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浙江省宁波市余姚市城区学校2025-2026学年八年级上学期期中联考数学试题（11月）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（八上·余姚期中）已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（八上·余姚期中）习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（八上·余姚期中）不等式x>-1在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（八上·余姚期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．（八上·余姚期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．（八上·余姚期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（八上·余姚期中） 说明命题“若aA．a=-1， b=2 B．a=-1， b=-2
C．a=-2，b=-1 D．a=1， b=2
8．（八上·余姚期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（八上·余姚期中）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ，AB于E，F 点，若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM 的周长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（八上·余姚期中） 如图， 在锐角△ABC中， AC=2， AC边上的中线. 过点A作AE⊥BC于点E ， 记BC的长为a，BE的长为b.当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．a+b B．a-b C． D．ab
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（八上·余姚期中）“x与7的和大于2”用不等式表示为　 　．
12．（八上·余姚期中） 如图， AD=AE ，点D ， E分别在AB， AC上， CD ， BE交于点F ，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　（添加一个即可）.
13．（八上·余姚期中）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 　 　.
14．（八上·余姚期中）如图，数轴上点所表示的数是　 　．
15．（八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若 则图中阴影部分的面积为　 　.
16．（八上·余姚期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC ， 点P 、A分别位于直线BC异侧， 连接AP ， ∠PBC=∠BAC ，∠APB+2∠PAB=90°， 当BC=8， PB=5时， 则AP 的长为 　 　.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（八上·余姚期中）解不等式组 并写出它的所有整数解.
18．（八上·余姚期中）小明在做八上课本习题：“已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE ，”时，其证明过程如下：
证明：∵AB=AC、 ∴∠B=∠C 、 ……第①步 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE、…第②步 ∴BD=CE. …第③步
（1）老师批改时，告知小明在第 ▲ 步中有错，请你写出正确的证明过程；
（2）若∠B=40°， ∠EAC=30°， 求证： AB=BE.
19．（八上·余姚期中）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹.
（1） 在图①中画出△ABC的高线AD.
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E， 连接AE， 使AE平分△ABC的面积.
（3）在图③中画△BCF ， 使△ABC≌△FCB， 其中点F不与点A重合.
20．（八上·余姚期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13.
（1）连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD 的面积.
21．（八上·余姚期中）如图， 在△ABC中， AD是BC边上的高线， CE是AB边上的中线， DC=BE ， G是CE的中点.
（1）求证： DG⊥CE；
（2）若∠BCE=27°， 求∠AEC的度数.
22．（八上·余姚期中）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长．
23．（八上·余姚期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示.为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列.
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是　 　；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择 请说明理由.
24．（八上·余姚期中）如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】设三角形的第三边为m．
由题意：5-2＜m＜5+2，
即3＜m＜7，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵是轴对称图形，∴A符合题意；
B、∵不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： 根据数轴上表示不等式解集的方法可知：
x＞-1在数轴上表示-1右侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故答案为：D.
【分析】根据不等式在数轴上的表示解答即可.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设三个内角分别为x、2x、3x，根据三角形内角和定理得：
x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30°
因此最大内角3x = 3×30° = 90°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和为180°的性质，通过设定比例系数x，建立方程求出各角度数，最终确定最大内角为90°.
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和求出∠ADF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠A的度数，然后再根据三角形的内角和定理解题.
7．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： ∵当a=-2，b=-1时，（-2）2=4＞（-1）2=1 ，
故反例可以为：a=-2，b=-1，
故答案为：C.
【分析】直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称.
连接AD与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小的位置.
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴AD⊥BC．
CD = BD =×8 = 4，
∵S△ABC=24，BC=8，
∴ AD = = 6．
∵MA=MC，
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=AD+DC=6+4=10.
故答案为：D.
【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接线段DE，并过点D作DF垂直于BC于点F，此时∠BFD和∠CFD均为90°。
已知BD是AC边上的中线且长度为，因此点D是AC的中点。
由于AE垂直于BC且AC=2，根据直角三角形的性质可得DE=CD=AC=1。
设BC的长度为a，BE的长度为b，则CE=a-b。
根据中点性质可得EF=FC=CE=(a-b)，
因此BF=BE+EF=(a+b)。
在直角三角形BDF中，根据勾股定理：
DF2=BD2-BF2=-
在直角三角形CDF中，同理可得：
DF2=CD2-CF2=-
联立这两个方程得到：
-=-
化简后得到ab=2。
故正确答案为：D.
