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浙江省舟山市多校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)
1．（2025八上·舟山期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·舟山期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是(　　)
A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
3．（2025八上·舟山期中）如果a>b，那么下列结论一定正确的是 (　　)
A．a+33b D．- 3a>-3b
4．（2025八上·舟山期中）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是(　　)
A．x>-1 B．x<-1 C．x≥2 D．x≤2
5．（2025八上·舟山期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（2025八上·舟山期中）判断命题“如果n<1，那么 是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为(　　)
A．0 B．0.5 C．- 0.5 D．- 2
7．（2025八上·舟山期中）如图， △DBC≌△ECB， 且BE与CD相交于点A， 下列结论错误的是(　　)
A．BE=CD B．AB=AC C．∠D=∠E D．BD=AE
8．（2025八上·舟山期中）如图，△ABC与△CDE 叠放在一起，AB与DE相交于点 F，则下列结论错误的是(　　)
A．∠1+∠B=∠4+∠D B．∠3+∠B+∠1=∠C+∠D+∠DEC
C．∠1=∠2+∠C D．∠2=∠B+∠C+∠D
9．（2025八上·舟山期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有(　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．（2025八上·舟山期中）如图是一个卡通头像，其脸部是正方形ABCD，帽子右侧是以AD为斜边的Rt△AFD，帽子左侧是△ABE. 若AE=AF=5， AE⊥AF， S△ABE+S△ADF=40，则正方形ABCD 的边长为(　　)
A．9.5 B．9 C． D．
二、填空题(本题有6小题，每题3分，共18分)
11．（2025八上·舟山期中）三角形三条边的长度分别为3、4、a，则a的值可以是　 　(写出一个符合条件的值).
12．（2025八上·舟山期中）用不等式表示x减去3的差是一个非负数：　 　.
13．（2025八上·舟山期中） 如图， 已知AB=CD， 要证明△ABO≌△DCO， 还需要添加条件为　 　(只写一种即可).
14．（2025八上·舟山期中）“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　.
15．（2025八上·舟山期中） 如图， 在长方形ABCD中， AB=8， AD=10， 沿过点A的折痕折叠长方形， 使点D落在边BC上，折痕与边CD交于点E，则CE的长为 　 　.
16．（2025八上·舟山期中） 如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=2， D为BC边上一动点， EF垂直平分AD 分别交AC于E， 交AB于 F. 当CD=1时， 连结DF， 则△BDF的周长为　 　； 当D为BC上任意一点时， 取AB中点 G， 则AD+GD 的最小值为 　 　.
三、解答题(本题有8小题， 第17~21题每题8分， 第22、23题每题10分， 第24题12分， 共72分)
17．（2025八上·舟山期中）解不等式3x18．（2025八上·舟山期中） 如图， 在△ABC中， BD=CD， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点 F， 若BE=CF.求证：AB=AC.
请你补全下述证明过程中的条件或依据：
证： ∵DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(③)
∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ④).
19．（2025八上·舟山期中）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗 如果能，请求出它的底边长.
20．（2025八上·舟山期中） 比较 与2ab的大小.
（1） 尝试用“<”，“=”或“>”填空) ：
①当a=2， b=-3时， 　 　
②当a=2， b=3时， 　 　
③当a=2， b=2时， 　 　
（2）归纳：若a，b取任意实数， 与2ab有怎样的大小关系 试说明理由.
21．（2025八上·舟山期中）如图， 等腰△ABC中， CA=CB， ∠ACB=45°， CD是△ABC的角平分线， 于点E，且与CD交于点 H.
（1）求∠ABE 的度数；
（2）求证： △ABE≌△HCE.
22．（2025八上·舟山期中） 2024年，人工智能技术迎来新的突破.智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利.某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共40台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的 倍.
（1）该连锁酒店最多购买几台A 型号机器人
（2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过313 万元，则有哪几种购买方案
23．（2025八上·舟山期中）
（1）如图1， 已知： △ABC和△ECD 是等边三角形， 点B， C， D在同一直线上， 连结BE， AD. 求证： AD=BE.
（2）在(1)的条件下，如图2，将△ECD 绕点C顺时针旋转一定的角度( 记AD 与BE 交于点 F，猜想∠AFB 的度数并证明；
（3）如图3， 在△ABC中， AB=AC， 过△ABC外一点D， 作∠ADB=∠ACB， BD 和边AC交于 F， 连结CD， 过点A作AE⊥BD于E， 若CD=7， BD=11， AD=5， 请求出 的值.
