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浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
一、选择题：（共10小题，3×10＝30分）
1．（2025九上·萧山期中）下列事件中，必然事件是（　　）
A．明天不会下雨
B．三点确定一个圆
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
2．（2025九上·萧山期中） 抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
3．（2025九上·萧山期中） 如图A，B，C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·萧山期中）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·萧山期中）将抛物线 向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·萧山期中） 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是，则正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C． D．6
7．（2025九上·萧山期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·萧山期中）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m－2，y3)为二次函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y19．（2025九上·萧山期中） 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　）
A．90° B．72° C．54° D．36°
10．（2025九上·萧山期中） 如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线x=1，有以下四个结论：① ab<0，② b < ，③ a=－k ，④ 0.8a+b>k ，其中正确的个数（　　）.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（共6小题，3×6＝18分）
11．（2025九上·萧山期中）抛物线的开口方向是　 　.(填“向上”或“向下”）
12．（2025九上·萧山期中）正十边形的一个外角的度数是　 　度.
13．（2025九上·萧山期中）连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是　 　.
14．（2025九上·萧山期中） 如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是，则图中阴影部分的面积是　 　.
15．（2025九上·萧山期中） 已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　.
16．（2025九上·萧山期中） 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧AC沿弦AC折叠后刚好经过弦BC中点D，若AC=6，∠C=60°，则⊙O的半径为　 　.
三、解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分）
17．（2025九上·萧山期中）已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点.
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积
18．（2025九上·萧山期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）
（1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形；
（2）求出在旋转的过程中，点C所经过的路径的长．
19．（2025九上·萧山期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A.猪妖，B.蛤蟆精，C.黄鼠狼精，D.猩猩怪. 将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片.
A.猪妖 B.蛤蟆精 C.黄鼠狼精 D.猩猩怪
（1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为　 　.
（2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率.
20．（2025九上·萧山期中）如图，在中，以为直径的⊙O交边于点，且边的中点.
（1）求证：
（2）若，求.
21．（2025九上·萧山期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
22．（2025九上·萧山期中）如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点在边上，点在圆弧上，且，PQ与AD交于点H. 测得 记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离OE的长；
（2）求门洞⊙O的半径.
23．（2025九上·萧山期中）已知二次函数的图象经过， .
（1）求的值.
（2）当时，求的取值范围；
（3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值.
24．（2025九上·萧山期中）如图所示，在中，，点外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与重合），过垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 明天不会下雨是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 不共线的三点确定一个圆，共线的三点无法确定一个圆，故B不符合题意；
对C选项， 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，圆中最长的弦是直径为必然事件，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】 分别判断各选项中事件发生的可能性，即可判断.
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为(3，1).
故答案：B.
【分析】直接由二次函数的顶点式的性质，即可得其顶点坐标.
3．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠AOB=2∠ACB=2×35°=70°.
故答案：D.
【分析】直接由同弧所圆心角为圆周角的两倍，即得结果.
4．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：向上平移2个单位得函数.
故答案：A.
【分析】直接由函数“上加下减”的平移规则即可得.
6．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵ABCDEF为正六边形
∴
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=
∴△AOB为等边三角形
∴AB=OA=OB
圆的周长为，可得半径r=6，故AB=6.
故答案：D.
【分析】由正六边形的性质知△AOB为等边三角形，由圆的周长知半径r=6，即知正六边形的边长.
7．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：(1，5)为二次函数的顶点，得二次函数的对称轴为直线x=1，
由图像知抛物线与x的的一个交点的横坐标-2故的正数解的范围为3故答案：C.
【分析】由顶点知二次函数的对称轴，由对称性可得另一个交点的取值范围，即为方程的根的范围.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 二次函数 开口向上，且对称轴为直线x=m，
当xm时，y随x的增大而增大，
点C(m-2，y3)关于直线x=m的对称点C'(m+2，y3)
而m故答案：A.
【分析】由二次函数解析式知开口向上且对称轴为直线x=m，求出点C的对称点C'，由此可得y的大小关系.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ，
∵
∴
∴∠BAC=36°，∠ABE=72°
∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE
∴∠AEB=180°-72°-36°=72°
故答案：B.
【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数.