【分析】 连接DE，过D作DF垂直于BC于F，根据中线性质可得DE=CD=AC=1，根据三线合一性质可得EF=FC=CE=(a-b)，然后在直角三角形BDF和CDF中分别应用勾股定理建立方程，通过联立方程化简求解即可.
11．【答案】x+7>2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x与7的和大于2”用不等式表示为 ：x+7>2
故答案为：x+7>2.
【分析】根据题意把文字描述转化为数学符号语言即可.
12．【答案】（添加一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 添加条件：∠B=∠C，
理由：由题意可得，AE=AD，∠BAE=∠CAD，
则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：.
【分析】 添加条件∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一.
13．【答案】50°或80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC.
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°.
故答案为：50°或80°.
【分析】根据内角和定理可得顶角的度数可以为50°；当底角为50°时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得顶角的度数.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得，圆弧半径为
∴数轴上点所表示的数是．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆弧半径，再观察图形可得到点A表示的数.
15．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，以三边为边长向外作正方形，其面积分别记为、、。根据勾股定理可得：
，
即。
已知，
代入上式可得。
阴影部分面积为，
因此阴影面积为4。
故答案为：4.
【分析】
通过勾股定理建立面积关系式，结合给定条件求得的值，最终计算出阴影面积。
16．【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，
则∠AFB=90°，
根据垂直关系可得∠APB+∠PAF=90°，
由题意知∠APB+2∠PAB=90°，
因此∠PAF=2∠PAB，
进而得出∠EAB=∠FAB。
已知AB=AC，则∠ABC=∠C，
根据三角形内角和定理得∠BAC+2∠ABC=180°，
又因为∠PBC=∠BAC，且∠PBC+∠CBF=180°，
所以∠CBF=2∠ABC，
故∠ABE=∠ABF。
在△ABE和△ABF中，满足以下条件：
∠EAB=∠FAB
AB=AB
∠ABE=∠ABF
可得△ABE≌△ABF(ASA），
从而得出AE=AF，BE=BF=4（因为BC=8，BE=1/2BC），且∠AEB=∠AFB=90°.
已知PB=5，根据勾股定理计算PE，
PE==3，
则PF=PB+BF=5+4=9，
设AF=x，则AP=x+3，
在Rt△PAF中应用勾股定理：
PA2=AF2+PF2 (x+3)2=x2+92
解得x=12，因此AP=12+3=15。
故答案为：15.
【分析】本题通过构造辅助线AF⊥PB，证明三角形全等后建立线段关系，利用勾股定理列方程求解。关键步骤包括：证明△ABE≌△ABF，利用BE=1/2BC=4求出PE=3，设未知数建立方程(x+3)2=x2+81，最终解得AP=15.
17．【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其所有整数解即可.
18．【答案】（1）解：②；
，，
，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
.
（2）证明：△△，，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）不满足SAS的条件，不能证明△ABD≌△ACE，由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由三角形外角的性质推出∠BAD=∠CAE，由SAS即可证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2） 利用全等三角形的对应角相等，由△ABD≌△ACE 得到∠BAD=∠EAC=30°；接着通过三角形外角定理，用∠B 与∠BAD 求出∠ADE 的度数；再结合全等三角形的对应边相等得到 AD=AE，判定△ADE 为等腰三角形，从而得出∠AED=∠ADE；随后用三角形内角和定理算出∠DAE 的度数，进而求出∠BAE 的度数，由∠BAE=∠AED 证得 AB=BE.
19．【答案】（1）解：如图①所示，线段即为所求；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
（3）解：如图③所示，△即为所求；
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）找到经过点A且与BC垂直的直线与BC的交点D，连接AD即可；
（2）找到BC的中点E，连接AE即为△ABC的中线；
（3）找到点A关于BC的垂直平分线的对称点F，再连接BF、CF即可.
20．【答案】（1）解：△ACD是直角三角形.理由如下： 连接AC，如图
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理得
∵AD=13， CD=12，
∵AD=13
∴
∴△ACD 是直角三角形
（2）解：∵
∴S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC=30-6=24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)在Rt△ABC中可求AC=5，在△ACD中，由于可知△ACD 是直角三角形；
(2)分别求出△ABC和△ADC的面积，相减就是四边形ABCD的面积。
21．【答案】（1）证明：，
，
是边上的中线，
点为的中点，
，
，
，
，
为中点，
；
（2）解：由（1）知，
，，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 （1）由直角三角形斜边中线的性质可得DE=BE，进而可得DE=CD，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明问题；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠BCE=∠DEC=27°，∠B=∠EDB，由三角形的外角性质可得∠EDB=54°，得到∠B=54°，由三角形的外角性质可得∠AEC=∠B+∠BCE=81°.
