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湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026·湘潭模拟）设不等式的解集为，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·湘潭模拟）若直线与直线垂直，则（　　）
A． B． C．2 D．
3．（2026·湘潭模拟）现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（　　）
A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5
4．（2026·湘潭模拟）若，则（　　）
A．3 B． C． D．
5．（2026·湘潭模拟）在平行四边形中，，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026·湘潭模拟）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026·湘潭模拟）已知函数的值域是，则（　　）
A．1 B． C． D．2
8．（2026·湘潭模拟）在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（　　）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026·湘潭模拟）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（　　）
A．
B．
C．图象的对称轴方程为
D．的单调递增区间为
10．（2026·湘潭模拟）（多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026·湘潭模拟）已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（　　）
A．的焦距为
B．当轴时，与可能垂直
C．当时，，的横坐标之和的取值集合为
D．当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026·湘潭模拟）　 　．
13．（2026·湘潭模拟）若直线是曲线的一条切线，则　 　．
14．（2026·湘潭模拟）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有　 　种．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2026·湘潭模拟）设等比数列的公比，，且
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，求的值；
（3）设数列的前项和为，证明：．
16．（2026·湘潭模拟）如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（2026·湘潭模拟）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．
（1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
18．（2026·湘潭模拟）设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．
（1）若点的坐标为，求．
（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．
（ⅰ）证明：的周长为定值．
（ⅱ）证明：的离心率大于．
19．（2026·湘潭模拟）已知函数，．
（1）证明：当时，
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
（3）若，且，其中，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由，
得，，，．
故答案为：A.
【分析】先通过因式分解求解一元二次不等式，得到解集，再根据元素与集合的关系逐一判断选项。
2．【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得．
故答案为：C．
【分析】本题考查两直线垂直的斜率关系，核心是利用“两直线垂直时，其系数满足”的规律列方程求解。
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8，
这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4，
，
这组数据的第百分位数取第8个数，即为6，
这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确．
故答案为：C．
【分析】先将数据进行升序排列，再根据中位数和百分位数的定义，分别计算这组数据的中位数与第 80 百分位数，进而判断选项。
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：D.
【分析】先利用两角差的正切公式求出的值，再代入正切的二倍角公式计算。
5．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行四边形中，因为，
所以，
所以
故答案为：
【分析】利用平行四边形的向量性质，将和用与表示，再通过向量数量积的运算公式展开，结合已知条件建立与的关系。
6．【答案】A
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以．因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
则的面积，
则面积的最大值为．
故答案为：A.
【分析】先利用余弦定理求出角的余弦值与正弦值，再结合均值不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式计算面积的最大值。
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，且，所以函数的定义域为．
设，，则是直线的斜率．
点是半圆上的动点．如图，
设点，则．
设切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．
由图可知，即的值域为，
则．
故答案为：A.
【分析】利用数形结合思想，将函数解析式转化为半圆上的动点到定点的斜率，通过求切线斜率和边界点斜率确定函数值域，进而计算b a的值。
8．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，
易知为此正四棱台的高，
，则，所以，，
过点作的垂线，垂足为， 则，
，则，，
故能将正四棱台罩住的半球的最小半径．
设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，
则，解得，，故．
故答案为：D
【分析】先根据正四棱台的边长与高的关系，确定能罩住棱台的半球最小半径；再通过设外接球球心到上底面的距离，利用勾股定理建立方程求出外接球半径，最终计算的值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可得，由，得．
由，得，
因为，所以，A正确．
由A的分析可得，
令，得，
所以图象的对称轴方程为，C错误．
，B正确．
令，得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故答案为：ABD
【分析】先根据的图象特征求出、、，确定的解析式；再根据三角函数图象的伸缩、平移变换得到的解析式，最后结合余弦函数的对称轴、单调性性质逐一判断选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】A，由得，由得，
又在，上单调递增，故A正确；
B，，得，取，
则，
满足，但，
不满足的条件，故B错误；
C，得，得，
因为在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，故C正确；
D，得；得，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据同号增函数的定义，逐一分析每个选项的函数：先确定函数值正负的区间，再验证在对应区间内是否满足“且时，”，即函数在值正、值负的区间内均单调递增。
11．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A：的焦距为，A正确．
B：当轴时，，，则，
因为的两条渐近线互相垂直，所以，B错误．
C：当时，，在以为圆心，3为半径的圆上，
该圆的方程为，
由得，
整理得，解得，，
所以，的横坐标之和可能为，，，
故，的横坐标之和的取值集合为，C正确．
D：如图，设在第一象限，当直线的倾斜角为时，设直线与轴交于点，
若，则，则直线与的一条渐近线平行，从而点不存在，D错误．
故答案为：AC.