24．（2025八上·舟山期中） 在△ABC中， ∠ACB=90°， D为△ABC内一点， 连接BD， DC， 延长DC到点E，使得CE=DC.
（1）如图1， 延长BC到点 F， 使得CF=BC， 连接AF， EF.
①求证： △BDC≌△FEC
②若AF⊥EF， 求证： BD⊥AF.
（2）连接AE，交BD 的延长线于点 H，连接CH，依题意补全图2.若. 用等式表示线段 CD与CH的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴.
2．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：A .
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，原变形错误，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a-3＞b-3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，原变形正确，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-3a＜-3b，原变形错误，故本选项不符合题意
故答案为：C .
【分析】 根据不等式的性质解答即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解： 由数轴知该不等式组的解集为x≥2
故答案为：C .
【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可.
5．【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： A、当n=0时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
B、当n=0.5时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
C、当n=-0.5时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
D、当n=-2时，n＜1，而n2＞1，能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，符合题意；
故答案为： D.
【分析】 根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ∵△DBC≌△ECB，
∴BE=CD，∠D=∠E，BD=CE，∠DCB=∠EBC，
∴AB=AC．
可知BD=AE不一定成立，
故答案为：D .
【分析】 根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠1+∠B+∠BFE=∠4+∠D+∠3，∠BFE=∠3，
∴∠1+∠B=∠4+∠D，故选项A正确，不合题意；
∵∠BFE=∠3，
∴∠3+∠B+∠1=∠BFE+∠B+∠1=180°，
∵∠C+∠D+∠DEC=180°，
∴∠3+∠B+∠1=∠C+∠D+∠DEC，故选项B正确，不合题意；
∵∠1=∠C+∠D=∠C+∠2-∠4，故选项C错误，符合题意；
∵∠2=∠B+∠1=∠B+∠C+∠D，故选项D正确，不合题意；
故答案为：C .
【分析】 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】 先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图，四边形ABCD是正方形，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，得到直角∠BGE=90°。
根据正方形性质：∠BAD=90°，AB=AD。
由AE⊥AF可得：∠FAG=∠BAD=90°。
通过角度关系推导：
∵ ∠BAG+∠DAG=∠BAD，
∠DAG+∠DAF=∠FAG，
∴ ∠BAG=∠DAF，
可证△ABG≌△ADF（AAS），
根据全等性质：BG=DF，S△ABG=S△ADF。
由已知S△ABE+S△ADF=40，建立方程：
代入AE=AF=5得DF=8，
最后用勾股定理求AD=
故答案为：。
【分析】
通过构造辅助线BG⊥EA，证明三角形全等，利用面积关系建立方程求得DF=8，最后运用勾股定理求出正方形边长AD=。
11．【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由三角形三边关系定理得到：4-3＜a＜4+3，
∴1＜a＜7，
∴a的值可以是6（答案不唯一）．
故答案为：6 .
【分析】
由三角形三边关系定理得到1＜a＜7，即可得到答案.
12．【答案】x-3≥0
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：
由题意可列不等式：
x-3≥0.
故答案为：x-3≥0..
【分析】根据文字语言列不等式即可.
13．【答案】∠B=∠C （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=CD，∠AOB=∠DOC，
添加条件：∠B=∠C，
则可证明 △ABO≌△DCO（AAS）
故答案为：∠B=∠C .（答案不唯一）
【分析】 由三角形全等的判定方法可得到答案.
14．【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形.
故答案为：三个内角都相等的三角形是等边三角形 .
【分析】根据逆命题的定义解答即可.
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
已知长方形ABCD，根据长方形的性质可得：
由于是折叠操作，所以：
在直角三角形ABD'中，应用勾股定理计算BD'的长度：
因此：
设DE = D'E = x，则CE = DC - DE = 8 - x
在直角三角形ECD'中，应用勾股定理建立方程：
，
解得x = 5，
因此CE = DC - DE = 8 - 5 = 3，
故答案为：3
【分析】由折叠可得AD=AD'=10，DE=D'E，在Rt△ABD'中，由勾股定理求出BD'=6，设DE=D'E=x，则CE=DC-DE=8-x，然后在Rt△ECD'中，运用勾股定理建立方程求.
