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浙江省宁波市鄞州第二实验中学2025-2026学年八年级上学期数学期中加试试题
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2025八上·鄞州期中）若，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12° B．15° C．18° D．20°
3．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
4．（2025八上·鄞州期中）若关于x的不等式组 的解集为x<3，则m的取值范围是 (　　)
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
5．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， ∠ABC=60°， ∠C=45°， 以点B为圆心， 任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P， 连结BP交AC于点D. 若AB=2， 则CD的长为(　　)
A． B． C． D．
6．（2025八上·鄞州期中） 如图， 正方形ABCD和长方形 EFGH 的面积相等， 点 E， F分别在边AB， BC上， FG过点D， 连结DH， △DGH的面积为1. 若记AE长为x， CF长为y， 当x， y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 (　　)
A．x+y B．xy C． D．
7．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， ∠ACB=120°， AC=BC=4， 动点D 在线段AB上， 以CD为边在右侧作等腰△CDE， 使∠DCE=120°， DC=EC， 点F为BC边上动点， 连结EF， 则△CEF 周长的最小值为 (　　)
A． B．4 C． D．
8．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在等边△ABC中， BD 是△ABC的角平分线， BD=3， 点E为BD上一点， 将BE绕点B时针旋转60°得BF.当F，E，C三点恰好在同一直线时，连结CF与
DF， 则DF的长为(　　)
A． B． C．3 D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．（2025八上·鄞州期中）已知等腰三角形有一个角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　.
10．（2025八上·鄞州期中）如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
11．（2025八上·鄞州期中）若关于x的不等式组 的整数解有且只有一个，则a的取值范围是　 　.
12．（2025八上·鄞州期中）如图，在△ABP中，∠B=45°，∠APB=120°， 延长BP至点C，连接AC.若PC=2PB，则∠C的度数为　 　.
13．（2025八上·鄞州期中）若定义 max{a，b}是a与b中的较大者， 例如： max{1， 3}=3， max{5，5}=5， 若有y=max{x+3，-x+8}， 那么y的最小值是　 　.
14．（2025八上·鄞州期中）如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
三、解答题 (本大题共4小题，共50分)
15．（2025八上·鄞州期中）（1） 解方程：
（2）解不等式组：
16．（2025八上·鄞州期中）若一个不等式组A有解且解集为a（1）已知关于x的不等式组A： 以及不等式组B： - 1①A的解集中点值为　 　.
②不等式组B 对于不等式组A　 　(填“是’或“不是”)中点包含.
（2）已知关于x的不等式组( 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围.
（3）关于x的不等式组E： 和不等式组 F： 若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围.
17．（2025八上·鄞州期中）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
18．（2025八上·鄞州期中）如图， 已知 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， D为BC边上一点， ∠ADC-∠DAC=90°， E为三角形外一点， AE交BC于点 F， BE=BF， ∠ABC=∠EBC.
（1） 若∠BAD=70°， 求∠ADB的度数.
（2） 求证： △ABF≌△DBE.
（3）当△ADE为直角三角形时，求 的值.
（4） 若 直接写出△ADE的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、令，，则，故A错误；
B、若，则等式两边同时乘2得，故B错误；
C、若，则等式两边同时乘-1，再加1，得，故C正确；
D、若，则等式两边同时乘，再减4，得，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据“不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.”逐项进行判断，即可得到答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，
∴AD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=（180°-∠B）=（180°-70°）=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B，∠ACB的度数；利用作图可证AD=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=6
∴AC=
∵E为AC的中点
∴DE=AC=5
故答案为：A .
【分析】由等腰三角形“三线合一”知CD=BC，AD⊥BC，由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得DE的长.
4．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得的解集为x<3，故m+1≥3，得 m≥2 .
故答案为：B .
【分析】求解不等式组中的不等式，根据解集可得m的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F
∵在△ABE中，∠ABC=60°
∴∠BAE=90°-∠ABE=90°-60°=30°
∴BE=AB=1
∴AE=
∵∠C=45°
∴CE=AE=
∴BC=BE+CE=1+
∵由作图痕迹知BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠ABC=30°
设DF=x，则CF=x，BD=2x，BF=
BC=x+=1+，得x=1
CD=
故答案为：B .
【分析】由作图痕迹知BD平分∠ABC，作AE⊥BC于点E，可得BE=1，CE=，作DF⊥BC于点F，设DF=x，则BC=1+，由此可得x=1，可得CD的长.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接DE、EC，设，BE=m，
∵，，
∴
∵，
∴
∴xy=2
故答案为：B .
