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河北省盐山中学2026届高三一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026·盐山模拟）已知集合，则中的元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·盐山模拟）已知，则（　　）
A．1 B． C．0 D．5
3．（2026·盐山模拟）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·盐山模拟）已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·盐山模拟）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（　　）
A．12 B． C．16 D．
6．（2026·盐山模拟）若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026·盐山模拟）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026·盐山模拟）在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·盐山模拟）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（　　）
A．
B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人
C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85
D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75
10．（2026·盐山模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（　　）
A．以为直径的圆与相切 B．为锐角三角形
C．三点共线 D．
11．（2026·盐山模拟）已知函数与，则（　　）
A．当时，曲线的图象在处的切线方程为
B．若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为
C．若时，，则的取值范围为
D．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·盐山模拟）已知等差数列的前项和为，，则　 　．
13．（2026·盐山模拟）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为　 　．
14．（2026·盐山模拟）已知的内角所对的边分别为，满足．
（1）当时，的取值范围是　 　．
（2）当取得最小值时，　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·盐山模拟）已知数列满足．
（1）证明：存在非零实数，使得数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
16．（2026·盐山模拟）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形．
（1）若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
17．（2026·盐山模拟）某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月
月份代码 1 2 3 4 5 6
销量千辆 6 7 10 11 12 14
（1）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；
（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程，其中，．
参考数据：．
18．（2026·盐山模拟）已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6．
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）．
（i）求的面积的取值范围；
（ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
19．（2026·盐山模拟）已知函数．
（1）讨论的零点个数；
（2）当时，证明：；
（3）若，求的取值集合．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式，解得，
所以，
又，
可得，即中元素的个数为3.
故答案为：C
【分析】先通过解一元一次不等式化简集合B（结合整数条件确定元素），再根据交集的定义找出集合A与B的公共元素，统计元素个数。
2．【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
所以.
故答案为：A
【分析】利用复数乘法的运算法则展开左边式子，结合复数相等的定义（实部与实部相等，虚部与虚部相等）列方程组，进而求解x、y的值并计算x y。
3．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因函数的最小正周期为，则
即得，
由，可得：，
即函数的对称中心为(*)，
当时，，得对称中心为，故正确；
经检验其它选项均不符合(*)式.
故答案为：
【分析】先根据正切函数的周期公式求出ω的值，再结合正切函数的对称中心性质，求出函数f(x)的对称中心表达式，最后代入整数k验证选项。
4．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，
即，
，
所以．
故答案为：C．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值（0 和 1）分别判断a、b、c的取值范围，进而比较三者的大小关系。
5．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由于正六边形的边长为1，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量的数量积运算，核心是通过建立平面直角坐标系确定向量的坐标，再利用数量积的坐标运算公式求解。
6．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，且其对称轴为，
所以函数的图象关于直线即轴对称，所以函数为偶函数.
又在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，且.
所以当或时，；当时，.
又或，
解得或.
所以所求不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】先根据函数图象的平移与对称性分析f(x)的奇偶性，结合单调性确定f(x)的正负区间，再将不等式(x 1)f(x 2)≥0拆分为不等式组求解。
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为为双曲线的右顶点，
所以，且双曲线的渐近线方程为，
设过点且斜率为的直线方程为，
又直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限），
所以联立直线与，可得，
解方程得，即，
同理，联立直线与，可得，
解方程得，即，
设点，所以，，，
又因为点满足，
所以，
对横坐标求和，得，解得，
对纵坐标求和，得，解得，即，
又，所以，
又，即，
化简整理得，即或者，
当时，即，即，
又，所以，即，所以，所以，
当时，即，即，不成立，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：B
【分析】先根据双曲线的基本性质写出顶点坐标和渐近线方程，联立直线方程求出、坐标，再利用向量关系得到点坐标，最后通过两点间距离公式建立、的等式，结合离心率公式（）求解离心率。
8．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：过点作，由，得，
又，，平面，
所以平面，过点作平面，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则，
，
由得，
解得，则，
取的中点，则，
由题意知三棱锥外接球的球心位于过点且与平行的直线上，
设，则，
由，得，解得，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以该球的表面积为，
故答案为：C
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法确定三棱锥外接球的球心坐标与半径，再根据球的表面积公式计算表面积。
9．【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，由题可得，故A正确；
B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，
则对应人数为：，故B正确；
C，前3个矩形面积之和为：，前4个矩形面积之和为：，则分位数在到90之间，设为，
则，故C正确；
D，平均数为：
，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】A：利用频率分布直方图中所有矩形面积和为1求解a；
B：计算70分以下的频率并估算总体人数；
C：根据百分位数的计算方法，通过累计频率确定80%分位数所在区间并求解；
D：利用组中值乘以对应频率求和计算平均数，进而判断各选项正误。
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故A正确；
B，连接，如图，
因为，，
所以，所以，
所以即，故B错误；
C，抛物线的焦点为，
设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又，
因为，，
所以，所以，，三点共线，故C正确；
D，，，
则，得，
因为，所以，等号成立时，，
故，故D正确．
故答案为：ACD
【分析】A：利用抛物线的定义（抛物线上点到焦点与准线距离相等）判断A；
B：结合抛物线性质与角度关系分析△AFB的形状判断选B；
C：通过设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和向量共线条件判断选C；
D：借助抛物线定义与基本不等式求解的取值范围判断选D。
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】A，当时，，则，所以，
又，则曲线的图象在处的切线方程为，即，故A正确；
B，设切点为，因为，则，所以切线方程为，
切线过点，代入得，即方程在有两个解，
设，则，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，则，故B错误；
C，由题可知，，所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故C正确；
D，设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点，
所以的方程为，整理得，
同理，整理得，
依题意两条直线重合，可得，消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以有极小值为，有极大值为，
因为，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图：
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A，利用导数的几何意义求切线斜率与切点，进而写出切线方程；
B，设切点并写出切线方程，将点代入后转化为函数零点问题，结合单调性求参数范围；
C，将不等式变形后构造函数，通过求导分析函数最值确定参数范围；
D，设公切线切点，结合导数几何意义建立等式，转化为函数交点问题，通过求导分析函数极值确定参数范围。
12．【答案】31
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：，
故.
