不符合题意；
对B选项， ∠B=∠D=90 ，则△ABC≌△ADC(HL)，故D不符合题意；
故答案：A.
【分析】列出已有条件AB=AD，AC=AC，结合各选项中的条件，依次组合即可判断.
8．（2025八上·临平期中）如图，直立在地面上的柱子AB(AB⊥EF)，在顶端处用两根长度均为2米的绳子固定(即AE=AF=2米)，测得E，B， F在同一直线上， 且∠AEF=60°。则柱子AB的长度为（　　）米。
A．1.5 B． C． D．1.8
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AE=AF，∠AEF=60°
∴△AEF为等边三角形
∴EF=2
∵AB⊥EF
∴BE=1
∴AB=
故答案：B.
【分析】由AE=AF，∠AEF=60°知△AEF为等边三角形，由此得BE=1，由勾股定理即得AB的长.
9．（2025八上·临平期中）如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条QP，QR组成，两根木条在点Q处相连并.可绕点Q转动，另有长度与QS相等的两根木条MS，MT，其中木条MS的一端S固定在木条QP上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M 和点T在相应轨道槽中的位置可改变∠PQR的大小。若小华同学借助“画图仪”画图，摆出的位置恰好满足∠PQR=40°时，下列判断正确的是 （　　）
A．QT=QM B．MS 平分∠QMT
C．∠PTM=120° D．∠RMT=120°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由已知QS=MS
∴∠SMQ=∠PQR=40°
∵∠MST为△SQM的外角
∴∠MST=∠SQM+∠SMQ=40°+40°=80°
∵SM=TM
∴∠STM=∠TSM=80°
∴∠QMT=180°-∠QTM-∠TQM=180°-40°-80°=60°
∴QT≠QM，故A错误；
∵∠TMS=180°-∠TSM-∠STM=180°-80°-80°=20°
∴∠QMS=40°
故B错误；
∠PTM为△QTM的外角
∠PTM=∠TMQ+∠TQM=40°+60°=100°，故C错误；
∵∠RMT为△QTM的外角
∴∠RMT=∠TQM+∠QTM=40°+80°=120°，故D正确；
故答案：D.
【分析】由QS=SM得∠SQM=∠SMQ，由外角的性质得∠MST=80°，由MS=MT得∠MTS=80°，由此得∠SMT=20°，由外角的性质得∠PTM和∠TMR的度数，即可判断各选项.
10．（2025八上·临平期中） 如图， 在长方形纸片ABCD 中， AB=4cm， AD=12cm， 分别在BC， AD上取点E， F，将此长方形纸片沿EF折叠，重叠部分为△GEF(G在边AD上)，则重叠部分面积的最大值为（　　）
A． B． C．12cm2 D．18cm2
【答案】A
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：△EFG以GF为底，高为4cm，当GF取最大值时，面积取最大值，如下图
∵当点F与点D重合时，GF取最大值，
∴△CBD沿BF折叠至△EBD
∴∠CBF=∠GBF
∵AD||BC
∴∠GDB=∠CBD
∴∠GBD=∠GDB
∴GB=GD
设GF=m，则AG=12-m，BG=m
在△ABG中，由勾股定理得，解得m=
Smax=.
故答案：A.
【分析】由△EFG的高确定，求GF的最大值即可，当E与点B重合，F与D重合时，GF可取最大值；设GF=m，则AG=12-m，由勾股定理得m的值，即可得面积最大值.
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025八上·临平期中）如图，钢架桥的支撑部分采用了三角形结构，起到了坚固和稳定的作用，这样做的数学依据是　 　。
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性.
故答案：三角形具有稳定性.
【分析】三角形结构坚固、稳定，数学依据是三角形具有稳定性.
12．（2025八上·临平期中）命题：“三边分别相等的两个三角形全等”的逆命题是　 　
【答案】如果两个三角形全等，那么对应的三边相等
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件是：三角形的三边分别相等，结论是：该三角形是全等三角形．
∴其逆命题是：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
故答案为：如果两个三角形全等，那么对应的三边相等．
【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题．
13．（2025八上·临平期中）根据机器零件的设计图纸(如图)，用不等式表示该零件长度的合格尺寸(即L的取值范围， 单位： mm) 是　 　。
【答案】19.99≤L≤20.01
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意合格尺寸的最小值为20-0.01=19.99，最大值为20+0.01=20.01，即范围是19.99≤L≤20.01.