【分析】连接DE、EC由正方形与矩形面积相等可得，根据面积割补可得xy=2，即xy为定值.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段最值问题
【解析】【解答】解：取点C关于AB的对称点C'，在AC上取点G，使CG=CF，连接DG，
∵∠ACB=∠DCE=120°
∴∠DCG=∠FCE
又∵CD=CE，CG=CF
∴△DCG≌△ECF(SAS)
当C'、D、G共线，且C'G⊥AC时，△CDG的周长取最小值，即△CEF周长取最小值，
∵CD=C'D
∴CG+DG+CD=CG+GC=
故答案为： D.
【分析】取点C关于AB的对称点C'，连接C'D，取CG=CE，可得△DCG≌△ECF，当C'、D、G共线，且C'G⊥AC时，周长取最小值.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC，AD=CD，∠ABD=∠ABC=30°
设AB=2m，则AD=m，则有，得m=
∵BE=BF，∠EBF=60°
∴△BEF为等边三角形
∴∠ABD=∠ABF=30°
∴∠CBF=90°
∴EF⊥AB
∴CF⊥AB
∴∠BCE=∠ACF=30°
∴△CAF≌△CBF(SAS)
∴∠CAF=90°
设CF=2x，则AF=x，，解得x=2，
DF=
故答案为： B.
【分析】连接AF，由等边三角形的性质知BD⊥AC，由勾股定理可得AD的长，同时△BEF为等边三角形，∠FAC=90°，由勾股定理得AF的长，由此可得DF的长.
9．【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若40°为顶角，符合题意；
若40°为底角，则顶角为180°-40°-40°=100°；
故这个等腰三角形的顶角为或.
故答案为：或.
【分析】分类讨论40°为顶角和底角，即可得结果.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由∠BAC=90°，故AC=，
而AD=CD=1，故，
故△ACD为等腰直角三角形
得∠CAD=45°
故∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-45°=45°.
故答案为： 45°.
【分析】由勾股定理得AC的长，由此知△ACD为等腰直角三角形，得∠CAD的度数，即可得∠BAD的度数.
11．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得，故a<0，且整数解为0，
故，解得.
故答案为： .
【分析】求解不等式组得，根据整数解只有一个，即知其整数解为0，即可得关于a的不等式组，即得a的取值范围.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，
∵∠ABP=120°
∴∠CPD=60°
∴∠DCP=30°
∴PC=2PD
∵PC=2PB
∴PD=PB
∴∠PBD=∠PDB=30°
∵∠ABP=45°
∴∠ABD=15°
∵∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°
∴∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
∴AD=CD
∴∠ACD=45°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+30°=75°
故答案为：75° .
【分析】过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，知PC=2PD，由此得PB=PD，由外角的性质知∠ABD=∠BAD，得AC=AD，即可得∠ACB的度数.
13．【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知y=max{x+3，-x+8}=，即y=，
同时，当x>时，y随x的增大而增大，当x<时，y随x的增大而减小，
当x=时，y取最小值，ymin=.
故答案为： .
【分析】根据新定义对函数进行化简，即y=，根据函数的增减性知当x=时取最小值.
14．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=BC=6
∵∠C+∠CAD=90°，∠AGF+∠BAD=90°
∴∠AGF=∠C
∵∠DGE=∠AGF
∴∠C=∠DGE
∵DE平分∠ADC
∴∠EDG=∠EDC
∴△DCE≌△DGE(AAS)
DG=DC=6
AD=AG+DG=2+6=8
AC=
连接BG，，即
得FG=，AF=
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的性质知∠BAD=∠CAD，由此得∠C=∠AGF得∠C=∠DGE，可证△DCE≌△DGE，得DG=DC=6，可得AB=AC=10，连接BG，由等面积法得，由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.
15．【答案】（1）解：a=1，b=-4，c=2，
x1=2- ，x2=2+
（2）解：由①得4x+1>2x-2
4x-2x>-2-1
2x>-3
x>
由②得
【知识点】公式法解一元二次方程；解特殊的不等式组
【解析】【分析】(1)确定一元二次方程的系数，利用求根公式即可得方程的根；
(2)分别求解不等式，即可得不等式组的解集.