22．【答案】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）解：∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
由（1）得AE=BD=12，
∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°，
∵∠EAD=90°，
∴ED= =13．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，由角的构成和等式的性质可得∠ACE=∠BCD，用边角边可证△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）得AE=BD，由等腰直角三角形的性质可得∠EAC=∠B=∠BAC=45°，于是在直角三角形EAD中，用勾股定理可求得ED的值.
23．【答案】（1）
（2）解：当时，，
解得：，（辆，
答：最多可以运输16辆购物车；
（3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，
由（2）得：一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：
（1）根据题目描述，车身总长L与购物车辆数n的关系式为：
L = 0.2n + 1
故答案为：；
【分析】
（1）题目说明每增加一辆购物车，车身长度增加0.2米，初始长度为1米，因此建立线性关系式；
（2）将给定的L值代入上述关系式即可求解对应的n值；
（3）设扶手电梯运输次数为m，直立电梯运输次数为(5-m)，根据运输能力限制建立不等式组求解即可.
24．【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC-AQ＝12-10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6-CQ，BQ＝AQ＝12-CQ，
∴82+（6-CQ）2＝（12-CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
1 / 1浙江省宁波市余姚市城区学校2025-2026学年八年级上学期期中联考数学试题（11月）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（八上·余姚期中）已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】设三角形的第三边为m．
由题意：5-2＜m＜5+2，
即3＜m＜7，
故答案为：D．
【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．
2．（八上·余姚期中）习近平总书记：“文化是一个国家、一个民族的灵魂．文化兴国运兴，文化强民族强．没有高度的文化自信，没有文化的繁荣兴盛，就没有中华民族伟大复兴．”下列甲骨文中，可看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵是轴对称图形，∴A符合题意；
B、∵不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．（八上·余姚期中）不等式x>-1在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： 根据数轴上表示不等式解集的方法可知：
x＞-1在数轴上表示-1右侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故答案为：D.
【分析】根据不等式在数轴上的表示解答即可.
4．（八上·余姚期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【知识点】直角三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵三角形三个内角的度数之比为1：2：3，
∴设三个内角分别为x、2x、3x，根据三角形内角和定理得：
x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30°
因此最大内角3x = 3×30° = 90°
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和为180°的性质，通过设定比例系数x，建立方程求出各角度数，最终确定最大内角为90°.
5．（八上·余姚期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
6．（八上·余姚期中）将一副三角板按如图位置摆放，若∠BDE＝75°，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠BDE＝75°，∠FDE＝45°，
∴∠ADF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴∠AMD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
故选：D．
【分析】根据三角形的内角和求出∠ADF的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余得到∠A的度数，然后再根据三角形的内角和定理解题.
7．（八上·余姚期中） 说明命题“若aA．a=-1， b=2 B．a=-1， b=-2
C．a=-2，b=-1 D．a=1， b=2
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： ∵当a=-2，b=-1时，（-2）2=4＞（-1）2=1 ，
故反例可以为：a=-2，b=-1，
故答案为：C.
【分析】直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案.
8．（八上·余姚期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
9．（八上·余姚期中）如图，等腰三角形 ABC的底边BC长为8，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ，AB于E，F 点，若点D为BC边的中点，点M 为线段EF上一动点，则△CDM 的周长的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点A与点C关于EF对称.
连接AD与EF的交点为M，则此时点M为使△CDM周长最小的位置.
∵点D是底边BC上的中点，且△ABC是等腰三角形，
∴AD⊥BC．
CD = BD =×8 = 4，
∵S△ABC=24，BC=8，
∴ AD = = 6．
∵MA=MC，
∴△CDM的周长=MC+MD+CD=AD+DC=6+4=10.
故答案为：D.
【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得AD⊥BC，进而根据三角形的面积求出AD，即可求出答案.