故答案：19.99≤L≤20.01.
【分析】分别求出合格尺寸的最小值与最大值，即可得范围.
14．（2025八上·临平期中） 如图，∠ABC=30°， D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当∠ADC=　 　°时，△ABD为直角三角形。
【答案】90°或 120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠ADB=90°时，∠ADC=90°，如下左图；
当∠DAB=90°时，∠ADC=∠ABD+∠DAB=90°+30°=120°，如下右图，
故答案：90°或 120°.
【分析】分别讨论D为直角顶点和A为直角顶点的情形，利用草图即可得∠ADC的度数.
15．（2025八上·临平期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=2cm， ∠A=108°， 通过观察尺规作图的痕迹， 可以求得CD 长度为　 　cm。
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AD，由作图痕迹知D在线段AB的垂直平分线上，
∵DA=DB
∴∠DAB=∠DBA
∵AB=AC，∠A=108°
∴∠ABC=∠ACB=
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=108°-36°=72°
∵∠ADC为△ABD的外角
∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=36°+36°=72°
∴∠CDA=∠CAD
∴CD=AC=2cm
故答案：2.
【分析】由垂直平分线的性质得∠DAB=∠DBA，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=36°，由此得∠CAD=∠CDA，即CD=AC.
16．（2025八上·临平期中） 如图， 已知在△ABC中， AB=AC， ∠BAC= 点D在AC上， 且BD=BC，点E和点 D关于直线AB 对称，连接EB，ED，则∠E 的度数是　 　(用含m的代数式表示)。
【答案】m
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，BAC=m
∴∠ABC=∠ACB=
∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD=
∴∠CBD=
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=
∵D、E关于AB对称
∴DE⊥AB，∠EDB=∠E
∴∠EDB=90°-∠ABD=
∴∠E=m
故答案：m.
【分析】由等腰三角形的性质知∠ABC和∠CBD的度数，根据对称知DE⊥AB，∠EDB=∠DEB，由此得∠E的度数.
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17．（2025八上·临平期中）写出下列不等式中x的取值范围，并把x的取值范围表示在数轴上。
（1）x-3≤0；
（2）2x+5>1。
【答案】（1）解：x≤3
（2）解：2x>1-5
2x>-4
x>-2
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】(1)求解不等式，再表示在数轴上；
(2)先求解不等式，再表示在数轴上.
18．（2025八上·临平期中）如图，点P 是△ABC内部任意一点。观察可以发现AB+AC>PB+PC，你能通过推理证明这个发现吗 请填空完成证明过程。
证明：延长BP与AC 相交于点D，
∵AB+AD>BP+PD， PD+CD>　 　(三角形的任意两边之和大于第三边) ，
∴AB+AD+PD+CD>　 　，
∴AB+AD+CD>　 　(　 　)，即AB+AC>PB+PC。
【答案】PC；BP+PD+PC；PB+PC；不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【知识点】三角形三边关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：(1)在PCD中，PD+CD>PC，
AB+AD>BP+PD， PD+CD> PC两式相加得AB+AD+PD+CD>PB+PD+PC
消去相同项得AB+AD+CD>BP+PC，理由是不等式两边都减去同一个数，所得不等式仍成立
【分析】分别根据三角形三边关系、不等式的性质进行填写即可得结论.
19．（2025八上·临平期中）如图， 点B，E，C， F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，∠B=∠DEF。
（1） 求证： △ABC≌△DEF。
（2） 求证： AC∥DF。
【答案】（1）证明： ∵BE=CF
∴BC=EF
在△ABC与△DEF中
BC=EF，∠B=∠DEF， AB=DE
∴ △ABC≌△DEF；
（2）证明： ∵ △ABC≌ △DEF
∴∠ACB=∠F
∴ AC∥ DF
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)由BE=CF得BC=EF，由此可得全等条件，即可证明全等；
(2)由全等性质知∠ACB=∠F，即可得AC||DF.
20．（2025八上·临平期中）如图， 在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上。
（1）直接写出 三边的长度。
（2）判断△ABC的形状，并说明理由。
【答案】（1）(或： ，，
（2）解：△ABC是直角三角形
理由如下：
5
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)由勾股定理得AB=，AC=，BC=；
【分析】(1)根据风格，由勾股定理分别计算AB、AC、BC的长即可；
(2)由(1)中数据知，即知△ABC为直角三角形.