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象知开口向下，得a<0，对称轴为直线x=1，即，得b=-2a>0，故ab<0，故①正确；
由得a=-，当x=-1时，y<0，即a-b+1<0，即得b>，故②错误；
令x=1，则y=a+b+1=k+1，即a-2a+1=k+1，得a=-k，故③正确；
0.8a+b-k=0.8a-2a+a=-0.2a>0，即有 0.8a+b>k ，故④正确；
故答案：C.
【分析】由二次函数的开口和对称轴知a<0，b=-2a，可判断①；由x=-1时，y<0可知②错误；根据顶点在直线上知③正确；分别将b、k代换成a的代数式，即知④正确.
11．【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】 解：抛物线的二次系数a=1>0，故开口方向向上.
故答案：向上.
【分析】直接由二次项系数大于0知其开口向上.
12．【答案】36°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正十边形的外角为.
故答案：36°.
【分析】由多边形的外角和为360°，可直接求出正十边形的外角.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛一枚硬币正面朝上的概率为.
故答案：.
【分析】抛一枚硬币正面朝上的概率为，与第几次抛没有影响.
14．【答案】2π
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OABC为菱形
∴OC=BC
∵OC=OB
∴OBC为等边三角形
∴∠BOC=60°
∵OABC为菱形
∴OA||BC
∴
∴.
故答案：2π.
【分析】由菱形的性质知△OBC为等边三角形，得∠BOC=60°，同时OA||BC得，由此可得阴影部分的面积.
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线的顶点横坐标为x=，y=，
而，故.
故答案：.
【分析】求出抛物线顶点横纵坐标，消去b，即可得顶点所在抛物线解析式.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD，作AE⊥BC于点E，连接DG、CG，作GF⊥AE于点F，
∵AB=AD
∴BE=DE=BD
∵D为BC的中点
∴BD=CD，DG⊥BC
∵AC=6，∠ACB=60°
∴CE=AC=3，AE=
∴DE+CD=3
∵2DE+DE=3
∴DE=1，CD=2
设EF=x，则DG=x，AF=3，得，解得x=，
OC=.
故答案：.
【分析】根据等弧所对弦相等知AB=AD，由此知BE=DE，解三角形ACE得DE=1，CD=2，设EF=x则可得AF，由勾股定理得，求解方程可得x的值，即可得半径OC的长.
17．【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)，
令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0)
故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3).
（2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标；
(2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积.
18．【答案】（1）解：如图：
（2）解：弧长==2π.
【知识点】作图﹣旋转；弧长及其计算
【解析】【分析】(1)先分别找到点B、C旋转90°的对应点，即作图；
(2)直接由弧长公式可得点C的路径长.
19．【答案】（1）
（2）解：
共有12种结果，选中AD的结果有2种，故概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)任取一张有4种可能，抽中B哈蟆精的概率P=；
【分析】(1)任取一张有4种结果，即可得其概率；
(2)利用树状图知选2个的结果有12种，选中AD的有2种，即知其概率.
20．【答案】（1）证明：连接AE
∵AB为直径
∴∠AEB=90
∵E为BC的中点
∴AC=AB
（2）解：连接BD、OE交于点F
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵AB=10， AD=6
∴BD=8
∵O，E分别为AB，BC的中点
∴OE∥AC
∴OE⊥BD
∵OB=5， BF=4
∴OF=3 ，EF=2
∴BE=
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接AE，知AE⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得AB=AC；
(2)由直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，由勾股定理得BD的长，由中位线定理知OE||AC，由此得EF和BF的长，即可得BE的长.
21．【答案】（1）解：设每千克应涨价x元
（10+x）(500-20x)=6000
（舍）
答：每千克应涨价5元.
（2）解：设应涨价a元，每天的盈利为y
∴应该涨价元，此时每天的最大盈利是6125元
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设涨价x元，由题意列出利润等量关系，求解方程即得结果；
(2)设涨价a元，可得利润y与a之间的二次函数关系，由此得当a=7.5时，利润取最大值.
22．【答案】（1）解：如图，作，垂足为G，
∵ABCD是矩形，且，
∴，
根据题意可知，
∴，
∴圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm.
（2）解：∵，，
∴，
在Rt△PEO中，设⊙O的半径为，
由勾股定理可得，
∴，
在Rt△OGD中，，
解得
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)作，可得AG=80cm，AH=20cm，由此可得OE的长；
(2)先求出PH=140cm，由勾股定理得PE和OG的长，由此得，求解方程即可.
23．【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴ 解得
（2）解：由(1)知：，
，
所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时.