16．【答案】（1）5；是
（2）解：解不等式组C得，即m-3解不等式组D得即-4不等式组D对不等式组C中点包含，得解得- 5（3）解：不等式组E的解集为2n不等式组F的解集为
不等式组F对于不等式组E中点包含，得，得n符合要求的整数m之积为120，而120=
故m的取值可为1，2，3，4，5或2，3，4，5，
得0≤n<2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：(1)求解不等式得即4对不等式组B，-1【分析】(1)①求解不等式组A的解集即可得其中点值；②由A的中点值在B的解集中即可知是中点包含；
(2)分别求解不等式组C、D，并求出C的中点值，由此可得，即可得m的范围；
(3)分别求出E、F的解集和E的中点值，由此可得n17．【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
18．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠BAD=70°
∴∠CAD=90°-∠BAD=90°-70°=20°
∵∠ADC-∠DAC=90°
∴∠ADC=∠DAC+90°=20°+90°=110°
∵∠ADB=180°-∠ADC
∴∠ADB=180°-110°=70°
（2）证明：∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAD=90°
∴CAD=90°-∠BAD
∵∠ADC-∠DAC=90°
∴∠ADC=90°+∠DAC=90°+90°-∠BAD=180°-∠BAD
∴∠ADC=180°-∠BDA
∴∠BAD=∠BDA
∴BD=BA
又∵BE=BF，∠ABC=∠EBC
∴△ABF≌△DEB(SAS)
（3）解：设∠ABD=2α，则EBD=2α，∵由(2)知△ABF≌△DEB
∴BA=BD，∠BAF=∠BDE
∴∠AED=∠ABF=2α
∴∠BAD=∠BDA=90°-α
∵BE=BF
∴∠BEF=∠BFE=90°-α
∴∠AFD=90°-α
∴∠FAD=180°-∠AFD-∠ADF-180°-2(90°-α)=2α
∴∠DAE=∠DEA
当△ADE为直角三角形时，△ADE为等腰直角三角形，且∠ADE=90°，此时△ABC也为等腰直角三角形，
过点A作AH⊥BD于点H，如图所示，
设AB=AC=2，则AH=BH=
得BD=AB=2，DH=2-
故=
（4）解：过点A作AH⊥BD于点H，
设FH=x，则DH=x，由(2)知知△ABF≌△DEB
AF=DE=2，AB=BD=2x+1，
在△ABH和△AFH中，有，即有，
解得x1=，x2=-2(舍去)，AH=
过点E作EI⊥BC于点I，设BI=y，则IF=1-y，
在△BEI和△DEI中，有，即有，解得y=，
EI=
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】(1)直角三角形的性质，结合条件可得∠ADB的度数；
(2)先根据角度关系可得∠BDA=∠BAD，结合BE=BF，∠ABC=∠EBC可证△ABF≌△DEB；
(3)设∠ABD=2α结合(2)的结论可得∠DAE=2α=∠AED，知△ADE为等腰直角三角形，设AB=2得DH=2-，由此可得面积比；
(4)作AH⊥BD于点H，设FH=x，则DH=x，由勾股定理得，求出x的值即得AH的长，同理设BI=y，可得，求出y的值，即可得EI的长，即可得△ADE的面积.
1 / 1浙江省宁波市鄞州第二实验中学2025-2026学年八年级上学期数学期中加试试题
一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2025八上·鄞州期中）若，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、令，，则，故A错误；
B、若，则等式两边同时乘2得，故B错误；
C、若，则等式两边同时乘-1，再加1，得，故C正确；
D、若，则等式两边同时乘，再减4，得，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据“不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.”逐项进行判断，即可得到答案.
2．（2025八上·鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°.以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　）
A．12° B．15° C．18° D．20°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠A）=（180°-40°）=70°，
∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，
∴AD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=（180°-∠B）=（180°-70°）=55°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=70°-55°=15°.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠B，∠ACB的度数；利用作图可证AD=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠BCD的度数；然后根据∠ACD=∠ACB-∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
3．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC， AD是角平分线， 且AD=8， BC=12， 点E为AC中点，则DE的值为(　　)
A．5 B．5.8 C．6 D．6.5
【答案】A
【知识点】直角三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC
∴AD⊥BC，CD=BD=BC=6
∴AC=
∵E为AC的中点
∴DE=AC=5
故答案为：A .
【分析】由等腰三角形“三线合一”知CD=BC，AD⊥BC，由勾股定理得AC的长，由直角三角形的性质得DE的长.
4．（2025八上·鄞州期中）若关于x的不等式组 的解集为x<3，则m的取值范围是 (　　)
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得的解集为x<3，故m+1≥3，得 m≥2 .
故答案为：B .
【分析】求解不等式组中的不等式，根据解集可得m的取值范围.