21．（2025八上·临平期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C， D， 使BC=CD， 再过点D 画出BF的垂线DE， 使点E与点A， C在同一条直线上，这时测得DE的长就是AB 的长。请给出证明。
【答案】证明： ∵AB⊥BF， DE⊥BF
∴∠B=∠CDE=90°
在△ABC与△EDC中
∠B=∠CDE， BC=DC， ∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由垂直知∠B=∠CDE=90°，由此知△ABC≌△EDC，即得AB=DE.
22．（2025八上·临平期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， ∠A=78°。请根据要求完成以下任务：
（1）尺规作图：作出△ABC的角平分线AD(保留作图痕迹)。
（2） 取AC的中点E， 连结DE， 求∠ADE的度数。
【答案】（1）如图所示

（2）解：∵ AD是∠BAC的平分线，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵点E是AC的中点，
∴∠ADE =∠CAD=39°.
【知识点】直角三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据角平分线的作图方法作图并保留痕迹即可；
(2)由等腰三角形“三线合一”知∠CAD=39°，根据直角三角形的性质知∠ADE的度数.
23．（2025八上·临平期中）如图， 点C在AB上， 点D， E在AB的同一侧， ∠DCE=∠A=∠B=α，CD=CE。
（1）若α=90°。
①请按题意画出示意图；
②猜想线段AD，BE，AB有怎样的数量关系，并证明。
（2） 若α≠90°， 线段AD， BE， AB 是否满足(1) 中的数量关系 请说明理由。
【答案】（1）解：①如图所示
②AD+BE=AB
证明：∠DAC=90°
∴∠ADC+∠ACD=90°
∵∠DCE=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
∴ADC=BCE
又∵CD=CE，∠CAD=∠CBE=90°
∴△ACD≌ △BEC(AAS)
∴AD=BC， AC=BE，
∴AD+BE=BC+AC=AB
（2）解：满足AD+BE=AB
证明：∵∠DAC= α
∴∠ADC+∠ACD=180°- α
∵∠DCE= α
∴∠ACD+∠BCE=180°- α
∴∠ADC=∠BCE
又∵CD=CE，∠CAD=∠CBE= α
∴△ACD≌ △BEC(AAS)
∴AD=BC， AC=BE
∴AD+BE=AB
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据 α=90° 的情形画图并证明△ACD≌ △BEC(AAS)，由全等的性质可得线段关系；
(2)同(1)理知∠ADC+∠ACD=180°- α、∠ACD+∠BCE=180°- α得∠ADC=∠BCE，由此可得△ACD≌ △BEC，由全等的性质得AD+BE=AB.
24．（2025八上·临平期中）如图1， 点M， N把线段AB分割成AM， MN， NB 三条线段， 如果以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB 的勾股分割点。
（1）如图1，M， N是线段AB 的勾股分割点，且AM=2， BN=3， 则MN的长为　 　。
（2） 如图2， 在△ABC中， 边AC， BC的垂直平分线分别交AB于点M， N， 若点M， N是线段AB的勾股分割点， 且MN>AM， MN>BN， 求∠C的度数。
（3） 如图3， 在正方形ABCD 中， 点E在边AB上(不与A， B重合) ， 点F在BC延长线上， 且CF=AE， 连接EF分别交 BD， CD于点 G， H。求证： 点 G， H是线段EF的勾股分割点。
【答案】（1）或
（2）连接CM， CN，
∵AC， BC的垂直平分线分别交AB于点 M， N，
∴AM=CM， CN=BN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且MN>AM， MN>BN，
∴AM2+BN2=MN2，
∴CM2+CN2=MN2，
∴∠MCN=90°，
： °
（3）证明思路：如图，
在BC边上取一点M，使CM=CF， 连接GM， HM，证CD垂直平分MF，得
证 得.
由 得 从而. 由勾股定理得
所以
所以点 G，H 是线段EF的勾股分割点.
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：(1)MN为直角边时，BN为斜边，MN=；
MN为斜边时，；
故MN的长为或.
【分析】(1)分别求出当MN为直角边和斜边时的长度即可；
(2)由垂直平分线的性质知∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，结合新定义知∠MCN=90°，利用外角的性质知由此可得∠ACB的度数；
(3)在BC上取点M使CM=CF，连接GM、HM，可证明
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