16．【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2。
根据30°角所对直角边的性质可得AB=2AC=4。
通过勾股定理计算BC的长度：
，
因此点A坐标为(0，2)，点B坐标为(，0)。
已知CD=1，则BD=BC-CD=。
由于EF是AD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AF=DF。
因此△BDF的周长=BD+DF+BF=BD+BA=。
建立坐标系后，取点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，此时AD=A'D。
当A'、D、G三点共线时，AD+DG=A'G取得最小值。
根据中点坐标公式，点G坐标为(，1)。
计算A'G距离：
，
所以AD+GD的最小值为。
最终答案为：
△BDF的周长：；
AD+GD的最小值：。
【分析】 根据30°角所对直角边等于斜边一半得AB=4，由勾股定理BC=， 得出BD=-1， 由线段垂直平分线的性质可得AF=DF，而△BDF的周长=+3 ；建立平面直角坐标系如图，取点A关于x的对称点A'（0，-2），则AD=A'D，当A'，D，G三点共线时AD+DG=A'D+DG=A'G最小，求出点G坐标为(，1)，从而得到A'G长.
17．【答案】解：3x-x<-2，
2x<-2，
x<-1，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】 先移项，再合并同类项，化系数为1求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可.
18．【答案】解：①BE②CF③HL ④等角对等边
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】 先根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF得到∠B=∠C，再由等角对等边即可得出答案.
19．【答案】（1）解：设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，
由题意可得， x+2x+2x=35，
解得x=7，
∴2x=14，
即各边的长为7cm、14cm、14cm；
（2）解：能围成有一边长为11cm的等腰三角形，
当腰长为11cm时，则底边长为35-11×2=13(cm)，
∵11+11>13，
∴能围成有腰长为11cm的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为11cm、13cm；
当底边长为11cm时，则腰长为(35-11)÷2=12(cm)，
显然成立 ∴三角形的另外两边长为12cm、12cm；
由上可得，三角形的另外两边长为11cm、13cm或12cm、12cm.
故底边长为11cm或13cm.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
（2）利用分类讨论，令11cm分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度.
20．【答案】（1）>；>；=
（2）解：理由如下：
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】 （1）分别代入相应字母的值可得：
①当a=2，b=-3时，a2+b2=22+（-3）2=13，2ab=2×2×（-3）=-12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
②当a=2，b=3时，a2+b2=13，2ab=12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
③当a=2，b=2时，a2+b2=8，2ab=8，
∴a2+b2=2ab，
故答案为：=；
【分析】 （1）分别代入相应字母的值，即可比较大小；
（2）利用作差法比较a2+b2与2ab的大小，结合完全平方公式即可得出结论.
21．【答案】（1）解：∵CD是△ABC的角平分线， ∠ACB=45°
∴∠ACD=22.5°
∵CA=CB
∴CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠A=67.5°
∵BE⊥AC
∴∠AEB=90°
∴∠ABE=22.5°.
（2）证明：∵∠BEC=90°， ∠ACB=45°
∴∠EBC=∠ECB=45°
∴EB=EC
由(1)得.
∠HEC=∠AEB=90
∴△ABE≌△HCE.（AAS）
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质（等边对等角），可求得，再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得，因此，；
（2）由（1）知，所以，由此可利用AAS（角角边）判定定理证明结论.
22．【答案】（1）解：设该连锁酒店购买x台A型号机器人，则购买(40-x)台B型号机器人，根据题意得：
解得： x≤25，
∴x的最大值为25.
答：该连锁酒店最多购买25台A型号机器人；
（2）解：根据题意得： 7x+9 (40-x)≤313，
解得：
又∵x≤25， 且x为正整数，
∴x可以为24， 25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买24台A型号机器人，16台B型号机器人；
方案2：购买25台A型号机器人，15台B型号机器人.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 （1）设该连锁酒店购买x台A型号机器人，则购买（40-x）台B型号机器人，根据购买的B型号机器人不少于A型号机器人的，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论；
（2）利用总价=单价×数量，结合总价不超过313万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x≤25且x为正整数，即可得出各购买方案．
23．【答案】（1）解：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴BC=AC， CD=CE， ∠BCA=∠ECD，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD.