5．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， ∠ABC=60°， ∠C=45°， 以点B为圆心， 任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P， 连结BP交AC于点D. 若AB=2， 则CD的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F
∵在△ABE中，∠ABC=60°
∴∠BAE=90°-∠ABE=90°-60°=30°
∴BE=AB=1
∴AE=
∵∠C=45°
∴CE=AE=
∴BC=BE+CE=1+
∵由作图痕迹知BD平分∠ABC
∴∠CBD=∠ABC=30°
设DF=x，则CF=x，BD=2x，BF=
BC=x+=1+，得x=1
CD=
故答案为：B .
【分析】由作图痕迹知BD平分∠ABC，作AE⊥BC于点E，可得BE=1，CE=，作DF⊥BC于点F，设DF=x，则BC=1+，由此可得x=1，可得CD的长.
6．（2025八上·鄞州期中） 如图， 正方形ABCD和长方形 EFGH 的面积相等， 点 E， F分别在边AB， BC上， FG过点D， 连结DH， △DGH的面积为1. 若记AE长为x， CF长为y， 当x， y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是 (　　)
A．x+y B．xy C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接DE、EC，设，BE=m，
∵，，
∴
∵，
∴
∴xy=2
故答案为：B .
【分析】连接DE、EC由正方形与矩形面积相等可得，根据面积割补可得xy=2，即xy为定值.
7．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在△ABC中， ∠ACB=120°， AC=BC=4， 动点D 在线段AB上， 以CD为边在右侧作等腰△CDE， 使∠DCE=120°， DC=EC， 点F为BC边上动点， 连结EF， 则△CEF 周长的最小值为 (　　)
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段最值问题
【解析】【解答】解：取点C关于AB的对称点C'，在AC上取点G，使CG=CF，连接DG，
∵∠ACB=∠DCE=120°
∴∠DCG=∠FCE
又∵CD=CE，CG=CF
∴△DCG≌△ECF(SAS)
当C'、D、G共线，且C'G⊥AC时，△CDG的周长取最小值，即△CEF周长取最小值，
∵CD=C'D
∴CG+DG+CD=CG+GC=
故答案为： D.
【分析】取点C关于AB的对称点C'，连接C'D，取CG=CE，可得△DCG≌△ECF，当C'、D、G共线，且C'G⊥AC时，周长取最小值.
8．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在等边△ABC中， BD 是△ABC的角平分线， BD=3， 点E为BD上一点， 将BE绕点B时针旋转60°得BF.当F，E，C三点恰好在同一直线时，连结CF与
DF， 则DF的长为(　　)
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示，
∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC
∴BD⊥AC，AD=CD，∠ABD=∠ABC=30°
设AB=2m，则AD=m，则有，得m=
∵BE=BF，∠EBF=60°
∴△BEF为等边三角形
∴∠ABD=∠ABF=30°
∴∠CBF=90°
∴EF⊥AB
∴CF⊥AB
∴∠BCE=∠ACF=30°
∴△CAF≌△CBF(SAS)
∴∠CAF=90°
设CF=2x，则AF=x，，解得x=2，
DF=
故答案为： B.
【分析】连接AF，由等边三角形的性质知BD⊥AC，由勾股定理可得AD的长，同时△BEF为等边三角形，∠FAC=90°，由勾股定理得AF的长，由此可得DF的长.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9．（2025八上·鄞州期中）已知等腰三角形有一个角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　.
【答案】或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若40°为顶角，符合题意；
若40°为底角，则顶角为180°-40°-40°=100°；
故这个等腰三角形的顶角为或.
故答案为：或.
【分析】分类讨论40°为顶角和底角，即可得结果.
10．（2025八上·鄞州期中）如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：由∠BAC=90°，故AC=，
而AD=CD=1，故，
故△ACD为等腰直角三角形
得∠CAD=45°
故∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-45°=45°.
故答案为： 45°.
【分析】由勾股定理得AC的长，由此知△ACD为等腰直角三角形，得∠CAD的度数，即可得∠BAD的度数.
11．（2025八上·鄞州期中）若关于x的不等式组 的整数解有且只有一个，则a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得，故a<0，且整数解为0，
故，解得.
故答案为： .
【分析】求解不等式组得，根据整数解只有一个，即知其整数解为0，即可得关于a的不等式组，即得a的取值范围.