∴
（3）解：因为，
∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】(1)分别将两点坐标代入解析式，可得b、c的值；
(2)由(1)知抛物线解析式，配方成顶点式可知其对称轴，由此可得y的范围；
(3)分、和三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，即可得m的值.
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形.
（2）解：①当点C在中点时，四边形面积达到最大.
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，
∴，，
，
，
解得.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；多边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°知AB为直径，可得∠APB=90°，同时∠ABP=∠ACP=45°得△ABP为等腰直角三角形；
(2)①当点C在中点时，四边形面积达到最大，即可得最大面积；
②作，交的延长线于，易知PDME为矩形，同时知其为正方形，由此可得PD的长.
1 / 1浙江省杭州市萧山区城区八校2025-2026学年九年级上学期期中数学试题
一、选择题：（共10小题，3×10＝30分）
1．（2025九上·萧山期中）下列事件中，必然事件是（　　）
A．明天不会下雨
B．三点确定一个圆
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．圆中最长的弦是直径
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：对A选项， 明天不会下雨是随机事件，故A不符合题意；
对B选项， 不共线的三点确定一个圆，共线的三点无法确定一个圆，故B不符合题意；
对C选项， 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 为随机事件，故C不符合题意；
对D选项，圆中最长的弦是直径为必然事件，故D符合题意；
故答案：D.
【分析】 分别判断各选项中事件发生的可能性，即可判断.
2．（2025九上·萧山期中） 抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数的顶点坐标为(3，1).
故答案：B.
【分析】直接由二次函数的顶点式的性质，即可得其顶点坐标.
3．（2025九上·萧山期中） 如图A，B，C是⊙O上的三个点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠AOB=2∠ACB=2×35°=70°.
故答案：D.
【分析】直接由同弧所圆心角为圆周角的两倍，即得结果.
4．（2025九上·萧山期中）一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中3个红球，5个白球和1个黄球，从中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得从袋中任意摸出一个球是白球的概率是：.
故答案为：.
【分析】从袋中随机的摸出一个小球，共有9种等可能的结果数，其中能摸到白色小球的结果数共有5种，从而即可根据概率公式算出答案.
5．（2025九上·萧山期中）将抛物线 向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：向上平移2个单位得函数.
故答案：A.
【分析】直接由函数“上加下减”的平移规则即可得.
6．（2025九上·萧山期中） 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是，则正六边形的边长是（　　）
A．3 B． C． D．6
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵ABCDEF为正六边形
∴
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=
∴△AOB为等边三角形
∴AB=OA=OB
圆的周长为，可得半径r=6，故AB=6.
故答案：D.
【分析】由正六边形的性质知△AOB为等边三角形，由圆的周长知半径r=6，即知正六边形的边长.
7．（2025九上·萧山期中）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：(1，5)为二次函数的顶点，得二次函数的对称轴为直线x=1，
由图像知抛物线与x的的一个交点的横坐标-2故的正数解的范围为3故答案：C.
【分析】由顶点知二次函数的对称轴，由对称性可得另一个交点的取值范围，即为方程的根的范围.
8．（2025九上·萧山期中）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m－2，y3)为二次函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 二次函数 开口向上，且对称轴为直线x=m，
当xm时，y随x的增大而增大，
点C(m-2，y3)关于直线x=m的对称点C'(m+2，y3)
而m故答案：A.
【分析】由二次函数解析式知开口向上且对称轴为直线x=m，求出点C的对称点C'，由此可得y的大小关系.
9．（2025九上·萧山期中） 如图，在⊙O中，弧，弧BC，弧CD，弧DA的度数之比为1：2：3：4，弦AC，BD交于点E. 则∠AEB的度数是（　　）
A．90° B．72° C．54° D．36°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示 ，
∵
∴
∴∠BAC=36°，∠ABE=72°
∵∠AEB=180°-∠BAC-∠ABE
∴∠AEB=180°-72°-36°=72°
故答案：B.
【分析】由弧的比例可知、的度数，即可得∠BAE和∠ABE的度数，再由三角形内角和定理可得∠AEB的度数.
10．（2025九上·萧山期中） 如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线x=1，有以下四个结论：① ab<0，② b < ，③ a=－k ，④ 0.8a+b>k ，其中正确的个数（　　）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象知开口向下，得a<0，对称轴为直线x=1，即，得b=-2a>0，故ab<0，故①正确；
由得a=-，当x=-1时，y<0，即a-b+1<0，即得b>，故②错误；
令x=1，则y=a+b+1=k+1，即a-2a+1=k+1，得a=-k，故③正确；
0.8a+b-k=0.8a-2a+a=-0.2a>0，即有 0.8a+b>k ，故④正确；
故答案：C.