∴△ACD≌△BCE (SAS)；
（2）解：猜想∠AFB=60°
同理(1)可得△ACD≌△BCE，
∴∠CAF=∠CBE，
记AC与BE 的交点为P
∵∠BPC=∠APF
∴∠AFB=∠ACB=60°
（3）解：如图， 在BD上找一点G， 使得AG=AD， 连接AG，
∵AG=AD， AB=AC， ∠ACB=∠ADB，
∴∠ACB=∠ABC=∠ADG=∠AGD，
∴∠BAC=∠DAG，
∴∠BAG=∠CAD，
∴△ABG≌△ACD (SAS)，
∴CD=BG=7，
∴DG=BD-BG=11-7=4，
又AE⊥DG，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】 （1）证AD=BE：用等边三角形性质得全等条件（SAS），由全等对应边相等得结论；
（2）证∠AFB=60°：由全等得角相等，结合对顶角和三角形内角和推导；
（3）求面积差：构造辅助线AG=AD证全等，将面积差转化为△AGD的面积，代入公式计算.
24．【答案】（1）解：①： 在△BCD 和△FCE 中，
∴△BCD≌△FCE；
②： 猜想BD⊥AF， 理由如下：
由①得∴△BCD≌△FCE，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下，猜想：CD=CH.
延长BC到 F， 使CF=BC， 连接AF， EF，
∵AC⊥BF， BC=CF，
∴AB=AF，
由 (1) 可知BD∥EF， BD=EF，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；直角三角形的判定
【解析】【分析】 （1）①利用SAS证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论.
1 / 1浙江省舟山市多校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每题3分，共30分.请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)
1．（2025八上·舟山期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两部分能完全重合，关键是找到对称轴.
2．（2025八上·舟山期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是(　　)
A．两点确定一条直线 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为：A .
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.
3．（2025八上·舟山期中）如果a>b，那么下列结论一定正确的是 (　　)
A．a+33b D．- 3a>-3b
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A．∵a＞b，
∴a+3＞b+3，原变形错误，故本选项不符合题意；
B．∵a＞b，
∴a-3＞b-3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C．∵a＞b，
∴3a＞3b，原变形正确，故本选项符合题意；
D．∵a＞b，
∴-3a＜-3b，原变形错误，故本选项不符合题意
故答案为：C .
【分析】 根据不等式的性质解答即可.
4．（2025八上·舟山期中）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是(　　)
A．x>-1 B．x<-1 C．x≥2 D．x≤2
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解： 由数轴知该不等式组的解集为x≥2
故答案为：C .
【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可.
5．（2025八上·舟山期中）已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：作图正确的是①②.
故答案为：A.
【分析】利用作一个角等于已知角的方法，作线段垂直平分线的方法，可得答案.
6．（2025八上·舟山期中）判断命题“如果n<1，那么 是假命题，只需举出一个反例.反例中的n可以为(　　)
A．0 B．0.5 C．- 0.5 D．- 2
【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： A、当n=0时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
B、当n=0.5时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
C、当n=-0.5时，n＜1，n2＜1，不能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，不符合题意；
D、当n=-2时，n＜1，而n2＞1，能判断命题“如果n＜1，那么n2＜1”是假命题，符合题意；
故答案为： D.
【分析】 根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可.
7．（2025八上·舟山期中）如图， △DBC≌△ECB， 且BE与CD相交于点A， 下列结论错误的是(　　)
A．BE=CD B．AB=AC C．∠D=∠E D．BD=AE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： ∵△DBC≌△ECB，
∴BE=CD，∠D=∠E，BD=CE，∠DCB=∠EBC，
∴AB=AC．
可知BD=AE不一定成立，
故答案为：D .
【分析】 根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证.
8．（2025八上·舟山期中）如图，△ABC与△CDE 叠放在一起，AB与DE相交于点 F，则下列结论错误的是(　　)
A．∠1+∠B=∠4+∠D B．∠3+∠B+∠1=∠C+∠D+∠DEC
C．∠1=∠2+∠C D．∠2=∠B+∠C+∠D
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解： ∵∠1+∠B+∠BFE=∠4+∠D+∠3，∠BFE=∠3，
∴∠1+∠B=∠4+∠D，故选项A正确，不合题意；
∵∠BFE=∠3，
∴∠3+∠B+∠1=∠BFE+∠B+∠1=180°，
∵∠C+∠D+∠DEC=180°，
∴∠3+∠B+∠1=∠C+∠D+∠DEC，故选项B正确，不合题意；
∵∠1=∠C+∠D=∠C+∠2-∠4，故选项C错误，符合题意；
∵∠2=∠B+∠1=∠B+∠C+∠D，故选项D正确，不合题意；
故答案为：C .