【分析】A，根据双曲线的基本性质计算焦距；
B，利用向量垂直的条件或双曲线渐近线性质判断；
C，确定 Q、R 的轨迹并联立双曲线方程，求解横坐标之和的取值；
D，结合双曲线渐近线的倾斜角分析角度存在性。
12．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】根据复数模的计算公式（），代入复数的实部和虚部求解模长。
13．【答案】e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点．
因为，
所以且，
解得，．
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，再结合切点同时在直线和曲线上的条件列方程，联立求解得到k的值。
14．【答案】1080
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．
因为，，
所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，
最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，
故填好，，，，，，共有种方法．
因此，按照要求填好该方格共有种方法．
故答案为：1080.
【分析】利用分步乘法计数原理，先确定无顺序限制的格子填法，再根据有序要求确定剩余格子的填法，最后将各步骤的方法数相乘得到总方法数。
15．【答案】（1）解：因为，所以．
又，所以．
（2）解：因为，，成等差数列，所以，
所以．
因为，，所以，解得．
（3）证明：因为，所以，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1) 结合等比数列的通项性质，利用与的公比平方关系，求解公比的值。
(2) 结合等差数列的中项性质，建立、、的等式，代入等比数列通项公式化简，求解的值。
(3) 先由等比数列的通项公式求出的首项和公比，再利用等比数列前项和公式求出，通过放缩法证明不等式。
（1）因为，所以．
又，所以．
（2）因为，，成等差数列，所以，
所以．
因为，，所以，解得．
（3）因为，所以，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
16．【答案】（1）证明：由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，
平面，得，而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）得，而平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由平面，得直线与平面所成的角为，且，则，
而，则，，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 证明面面垂直需先证线面垂直，利用等腰直角三角形的垂直关系和线面垂直的判定定理，推出平面，再由面面垂直的判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，先由线面角求出的长度，再求平面的法向量，利用线面角的向量公式求解正弦值。
（1）由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，
平面，得，而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得，而平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由平面，得直线与平面所成的角为，且，则，
而，则，，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，
所以，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）解：设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件，
则．
由（1）知，又因为，，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）解：的所有可能取值为，60，．
，
，
，
则．
因为，所以该工厂不会停止生产该零件．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】(1) 不合格品被误判为合格品，需检测 3 次中 “合格” 次数多于 “不合格” 次数（即 2 次或 3 次 “合格”），结合独立重复试验的概率公式计算；
(2) 用全概率公式，结合合格品、不合格品的占比，分别计算两类零件被判定为合格品的概率再求和；
(3) 先确定利润X的所有可能取值，求出对应概率和数学期望，与 25 比较判断是否停产。
（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，
所以，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件，
则．
由（1）知，又因为，，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）的所有可能取值为，60，．
，
，
，
则．
因为，所以该工厂不会停止生产该零件．
18．【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，
．
（2）证明：（i）设，，，则，
由题意知，，，
经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．
又的焦点均在轴上，在轴上，即．
设的长半轴长为，则．
设的左焦点为，则，
则的周长．
，且，
，故的周长为定值．
（ⅱ）设的焦距为，离心率为，则．
由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点，
则．
由在轴正半轴上可知，则，
．
设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得，代入与，化简得，解得．
点在第一象限且为的右顶点，，即．
由知，，则．
要证，只需证，即证，即证，
的离心率大于．
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1) 先将点A坐标代入抛物线方程求出，确定抛物线的焦点F和准线方程，进而得到点H的坐标，再用两点间距离公式计算。
(2) (i) 结合抛物线的定义（抛物线上点到焦点与准线的距离相等）和椭圆的定义（椭圆上点到两焦点的距离和为长轴长），推导的周长表达式，证明其为定值。
(ii) 设出点A的坐标，结合椭圆的离心率公式，利用点A在第一象限的条件构造不等式，证明离心率大于。
（1）将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，
．
（2）证明：（i）设，，，则，
由题意知，，，
经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．
又的焦点均在轴上，在轴上，即．
设的长半轴长为，则．
设的左焦点为，则，
则的周长．
，且，
，故的周长为定值．
（ⅱ）设的焦距为，离心率为，则．
由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点，
则．
由在轴正半轴上可知，则，
．
设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得，代入与，化简得，解得．
点在第一象限且为的右顶点，，即．
由知，，则．
要证，只需证，即证，即证，
的离心率大于，得证．
19．【答案】（1）证明：因，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故当时，．
（2）解：的定义域为，则，
记，则，则．
①若，即，则
令，则，所以在上单调递增，
当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意；
②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增．
又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意；
③若，即，同理可得，存在，使得当时，，
则在上单调递减．又，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极大值点．
综上所述，的取值范围是．
（3）证明：由（1）知，当时，．
令，则，再令，
则．
令，，则．
所以．
由，得．
要证，只需证．
因为在上单调递减，所以只需证．
令，则，令，则，
易知在上单调递减．又，，
所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减．
又，且在上单调递增，故在上大于0.