【分析】由二次函数的开口和对称轴知a<0，b=-2a，可判断①；由x=-1时，y<0可知②错误；根据顶点在直线上知③正确；分别将b、k代换成a的代数式，即知④正确.
二、填空题：（共6小题，3×6＝18分）
11．（2025九上·萧山期中）抛物线的开口方向是　 　.(填“向上”或“向下”）
【答案】向上
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】 解：抛物线的二次系数a=1>0，故开口方向向上.
故答案：向上.
【分析】直接由二次项系数大于0知其开口向上.
12．（2025九上·萧山期中）正十边形的一个外角的度数是　 　度.
【答案】36°
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：正十边形的外角为.
故答案：36°.
【分析】由多边形的外角和为360°，可直接求出正十边形的外角.
13．（2025九上·萧山期中）连续抛一枚质地均匀的硬币四次都是正面朝上，第五次正面朝上的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：抛一枚硬币正面朝上的概率为.
故答案：.
【分析】抛一枚硬币正面朝上的概率为，与第几次抛没有影响.
14．（2025九上·萧山期中） 如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】2π
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OABC为菱形
∴OC=BC
∵OC=OB
∴OBC为等边三角形
∴∠BOC=60°
∵OABC为菱形
∴OA||BC
∴
∴.
故答案：2π.
【分析】由菱形的性质知△OBC为等边三角形，得∠BOC=60°，同时OA||BC得，由此可得阴影部分的面积.
15．（2025九上·萧山期中） 已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是　 　.
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：抛物线的顶点横坐标为x=，y=，
而，故.
故答案：.
【分析】求出抛物线顶点横纵坐标，消去b，即可得顶点所在抛物线解析式.
16．（2025九上·萧山期中） 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将劣弧AC沿弦AC折叠后刚好经过弦BC中点D，若AC=6，∠C=60°，则⊙O的半径为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接AD，作AE⊥BC于点E，连接DG、CG，作GF⊥AE于点F，
∵AB=AD
∴BE=DE=BD
∵D为BC的中点
∴BD=CD，DG⊥BC
∵AC=6，∠ACB=60°
∴CE=AC=3，AE=
∴DE+CD=3
∵2DE+DE=3
∴DE=1，CD=2
设EF=x，则DG=x，AF=3，得，解得x=，
OC=.
故答案：.
【分析】根据等弧所对弦相等知AB=AD，由此知BE=DE，解三角形ACE得DE=1，CD=2，设EF=x则可得AF，由勾股定理得，求解方程可得x的值，即可得半径OC的长.
三、解答题：（共8小题，8＋8＋8＋8＋8＋10＋10＋12＝72分）
17．（2025九上·萧山期中）已知二次函数 的图像与轴交于两点（点A在点B的左侧），与轴交于点.
（1）求三点的坐标；
（2）求的面积
【答案】（1）解： 二次函数 ，令x=0，得y=-3，故二次函数与y轴的交点为(0，-3)，
令x=0，得，得x1=-3，x2=1，故与x轴的交点为(-3，0)、(1，0)
故A(-3，0) B(1，0) C(0，-3).
（2）解：AB=1-(-3)=4，OC=3，故.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】(1)分别令x=0，y=0求出对应的y值与x的值，即可得抛物线与坐标轴的交点坐标；
(2)由(1)知AB=4，OC=3，即可得△ABC的面积.
18．（2025九上·萧山期中）如图所给的方格纸中，每个小正方形边长都是1，是格点三角形（顶点都在方格顶点上的三角形叫做格点三角形）
（1）在图1中画出将以点为旋转中心，逆时针旋转得到的图形；
（2）求出在旋转的过程中，点C所经过的路径的长．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：弧长==2π.
【知识点】作图﹣旋转；弧长及其计算
【解析】【分析】(1)先分别找到点B、C旋转90°的对应点，即作图；
(2)直接由弧长公式可得点C的路径长.
19．（2025九上·萧山期中）如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A.猪妖，B.蛤蟆精，C.黄鼠狼精，D.猩猩怪. 将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片.