【分析】 根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可.
9．（2025八上·舟山期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有(　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：
故答案为：B .
【分析】 先利用勾股定理求出线段的长，再结合等腰三角形的定义，在网格中画出图形即可.
10．（2025八上·舟山期中）如图是一个卡通头像，其脸部是正方形ABCD，帽子右侧是以AD为斜边的Rt△AFD，帽子左侧是△ABE. 若AE=AF=5， AE⊥AF， S△ABE+S△ADF=40，则正方形ABCD 的边长为(　　)
A．9.5 B．9 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：
如图，四边形ABCD是正方形，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，得到直角∠BGE=90°。
根据正方形性质：∠BAD=90°，AB=AD。
由AE⊥AF可得：∠FAG=∠BAD=90°。
通过角度关系推导：
∵ ∠BAG+∠DAG=∠BAD，
∠DAG+∠DAF=∠FAG，
∴ ∠BAG=∠DAF，
可证△ABG≌△ADF（AAS），
根据全等性质：BG=DF，S△ABG=S△ADF。
由已知S△ABE+S△ADF=40，建立方程：
代入AE=AF=5得DF=8，
最后用勾股定理求AD=
故答案为：。
【分析】
通过构造辅助线BG⊥EA，证明三角形全等，利用面积关系建立方程求得DF=8，最后运用勾股定理求出正方形边长AD=。
二、填空题(本题有6小题，每题3分，共18分)
11．（2025八上·舟山期中）三角形三条边的长度分别为3、4、a，则a的值可以是　 　(写出一个符合条件的值).
【答案】6
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： 由三角形三边关系定理得到：4-3＜a＜4+3，
∴1＜a＜7，
∴a的值可以是6（答案不唯一）．
故答案为：6 .
【分析】
由三角形三边关系定理得到1＜a＜7，即可得到答案.
12．（2025八上·舟山期中）用不等式表示x减去3的差是一个非负数：　 　.
【答案】x-3≥0
【知识点】用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：
由题意可列不等式：
x-3≥0.
故答案为：x-3≥0..
【分析】根据文字语言列不等式即可.
13．（2025八上·舟山期中） 如图， 已知AB=CD， 要证明△ABO≌△DCO， 还需要添加条件为　 　(只写一种即可).
【答案】∠B=∠C （答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：已知AB=CD，∠AOB=∠DOC，
添加条件：∠B=∠C，
则可证明 △ABO≌△DCO（AAS）
故答案为：∠B=∠C .（答案不唯一）
【分析】 由三角形全等的判定方法可得到答案.
14．（2025八上·舟山期中）“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题是　 　.
【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等边三角形的三个内角都等于60°”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形.
故答案为：三个内角都相等的三角形是等边三角形 .
【分析】根据逆命题的定义解答即可.
15．（2025八上·舟山期中） 如图， 在长方形ABCD中， AB=8， AD=10， 沿过点A的折痕折叠长方形， 使点D落在边BC上，折痕与边CD交于点E，则CE的长为 　 　.
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：
已知长方形ABCD，根据长方形的性质可得：
由于是折叠操作，所以：
在直角三角形ABD'中，应用勾股定理计算BD'的长度：
因此：
设DE = D'E = x，则CE = DC - DE = 8 - x
在直角三角形ECD'中，应用勾股定理建立方程：
，
解得x = 5，
因此CE = DC - DE = 8 - 5 = 3，
故答案为：3
【分析】由折叠可得AD=AD'=10，DE=D'E，在Rt△ABD'中，由勾股定理求出BD'=6，设DE=D'E=x，则CE=DC-DE=8-x，然后在Rt△ECD'中，运用勾股定理建立方程求.
16．（2025八上·舟山期中） 如图， Rt△ABC中， ∠ACB=90°， ∠B=30°， AC=2， D为BC边上一动点， EF垂直平分AD 分别交AC于E， 交AB于 F. 当CD=1时， 连结DF， 则△BDF的周长为　 　； 当D为BC上任意一点时， 取AB中点 G， 则AD+GD 的最小值为 　 　.