而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得.
则在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以恒成立，
所以，则，所以．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对求导分析单调性，结合单调性证明时；
(2) 对两次求导，根据是极大值点的条件，分情况讨论的符号，确定的取值范围；
(3) 利用(1)的结论进行变量代换，结合三角函数的单调性和放缩法证明不等式。
（1）因，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故当时，．
（2）的定义域为，则，
记，则，则．
①若，即，则
令，则，所以在上单调递增，
当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意；
②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增．
又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意；
③若，即，同理可得，存在，使得当时，，
则在上单调递减．又，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极大值点．
综上所述，的取值范围是．
（3）由（1）知，当时，．
令，则，再令，
则．
令，，则．
所以．
由，得．
要证，只需证．
因为在上单调递减，所以只需证．
令，则，令，则，
易知在上单调递减．又，，
所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减．
又，且在上单调递增，故在上大于0.
而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得.
则在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以恒成立，
所以，则，所以．
1 / 1湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026·湘潭模拟）设不等式的解集为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由，
得，，，．
故答案为：A.
【分析】先通过因式分解求解一元二次不等式，得到解集，再根据元素与集合的关系逐一判断选项。
2．（2026·湘潭模拟）若直线与直线垂直，则（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线垂直，
所以，解得．
故答案为：C．
【分析】本题考查两直线垂直的斜率关系，核心是利用“两直线垂直时，其系数满足”的规律列方程求解。
3．（2026·湘潭模拟）现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（　　）
A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8，
这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4，
，
这组数据的第百分位数取第8个数，即为6，
这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确．
故答案为：C．
【分析】先将数据进行升序排列，再根据中位数和百分位数的定义，分别计算这组数据的中位数与第 80 百分位数，进而判断选项。
4．（2026·湘潭模拟）若，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，
所以．
故答案为：D.
【分析】先利用两角差的正切公式求出的值，再代入正切的二倍角公式计算。
5．（2026·湘潭模拟）在平行四边形中，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：在平行四边形中，因为，
所以，
所以
故答案为：
【分析】利用平行四边形的向量性质，将和用与表示，再通过向量数量积的运算公式展开，结合已知条件建立与的关系。
6．（2026·湘潭模拟）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以．因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
则的面积，
则面积的最大值为．
故答案为：A.
【分析】先利用余弦定理求出角的余弦值与正弦值，再结合均值不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式计算面积的最大值。
7．（2026·湘潭模拟）已知函数的值域是，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为，且，所以函数的定义域为．
设，，则是直线的斜率．
点是半圆上的动点．如图，
设点，则．
设切线的方程为，即．
由圆心到切线的距离，解得（舍去）或．
由图可知，即的值域为，
则．
故答案为：A.