12．（2025八上·鄞州期中）如图，在△ABP中，∠B=45°，∠APB=120°， 延长BP至点C，连接AC.若PC=2PB，则∠C的度数为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，
∵∠ABP=120°
∴∠CPD=60°
∴∠DCP=30°
∴PC=2PD
∵PC=2PB
∴PD=PB
∴∠PBD=∠PDB=30°
∵∠ABP=45°
∴∠ABD=15°
∵∠BAD=∠BDP-∠ABD=30°-15°=15°
∴∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
∴AD=CD
∴∠ACD=45°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=45°+30°=75°
故答案为：75° .
【分析】过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，知PC=2PD，由此得PB=PD，由外角的性质知∠ABD=∠BAD，得AC=AD，即可得∠ACB的度数.
13．（2025八上·鄞州期中）若定义 max{a，b}是a与b中的较大者， 例如： max{1， 3}=3， max{5，5}=5， 若有y=max{x+3，-x+8}， 那么y的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意知y=max{x+3，-x+8}=，即y=，
同时，当x>时，y随x的增大而增大，当x<时，y随x的增大而减小，
当x=时，y取最小值，ymin=.
故答案为： .
【分析】根据新定义对函数进行化简，即y=，根据函数的增减性知当x=时取最小值.
14．（2025八上·鄞州期中）如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=BC=6
∵∠C+∠CAD=90°，∠AGF+∠BAD=90°
∴∠AGF=∠C
∵∠DGE=∠AGF
∴∠C=∠DGE
∵DE平分∠ADC
∴∠EDG=∠EDC
∴△DCE≌△DGE(AAS)
DG=DC=6
AD=AG+DG=2+6=8
AC=
连接BG，，即
得FG=，AF=
故答案为： .
【分析】由等腰三角形的性质知∠BAD=∠CAD，由此得∠C=∠AGF得∠C=∠DGE，可证△DCE≌△DGE，得DG=DC=6，可得AB=AC=10，连接BG，由等面积法得，由此得FG的长，由勾股定理得AF的长.
三、解答题 (本大题共4小题，共50分)
15．（2025八上·鄞州期中）（1） 解方程：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：a=1，b=-4，c=2，
x1=2- ，x2=2+
（2）解：由①得4x+1>2x-2
4x-2x>-2-1
2x>-3
x>
由②得
【知识点】公式法解一元二次方程；解特殊的不等式组
【解析】【分析】(1)确定一元二次方程的系数，利用求根公式即可得方程的根；
(2)分别求解不等式，即可得不等式组的解集.
16．（2025八上·鄞州期中）若一个不等式组A有解且解集为a（1）已知关于x的不等式组A： 以及不等式组B： - 1①A的解集中点值为　 　.
②不等式组B 对于不等式组A　 　(填“是’或“不是”)中点包含.
（2）已知关于x的不等式组( 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围.
（3）关于x的不等式组E： 和不等式组 F： 若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围.
【答案】（1）5；是
（2）解：解不等式组C得，即m-3解不等式组D得即-4不等式组D对不等式组C中点包含，得解得- 5（3）解：不等式组E的解集为2n不等式组F的解集为
不等式组F对于不等式组E中点包含，得，得n符合要求的整数m之积为120，而120=
故m的取值可为1，2，3，4，5或2，3，4，5，
得0≤n<2
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：(1)求解不等式得即4对不等式组B，-1【分析】(1)①求解不等式组A的解集即可得其中点值；②由A的中点值在B的解集中即可知是中点包含；
(2)分别求解不等式组C、D，并求出C的中点值，由此可得，即可得m的范围；
(3)分别求出E、F的解集和E的中点值，由此可得n17．（2025八上·鄞州期中）如图，在等腰锐角△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高线，E为AC边上的点，连结BE交CD于点F，设∠BCD=α。
（1）用含α的代数式表示∠A：
（2）若 CE=CF，求∠EBC 的度数；
（3）在（2）的条件下，若E为AC中点，AB=AC=2，求△ABC的面积。
【答案】（1）解：∵CD为AB边上的高线， ∠BCD=α，
∴∠ABC=90°-α，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=90°-α，
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(90°-α+90°-α)=2α；