【答案】；
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2。
根据30°角所对直角边的性质可得AB=2AC=4。
通过勾股定理计算BC的长度：
，
因此点A坐标为(0，2)，点B坐标为(，0)。
已知CD=1，则BD=BC-CD=。
由于EF是AD的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AF=DF。
因此△BDF的周长=BD+DF+BF=BD+BA=。
建立坐标系后，取点A关于x轴的对称点A'(0，-2)，此时AD=A'D。
当A'、D、G三点共线时，AD+DG=A'G取得最小值。
根据中点坐标公式，点G坐标为(，1)。
计算A'G距离：
，
所以AD+GD的最小值为。
最终答案为：
△BDF的周长：；
AD+GD的最小值：。
【分析】 根据30°角所对直角边等于斜边一半得AB=4，由勾股定理BC=， 得出BD=-1， 由线段垂直平分线的性质可得AF=DF，而△BDF的周长=+3 ；建立平面直角坐标系如图，取点A关于x的对称点A'（0，-2），则AD=A'D，当A'，D，G三点共线时AD+DG=A'D+DG=A'G最小，求出点G坐标为(，1)，从而得到A'G长.
三、解答题(本题有8小题， 第17~21题每题8分， 第22、23题每题10分， 第24题12分， 共72分)
17．（2025八上·舟山期中）解不等式3x【答案】解：3x-x<-2，
2x<-2，
x<-1，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】 先移项，再合并同类项，化系数为1求出不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可.
18．（2025八上·舟山期中） 如图， 在△ABC中， BD=CD， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点 F， 若BE=CF.求证：AB=AC.
请你补全下述证明过程中的条件或依据：
证： ∵DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(③)
∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ④).
【答案】解：①BE②CF③HL ④等角对等边
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】 先根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF得到∠B=∠C，再由等角对等边即可得出答案.
19．（2025八上·舟山期中）用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果底边长是腰长的一半，求腰长；
（2）能围成有一边长为11cm的等腰三角形吗 如果能，请求出它的底边长.
【答案】（1）解：设底边长为 xcm，则腰长为 2xcm，
由题意可得， x+2x+2x=35，
解得x=7，
∴2x=14，
即各边的长为7cm、14cm、14cm；
（2）解：能围成有一边长为11cm的等腰三角形，
当腰长为11cm时，则底边长为35-11×2=13(cm)，
∵11+11>13，
∴能围成有腰长为11cm的等腰三角形，
∴三角形的另外两边长为11cm、13cm；
当底边长为11cm时，则腰长为(35-11)÷2=12(cm)，
显然成立 ∴三角形的另外两边长为12cm、12cm；
由上可得，三角形的另外两边长为11cm、13cm或12cm、12cm.
故底边长为11cm或13cm.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；
（2）利用分类讨论，令11cm分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度.
20．（2025八上·舟山期中） 比较 与2ab的大小.
（1） 尝试用“<”，“=”或“>”填空) ：
①当a=2， b=-3时， 　 　
②当a=2， b=3时， 　 　
③当a=2， b=2时， 　 　
（2）归纳：若a，b取任意实数， 与2ab有怎样的大小关系 试说明理由.
【答案】（1）>；>；=
（2）解：理由如下：
【知识点】求代数式的值-直接代入求值；因式分解的应用-比较大小
【解析】【解答】 （1）分别代入相应字母的值可得：
①当a=2，b=-3时，a2+b2=22+（-3）2=13，2ab=2×2×（-3）=-12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
②当a=2，b=3时，a2+b2=13，2ab=12，
∴a2+b2＞2ab，
故答案为：＞；
③当a=2，b=2时，a2+b2=8，2ab=8，
∴a2+b2=2ab，
故答案为：=；
【分析】 （1）分别代入相应字母的值，即可比较大小；
（2）利用作差法比较a2+b2与2ab的大小，结合完全平方公式即可得出结论.
21．（2025八上·舟山期中）如图， 等腰△ABC中， CA=CB， ∠ACB=45°， CD是△ABC的角平分线， 于点E，且与CD交于点 H.
（1）求∠ABE 的度数；
（2）求证： △ABE≌△HCE.
【答案】（1）解：∵CD是△ABC的角平分线， ∠ACB=45°
∴∠ACD=22.5°
∵CA=CB
∴CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠A=67.5°
∵BE⊥AC
∴∠AEB=90°
∴∠ABE=22.5°.
（2）证明：∵∠BEC=90°， ∠ACB=45°
∴∠EBC=∠ECB=45°
∴EB=EC
由(1)得.