【分析】利用数形结合思想，将函数解析式转化为半圆上的动点到定点的斜率，通过求切线斜率和边界点斜率确定函数值域，进而计算b a的值。
8．（2026·湘潭模拟）在正四棱台中，，且，记能将正四棱台罩住的半球的最小半径为，正四棱台外接球的半径为，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，连接，，它们的中点分别记为，，连接，，
易知为此正四棱台的高，
，则，所以，，
过点作的垂线，垂足为， 则，
，则，，
故能将正四棱台罩住的半球的最小半径．
设该正四棱台外接球的球心到平面的距离为，
则，解得，，故．
故答案为：D
【分析】先根据正四棱台的边长与高的关系，确定能罩住棱台的半球最小半径；再通过设外接球球心到上底面的距离，利用勾股定理建立方程求出外接球半径，最终计算的值。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026·湘潭模拟）已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后，再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（　　）
A．
B．
C．图象的对称轴方程为
D．的单调递增区间为
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可得，由，得．
由，得，
因为，所以，A正确．
由A的分析可得，
令，得，
所以图象的对称轴方程为，C错误．
，B正确．
令，得，
所以的单调递增区间为，D正确．
故答案为：ABD
【分析】先根据的图象特征求出、、，确定的解析式；再根据三角函数图象的伸缩、平移变换得到的解析式，最后结合余弦函数的对称轴、单调性性质逐一判断选项。
10．（2026·湘潭模拟）（多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】A，由得，由得，
又在，上单调递增，故A正确；
B，，得，取，
则，
满足，但，
不满足的条件，故B错误；
C，得，得，
因为在上单调递增，且，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，故C正确；
D，得；得，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据同号增函数的定义，逐一分析每个选项的函数：先确定函数值正负的区间，再验证在对应区间内是否满足“且时，”，即函数在值正、值负的区间内均单调递增。
11．（2026·湘潭模拟）已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（　　）
A．的焦距为
B．当轴时，与可能垂直
C．当时，，的横坐标之和的取值集合为
D．当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A：的焦距为，A正确．
B：当轴时，，，则，
因为的两条渐近线互相垂直，所以，B错误．
C：当时，，在以为圆心，3为半径的圆上，
该圆的方程为，
由得，
整理得，解得，，
所以，的横坐标之和可能为，，，
故，的横坐标之和的取值集合为，C正确．
D：如图，设在第一象限，当直线的倾斜角为时，设直线与轴交于点，
若，则，则直线与的一条渐近线平行，从而点不存在，D错误．
故答案为：AC.
【分析】A，根据双曲线的基本性质计算焦距；
B，利用向量垂直的条件或双曲线渐近线性质判断；
C，确定 Q、R 的轨迹并联立双曲线方程，求解横坐标之和的取值；
D，结合双曲线渐近线的倾斜角分析角度存在性。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026·湘潭模拟）　 　．
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：
【分析】根据复数模的计算公式（），代入复数的实部和虚部求解模长。
13．（2026·湘潭模拟）若直线是曲线的一条切线，则　 　．
【答案】e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与曲线相切于点．
因为，
所以且，
解得，．
故答案为：.
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，再结合切点同时在直线和曲线上的条件列方程，联立求解得到k的值。
14．（2026·湘潭模拟）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有　 　种．（用数字作答）
【答案】1080
【知识点】分步乘法计数原理；基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法．
因为，，
所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置，
再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置，
最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置，
故填好，，，，，，共有种方法．
因此，按照要求填好该方格共有种方法．
故答案为：1080.
【分析】利用分步乘法计数原理，先确定无顺序限制的格子填法，再根据有序要求确定剩余格子的填法，最后将各步骤的方法数相乘得到总方法数。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2026·湘潭模拟）设等比数列的公比，，且
（1）求的值；
（2）若，，成等差数列，求的值；
（3）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）解：因为，所以．
又，所以．
（2）解：因为，，成等差数列，所以，
所以．
因为，，所以，解得．
（3）证明：因为，所以，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1) 结合等比数列的通项性质，利用与的公比平方关系，求解公比的值。
(2) 结合等差数列的中项性质，建立、、的等式，代入等比数列通项公式化简，求解的值。
(3) 先由等比数列的通项公式求出的首项和公比，再利用等比数列前项和公式求出，通过放缩法证明不等式。
（1）因为，所以．
又，所以．
（2）因为，，成等差数列，所以，
所以．
因为，，所以，解得．
（3）因为，所以，，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
16．（2026·湘潭模拟）如图，在四棱锥中，平面，，是以为斜边的等腰直角三角形．
（1）证明：平面平面．
（2）若，，且直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，
平面，得，而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）得，而平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由平面，得直线与平面所成的角为，且，则，
而，则，，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 证明面面垂直需先证线面垂直，利用等腰直角三角形的垂直关系和线面垂直的判定定理，推出平面，再由面面垂直的判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，先由线面角求出的长度，再求平面的法向量，利用线面角的向量公式求解正弦值。
（1）由是以为斜边的等腰直角三角形，得，由平面，
平面，得，而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）得，而平面，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由平面，得直线与平面所成的角为，且，则，
而，则，，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2026·湘潭模拟）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%．
（1）若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率．
（2）若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率．
（3）已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由．
【答案】（1）解：设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，
所以，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）解：设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件，
则．
由（1）知，又因为，，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）解：的所有可能取值为，60，．
，
，
，
则．
因为，所以该工厂不会停止生产该零件．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式
【解析】【分析】(1) 不合格品被误判为合格品，需检测 3 次中 “合格” 次数多于 “不合格” 次数（即 2 次或 3 次 “合格”），结合独立重复试验的概率公式计算；
(2) 用全概率公式，结合合格品、不合格品的占比，分别计算两类零件被判定为合格品的概率再求和；
(3) 先确定利润X的所有可能取值，求出对应概率和数学期望，与 25 比较判断是否停产。
（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中，
“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，
所以，
所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028.