（2）解：∵CD为AB边上的高线， ∠A=2α，
∴∠ACD=90°-2α，
∵CE=CF，
180°-90°+2α)=45°+α，
∵∠CFE是△BCF的一个外角，
∴∠CFE=∠EBC+∠BCD=∠EBC+α，
∴∠EBC+α=45°+α，
∴∠EBC =45°；
（3）过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM，如图所示：
∵AB=AC， ∠A=2α，
∴∠EAM=α，
∴∠EAM =∠BCD =α，
∵CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠CEF+∠MEA=180°，
∠CFE+∠BFC=180°，
∴∠MEA=∠BFC，
∵若E为AC中点，
∴AE=CE=CF=
在△AEM和△CFB中，
∴△AEM≌△CFB(SAS)，
∴设ME=BF =x，
∵AB= AC， AN⊥BC，
∴AN是BC的垂直平分线，
∴MC= MB，
∵∠EBC =45°，
∴∠MCB=∠EBC =45°，
即△BCM是等腰直角三角形，
∴∠BMC=90°，
即CM⊥EF，
∵CE=CF，
∴ME=MF=BF=x，
∴MC =MB=BF+MF=2x，在Rt△CME中， ME=x， CM =2x，CE=，
由勾股定理得：
∴x=1，
，
在 中， 由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；三角形的高
【解析】【分析】(1)先求出. 进而得，再根据三角形的内角和定理即可得出答案；
(2)先求出∠ACD=90°-2α， 根据CE=CF得∠CFE=∠CEF =45°+α， 再根据三角形外角性质得∠CFE=∠EBC+α， 由此可得出∠EBC的度数；
(3)过点A作AN⊥BC于点N， AN交BE于点M，连接CM， 证明△AEM和△CFB全等得设ME= BF =x， 结合 (2) 的结论证明△BCM是等腰直角三角形得∠BMC=90°，进而得ME=MF =BF =x， 则MC =MB=2x，在Rt△CME中， 由勾股定理得x = 1， 则 进而得 由此可得出△ABC的面积.
18．（2025八上·鄞州期中）如图， 已知 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， D为BC边上一点， ∠ADC-∠DAC=90°， E为三角形外一点， AE交BC于点 F， BE=BF， ∠ABC=∠EBC.
（1） 若∠BAD=70°， 求∠ADB的度数.
（2） 求证： △ABF≌△DBE.
（3）当△ADE为直角三角形时，求 的值.
（4） 若 直接写出△ADE的面积.
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，∠BAD=70°
∴∠CAD=90°-∠BAD=90°-70°=20°
∵∠ADC-∠DAC=90°
∴∠ADC=∠DAC+90°=20°+90°=110°
∵∠ADB=180°-∠ADC
∴∠ADB=180°-110°=70°
（2）证明：∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAD=90°
∴CAD=90°-∠BAD
∵∠ADC-∠DAC=90°
∴∠ADC=90°+∠DAC=90°+90°-∠BAD=180°-∠BAD
∴∠ADC=180°-∠BDA
∴∠BAD=∠BDA
∴BD=BA
又∵BE=BF，∠ABC=∠EBC
∴△ABF≌△DEB(SAS)
（3）解：设∠ABD=2α，则EBD=2α，∵由(2)知△ABF≌△DEB
∴BA=BD，∠BAF=∠BDE
∴∠AED=∠ABF=2α
∴∠BAD=∠BDA=90°-α
∵BE=BF
∴∠BEF=∠BFE=90°-α
∴∠AFD=90°-α
∴∠FAD=180°-∠AFD-∠ADF-180°-2(90°-α)=2α
∴∠DAE=∠DEA
当△ADE为直角三角形时，△ADE为等腰直角三角形，且∠ADE=90°，此时△ABC也为等腰直角三角形，
过点A作AH⊥BD于点H，如图所示，
设AB=AC=2，则AH=BH=
得BD=AB=2，DH=2-
故=
（4）解：过点A作AH⊥BD于点H，
设FH=x，则DH=x，由(2)知知△ABF≌△DEB
AF=DE=2，AB=BD=2x+1，
在△ABH和△AFH中，有，即有，
解得x1=，x2=-2(舍去)，AH=
过点E作EI⊥BC于点I，设BI=y，则IF=1-y，
在△BEI和△DEI中，有，即有，解得y=，
EI=
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【分析】(1)直角三角形的性质，结合条件可得∠ADB的度数；
(2)先根据角度关系可得∠BDA=∠BAD，结合BE=BF，∠ABC=∠EBC可证△ABF≌△DEB；
(3)设∠ABD=2α结合(2)的结论可得∠DAE=2α=∠AED，知△ADE为等腰直角三角形，设AB=2得DH=2-，由此可得面积比；
(4)作AH⊥BD于点H，设FH=x，则DH=x，由勾股定理得，求出x的值即得AH的长，同理设BI=y，可得，求出y的值，即可得EI的长，即可得△ADE的面积.
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