10．（八上·余姚期中） 如图， 在锐角△ABC中， AC=2， AC边上的中线. 过点A作AE⊥BC于点E ， 记BC的长为a，BE的长为b.当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．a+b B．a-b C． D．ab
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接线段DE，并过点D作DF垂直于BC于点F，此时∠BFD和∠CFD均为90°。
已知BD是AC边上的中线且长度为，因此点D是AC的中点。
由于AE垂直于BC且AC=2，根据直角三角形的性质可得DE=CD=AC=1。
设BC的长度为a，BE的长度为b，则CE=a-b。
根据中点性质可得EF=FC=CE=(a-b)，
因此BF=BE+EF=(a+b)。
在直角三角形BDF中，根据勾股定理：
DF2=BD2-BF2=-
在直角三角形CDF中，同理可得：
DF2=CD2-CF2=-
联立这两个方程得到：
-=-
化简后得到ab=2。
故正确答案为：D.
【分析】 连接DE，过D作DF垂直于BC于F，根据中线性质可得DE=CD=AC=1，根据三线合一性质可得EF=FC=CE=(a-b)，然后在直角三角形BDF和CDF中分别应用勾股定理建立方程，通过联立方程化简求解即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（八上·余姚期中）“x与7的和大于2”用不等式表示为　 　．
【答案】x+7>2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解： x与7的和大于2”用不等式表示为 ：x+7>2
故答案为：x+7>2.
【分析】根据题意把文字描述转化为数学符号语言即可.
12．（八上·余姚期中） 如图， AD=AE ，点D ， E分别在AB， AC上， CD ， BE交于点F ，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：　 　（添加一个即可）.
【答案】（添加一个即可）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 添加条件：∠B=∠C，
理由：由题意可得，AE=AD，∠BAE=∠CAD，
则△ABE≌△ACD（AAS）；
故答案为：.
【分析】 添加条件∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一.
13．（八上·余姚期中）若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 　 　.
【答案】50°或80°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC.
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°.
故答案为：50°或80°.
【分析】根据内角和定理可得顶角的度数可以为50°；当底角为50°时，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得顶角的度数.
14．（八上·余姚期中）如图，数轴上点所表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得，圆弧半径为
∴数轴上点所表示的数是．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆弧半径，再观察图形可得到点A表示的数.
15．（八上·余姚期中）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若 则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，以三边为边长向外作正方形，其面积分别记为、、。根据勾股定理可得：
，
即。
已知，
代入上式可得。
阴影部分面积为，
因此阴影面积为4。
故答案为：4.
【分析】
通过勾股定理建立面积关系式，结合给定条件求得的值，最终计算出阴影面积。
16．（八上·余姚期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC ， 点P 、A分别位于直线BC异侧， 连接AP ， ∠PBC=∠BAC ，∠APB+2∠PAB=90°， 当BC=8， PB=5时， 则AP 的长为 　 　.
【答案】15
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AF⊥PB，交PB的延长线于点F，
则∠AFB=90°，
根据垂直关系可得∠APB+∠PAF=90°，
由题意知∠APB+2∠PAB=90°，
因此∠PAF=2∠PAB，
进而得出∠EAB=∠FAB。
已知AB=AC，则∠ABC=∠C，
根据三角形内角和定理得∠BAC+2∠ABC=180°，
又因为∠PBC=∠BAC，且∠PBC+∠CBF=180°，
所以∠CBF=2∠ABC，
故∠ABE=∠ABF。
在△ABE和△ABF中，满足以下条件：
∠EAB=∠FAB
AB=AB
∠ABE=∠ABF
可得△ABE≌△ABF(ASA），
从而得出AE=AF，BE=BF=4（因为BC=8，BE=1/2BC），且∠AEB=∠AFB=90°.
已知PB=5，根据勾股定理计算PE，
PE==3，
则PF=PB+BF=5+4=9，
设AF=x，则AP=x+3，
在Rt△PAF中应用勾股定理：
PA2=AF2+PF2 (x+3)2=x2+92
解得x=12，因此AP=12+3=15。
故答案为：15.
【分析】本题通过构造辅助线AF⊥PB，证明三角形全等后建立线段关系，利用勾股定理列方程求解。关键步骤包括：证明△ABE≌△ABF，利用BE=1/2BC=4求出PE=3，设未知数建立方程(x+3)2=x2+81，最终解得AP=15.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（八上·余姚期中）解不等式组 并写出它的所有整数解.
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
该不等式组的解集为，
该不等式组的整数解为0，1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后写出其所有整数解即可.