（2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件，
被检测的零件最终被判定为合格品是事件，
则．
由（1）知，又因为，，
所以由全概率公式得
，
故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224.
（3）的所有可能取值为，60，．
，
，
，
则．
因为，所以该工厂不会停止生产该零件．
18．（2026·湘潭模拟）设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为．
（1）若点的坐标为，求．
（2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧．
（ⅰ）证明：的周长为定值．
（ⅱ）证明：的离心率大于．
【答案】（1）解：将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，
．
（2）证明：（i）设，，，则，
由题意知，，，
经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．
又的焦点均在轴上，在轴上，即．
设的长半轴长为，则．
设的左焦点为，则，
则的周长．
，且，
，故的周长为定值．
（ⅱ）设的焦距为，离心率为，则．
由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点，
则．
由在轴正半轴上可知，则，
．
设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得，代入与，化简得，解得．
点在第一象限且为的右顶点，，即．
由知，，则．
要证，只需证，即证，即证，
的离心率大于．
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【分析】(1) 先将点A坐标代入抛物线方程求出，确定抛物线的焦点F和准线方程，进而得到点H的坐标，再用两点间距离公式计算。
(2) (i) 结合抛物线的定义（抛物线上点到焦点与准线的距离相等）和椭圆的定义（椭圆上点到两焦点的距离和为长轴长），推导的周长表达式，证明其为定值。
(ii) 设出点A的坐标，结合椭圆的离心率公式，利用点A在第一象限的条件构造不等式，证明离心率大于。
（1）将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的方程为，故，准线的方程为，则，
．
（2）证明：（i）设，，，则，
由题意知，，，
经过，两点，且这两个点的纵坐标相同，
由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标．
又的焦点均在轴上，在轴上，即．
设的长半轴长为，则．
设的左焦点为，则，
则的周长．
，且，
，故的周长为定值．
（ⅱ）设的焦距为，离心率为，则．
由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点，
则．
由在轴正半轴上可知，则，
．
设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程，
并结合，得，
整理得，代入与，化简得，解得．
点在第一象限且为的右顶点，，即．
由知，，则．
要证，只需证，即证，即证，
的离心率大于，得证．
19．（2026·湘潭模拟）已知函数，．
（1）证明：当时，
（2）若是的极大值点，求的取值范围．
（3）若，且，其中，证明：．
【答案】（1）证明：因，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故当时，．
（2）解：的定义域为，则，
记，则，则．
①若，即，则
令，则，所以在上单调递增，
当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意；
②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增．
又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意；
③若，即，同理可得，存在，使得当时，，
则在上单调递减．又，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极大值点．
综上所述，的取值范围是．
（3）证明：由（1）知，当时，．
令，则，再令，
则．
令，，则．
所以．
由，得．
要证，只需证．
因为在上单调递减，所以只需证．
令，则，令，则，
易知在上单调递减．又，，
所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减．
又，且在上单调递增，故在上大于0.
而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得.
则在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以恒成立，
所以，则，所以．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 对求导分析单调性，结合单调性证明时；
(2) 对两次求导，根据是极大值点的条件，分情况讨论的符号，确定的取值范围；
(3) 利用(1)的结论进行变量代换，结合三角函数的单调性和放缩法证明不等式。
（1）因，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故当时，．
（2）的定义域为，则，
记，则，则．
①若，即，则
令，则，所以在上单调递增，
当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意；
②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增．
又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意；
③若，即，同理可得，存在，使得当时，，
则在上单调递减．又，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以是的极大值点．
综上所述，的取值范围是．
（3）由（1）知，当时，．
令，则，再令，
则．
令，，则．
所以．
由，得．
要证，只需证．
因为在上单调递减，所以只需证．
令，则，令，则，
易知在上单调递减．又，，
所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减．
又，且在上单调递增，故在上大于0.
而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得.
则在上单调递增，在上单调递减．
又，，所以恒成立，
所以，则，所以．
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