A.猪妖 B.蛤蟆精 C.黄鼠狼精 D.猩猩怪
（1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为　 　.
（2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率.
【答案】（1）
（2）解：
共有12种结果，选中AD的结果有2种，故概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：(1)任取一张有4种可能，抽中B哈蟆精的概率P=；
【分析】(1)任取一张有4种结果，即可得其概率；
(2)利用树状图知选2个的结果有12种，选中AD的有2种，即知其概率.
20．（2025九上·萧山期中）如图，在中，以为直径的⊙O交边于点，且边的中点.
（1）求证：
（2）若，求.
【答案】（1）证明：连接AE
∵AB为直径
∴∠AEB=90
∵E为BC的中点
∴AC=AB
（2）解：连接BD、OE交于点F
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵AB=10， AD=6
∴BD=8
∵O，E分别为AB，BC的中点
∴OE∥AC
∴OE⊥BD
∵OB=5， BF=4
∴OF=3 ，EF=2
∴BE=
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接AE，知AE⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得AB=AC；
(2)由直径所对圆周角为直角知∠ADB=90°，由勾股定理得BD的长，由中位线定理知OE||AC，由此得EF和BF的长，即可得BE的长.
21．（2025九上·萧山期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，
（1）现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（2）若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1）解：设每千克应涨价x元
（10+x）(500-20x)=6000
（舍）
答：每千克应涨价5元.
（2）解：设应涨价a元，每天的盈利为y
∴应该涨价元，此时每天的最大盈利是6125元
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设涨价x元，由题意列出利润等量关系，求解方程即得结果；
(2)设涨价a元，可得利润y与a之间的二次函数关系，由此得当a=7.5时，利润取最大值.
22．（2025九上·萧山期中）如图1是中式圆弧形门洞，门洞由圆弧和矩形两部分组成，图2是其示意图，已知矩形的边某学习小组用一根长为的笔直竹竿测门洞大小，调整竹竿位置使点在边上，点在圆弧上，且，PQ与AD交于点H. 测得 记圆心为点
（1）求圆心O到竹竿的距离OE的长；
（2）求门洞⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，作，垂足为G，
∵ABCD是矩形，且，
∴，
根据题意可知，
∴，
∴圆心O到竹竿的距离OE的长为60cm.
（2）解：∵，，
∴，
在Rt△PEO中，设⊙O的半径为，
由勾股定理可得，
∴，
在Rt△OGD中，，
解得
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)作，可得AG=80cm，AH=20cm，由此可得OE的长；
(2)先求出PH=140cm，由勾股定理得PE和OG的长，由此得，求解方程即可.
23．（2025九上·萧山期中）已知二次函数的图象经过， .
（1）求的值.
（2）当时，求的取值范围；
（3）当时，的最大值和最小值的和为17，求的值.
【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴ 解得
（2）解：由(1)知：，
，
所以该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，
当时，取得最大值，此时，
∵，
∴当时，取得最小值，此时.
∴
（3）解：因为，
∴该函数的对称轴是直线，函数图象开口向下，当时，取得最大值，此时，
①当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得，(舍去)；
②当时，时取得最小值，时取得最大值，
则（舍去）；
③当时，时取得最小值，时取得最大值，
令，
解得(舍去)，；
综上，的值为1或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式；分类讨论
【解析】【分析】(1)分别将两点坐标代入解析式，可得b、c的值；
(2)由(1)知抛物线解析式，配方成顶点式可知其对称轴，由此可得y的范围；
(3)分、和三种情况，分别求出函数的最大值与最小值，即可得m的值.
24．（2025九上·萧山期中）如图所示，在中，，点外接圆上的一点，连接AP，BP，CP，且．点为弧上一点（不与重合），过垂足为．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）已知
①求四边形面积的最大值；
②求的长.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形.
（2）解：①当点C在中点时，四边形面积达到最大.
②证明：作，交的延长线于，如图，
∵
∴为直径
∴
∵
∴四边形为矩形
在和中，
∴
∴，
∴四边形为正方形，
∴
∵，
∴，，
，
，
解得.
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；多边形的面积；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)由∠ACB=90°知AB为直径，可得∠APB=90°，同时∠ABP=∠ACP=45°得△ABP为等腰直角三角形；
(2)①当点C在中点时，四边形面积达到最大，即可得最大面积；
②作，交的延长线于，易知PDME为矩形，同时知其为正方形，由此可得PD的长.
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