∠HEC=∠AEB=90
∴△ABE≌△HCE.（AAS）
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）根据等腰三角形的性质（等边对等角），可求得，再根据直角三角形两锐角互余的性质，可得，因此，；
（2）由（1）知，所以，由此可利用AAS（角角边）判定定理证明结论.
22．（2025八上·舟山期中） 2024年，人工智能技术迎来新的突破.智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利.某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共40台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的 倍.
（1）该连锁酒店最多购买几台A 型号机器人
（2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过313 万元，则有哪几种购买方案
【答案】（1）解：设该连锁酒店购买x台A型号机器人，则购买(40-x)台B型号机器人，根据题意得：
解得： x≤25，
∴x的最大值为25.
答：该连锁酒店最多购买25台A型号机器人；
（2）解：根据题意得： 7x+9 (40-x)≤313，
解得：
又∵x≤25， 且x为正整数，
∴x可以为24， 25，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买24台A型号机器人，16台B型号机器人；
方案2：购买25台A型号机器人，15台B型号机器人.
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】 （1）设该连锁酒店购买x台A型号机器人，则购买（40-x）台B型号机器人，根据购买的B型号机器人不少于A型号机器人的，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论；
（2）利用总价=单价×数量，结合总价不超过313万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再结合x≤25且x为正整数，即可得出各购买方案．
23．（2025八上·舟山期中）
（1）如图1， 已知： △ABC和△ECD 是等边三角形， 点B， C， D在同一直线上， 连结BE， AD. 求证： AD=BE.
（2）在(1)的条件下，如图2，将△ECD 绕点C顺时针旋转一定的角度( 记AD 与BE 交于点 F，猜想∠AFB 的度数并证明；
（3）如图3， 在△ABC中， AB=AC， 过△ABC外一点D， 作∠ADB=∠ACB， BD 和边AC交于 F， 连结CD， 过点A作AE⊥BD于E， 若CD=7， BD=11， AD=5， 请求出 的值.
【答案】（1）解：∵△ABC和△ECD是等边三角形，
∴BC=AC， CD=CE， ∠BCA=∠ECD，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD.
∴△ACD≌△BCE (SAS)；
（2）解：猜想∠AFB=60°
同理(1)可得△ACD≌△BCE，
∴∠CAF=∠CBE，
记AC与BE 的交点为P
∵∠BPC=∠APF
∴∠AFB=∠ACB=60°
（3）解：如图， 在BD上找一点G， 使得AG=AD， 连接AG，
∵AG=AD， AB=AC， ∠ACB=∠ADB，
∴∠ACB=∠ABC=∠ADG=∠AGD，
∴∠BAC=∠DAG，
∴∠BAG=∠CAD，
∴△ABG≌△ACD (SAS)，
∴CD=BG=7，
∴DG=BD-BG=11-7=4，
又AE⊥DG，
.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】 （1）证AD=BE：用等边三角形性质得全等条件（SAS），由全等对应边相等得结论；
（2）证∠AFB=60°：由全等得角相等，结合对顶角和三角形内角和推导；
（3）求面积差：构造辅助线AG=AD证全等，将面积差转化为△AGD的面积，代入公式计算.
24．（2025八上·舟山期中） 在△ABC中， ∠ACB=90°， D为△ABC内一点， 连接BD， DC， 延长DC到点E，使得CE=DC.
（1）如图1， 延长BC到点 F， 使得CF=BC， 连接AF， EF.
①求证： △BDC≌△FEC
②若AF⊥EF， 求证： BD⊥AF.
（2）连接AE，交BD 的延长线于点 H，连接CH，依题意补全图2.若. 用等式表示线段 CD与CH的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：①： 在△BCD 和△FCE 中，
∴△BCD≌△FCE；
②： 猜想BD⊥AF， 理由如下：
由①得∴△BCD≌△FCE，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵AF⊥EF，
∴BD⊥AF；
（2）解：由题意补全图形如下，猜想：CD=CH.
延长BC到 F， 使CF=BC， 连接AF， EF，
∵AC⊥BF， BC=CF，
∴AB=AF，
由 (1) 可知BD∥EF， BD=EF，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD=CE.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行；直角三角形的判定
【解析】【分析】 （1）①利用SAS证明△BCD≌△FCE即可；，
②由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；
（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD=EF，证出∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论.
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