18．（八上·余姚期中）小明在做八上课本习题：“已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE ，”时，其证明过程如下：
证明：∵AB=AC、 ∴∠B=∠C 、 ……第①步 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE、…第②步 ∴BD=CE. …第③步
（1）老师批改时，告知小明在第 ▲ 步中有错，请你写出正确的证明过程；
（2）若∠B=40°， ∠EAC=30°， 求证： AB=BE.
【答案】（1）解：②；
，，
，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
.
（2）证明：△△，，
，
，
，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 （1）不满足SAS的条件，不能证明△ABD≌△ACE，由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由三角形外角的性质推出∠BAD=∠CAE，由SAS即可证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2） 利用全等三角形的对应角相等，由△ABD≌△ACE 得到∠BAD=∠EAC=30°；接着通过三角形外角定理，用∠B 与∠BAD 求出∠ADE 的度数；再结合全等三角形的对应边相等得到 AD=AE，判定△ADE 为等腰三角形，从而得出∠AED=∠ADE；随后用三角形内角和定理算出∠DAE 的度数，进而求出∠BAE 的度数，由∠BAE=∠AED 证得 AB=BE.
19．（八上·余姚期中）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹.
（1） 在图①中画出△ABC的高线AD.
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E， 连接AE， 使AE平分△ABC的面积.
（3）在图③中画△BCF ， 使△ABC≌△FCB， 其中点F不与点A重合.
【答案】（1）解：如图①所示，线段即为所求；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
（3）解：如图③所示，△即为所求；
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）找到经过点A且与BC垂直的直线与BC的交点D，连接AD即可；
（2）找到BC的中点E，连接AE即为△ABC的中线；
（3）找到点A关于BC的垂直平分线的对称点F，再连接BF、CF即可.
20．（八上·余姚期中） 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13.
（1）连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD 的面积.
【答案】（1）解：△ACD是直角三角形.理由如下： 连接AC，如图
∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理得
∵AD=13， CD=12，
∵AD=13
∴
∴△ACD 是直角三角形
（2）解：∵
∴S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC=30-6=24
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)在Rt△ABC中可求AC=5，在△ACD中，由于可知△ACD 是直角三角形；
(2)分别求出△ABC和△ADC的面积，相减就是四边形ABCD的面积。
21．（八上·余姚期中）如图， 在△ABC中， AD是BC边上的高线， CE是AB边上的中线， DC=BE ， G是CE的中点.
（1）求证： DG⊥CE；
（2）若∠BCE=27°， 求∠AEC的度数.
【答案】（1）证明：，
，
是边上的中线，
点为的中点，
，
，
，
，
为中点，
；
（2）解：由（1）知，
，，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 （1）由直角三角形斜边中线的性质可得DE=BE，进而可得DE=CD，然后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明问题；
（2）利用等腰三角形的性质可得∠BCE=∠DEC=27°，∠B=∠EDB，由三角形的外角性质可得∠EDB=54°，得到∠B=54°，由三角形的外角性质可得∠AEC=∠B+∠BCE=81°.
22．（八上·余姚期中）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．
（1）求证：BD=AE．
（2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE；
（2）解：∵AD=5，AB=17，
∴BD=17-5=12，
由（1）得AE=BD=12，
∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°，
∵∠EAD=90°，
∴ED= =13．
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，由角的构成和等式的性质可得∠ACE=∠BCD，用边角边可证△ACE≌△BCD，然后根据全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）得AE=BD，由等腰直角三角形的性质可得∠EAC=∠B=∠BAC=45°，于是在直角三角形EAD中，用勾股定理可求得ED的值.
23．（八上·余姚期中）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图1所示.为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列.如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米.
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运.为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列.
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是　 　；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择 请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：当时，，
解得：，（辆，
答：最多可以运输16辆购物车；
（3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，
由（2）得：一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
【知识点】一次函数的实际应用；列一次函数关系式；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：
（1）根据题目描述，车身总长L与购物车辆数n的关系式为：
L = 0.2n + 1
故答案为：；
【分析】
（1）题目说明每增加一辆购物车，车身长度增加0.2米，初始长度为1米，因此建立线性关系式；
（2）将给定的L值代入上述关系式即可求解对应的n值；
（3）设扶手电梯运输次数为m，直立电梯运输次数为(5-m)，根据运输能力限制建立不等式组求解即可.
24．（八上·余姚期中）如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC-AQ＝12-10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6-CQ，BQ＝AQ＝12-CQ，
∴82+（6-CQ）2＝（12-CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
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