故答案为：31
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入已知条件列方程组求解首项和公差，再代入通项公式求。
13．【答案】
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：
圆，即，
所以圆心，半径，
设，，
由，得，
，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分，
，所以圆与圆相交，
由两式相减并化简得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆（右半圆），
所以轨迹长度为.
故答案为：
【分析】先将圆C的方程化为标准形式，确定圆心和半径；再利用圆的几何性质（弦的中点与圆心的连线垂直于弦）建立点P的坐标关系，得到其轨迹方程，最后结合两圆的位置关系确定轨迹的形状，进而计算轨迹长度。
14．【答案】；
【知识点】积化和差公式；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】（1）解：已知，
由正弦定理化简得，
所以，
当时，，故，有，
则有
，
因，故，从而，
代入m的表达式得，
当且仅当时取等号，故m的取值范围为；
（2）解：对固定的角A，
，
当且仅当时取等号，此时m最小，
设，则，，
故，
令，由万能公式得，
代入化简得 ，
当且仅当即时取等号，
此时.
故答案为：；
【分析】(1) 先利用正弦定理将已知等式化简为，当时，结合三角形内角和得到，将化简为三角函数形式，确定其取值范围后，代入的表达式求取值范围。
(2) 利用积化和差公式得（当且仅当时取等号），代入的表达式后用换元法结合基本不等式求最小值，再利用三角恒等变换求。
15．【答案】（1）证明：因为．
所以，
若数列是等比数列，又，则，解得．
此时．
由，得，
所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得，所以，
即数列为等差数列，且公差为2，所以，
即．则，
，
所以
，
所以．
【知识点】等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 要证明存在非零实数使为等比数列，需根据等比数列定义，将递推式变形为的形式，通过对比系数求解和公比。
(2) 先由(1)的等比数列求出的通项公式，再利用错位相减法求前项和，核心是处理等差与等比结合的数列求和。
（1）因为．
所以，
若数列是等比数列，又，则，解得．
此时．
由，得，
所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，所以，
即数列为等差数列，且公差为2，所以，
即．则，
，
所以
，
所以．
16．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由已知，四点共面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：令，
取的中点为，连接，过作，且交于，
因为，平面，所以平面，
因为是正三角形，，所以．
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
即或28．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 证明线面平行需先证线线平行，利用面面平行的性质或线面平行的传递性，结合、面面相交的交线规律推出，再由线面平行判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，用向量法求线面角：先写出各点坐标，求出平面的法向量，再利用线面角的正弦值公式列方程，求解的长度。
（1）因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由已知，四点共面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）令，
取的中点为，连接，过作，且交于，
因为，平面，所以平面，
因为是正三角形，，所以．
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
即或28．
17．【答案】（1）解：由题意得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆．
（2）（Ⅰ）解：设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件，
所以，
设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件，
则．
（Ⅱ）解：设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此，
调整后年利润为万元，
令，解得，
所以最多可以调28人到其他部门．
【知识点】线性回归方程；相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据经验回归方程的公式计算斜率和截距，得到回归方程；再确定2026年3月对应的月份代码，代入方程估算销量。
(2)(Ⅰ) 先求单个员工能使用人工智能工具的概率（至少两期“优秀”），再利用独立事件概率公式，计算甲乙中恰好一人能使用的概率。
(2)(Ⅱ) 设调走人数为，根据利润不低于调整前的条件列不等式，求解的最大值。
（1）由题意得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆．
（2）（Ⅰ）设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件，
所以，
设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件，
则．
（Ⅱ）设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此，
调整后年利润为万元，
令，解得，
所以最多可以调28人到其他部门．
18．【答案】（1）解：设的焦距为，由题意可知，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）解：由（1）得，设，
由题得直线的斜率不为零，设，由，得，
所以，，
则，
令，则，
因为在上单调递增，所以，
所以的面积的取值范围为；
（ii）证明：由题意可得直线的斜率均存在且均不为0，
由直线和，得，即，同理，
易得以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
，
故以为直径的圆的方程为，
令，得，
故以为直径的圆恒过定点和．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据椭圆的基本性质，由焦距和长轴长求出a、b，进而得到椭圆方程；
(2)(i) 设直线方程并联立椭圆，利用韦达定理表示出弦长相关的面积表达式，结合基本不等式求取值范围；
(ii) 求出P、Q坐标，写出以PQ为直径的圆的方程，通过整理方程确定恒过的定点。
（1）设的焦距为，
由题意可知，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）由（1）得，设，
由题得直线的斜率不为零，设，由，得，
所以，，
则，
令，则，
因为在上单调递增，所以，
所以的面积的取值范围为；
（ii）由题意可得直线的斜率均存在且均不为0，
由直线和，得，即，同理，
易得以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
，
故以为直径的圆的方程为，
令，得，
故以为直径的圆恒过定点和．
19．【答案】（1）解：由，得，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，无零点；当时，有一个零点；
（2）证明：当时，，则，
易知在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得．
当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，即，
所以，
又，所以，
所以．
（3）解：由，得，
设，
则，令，
则，
①当时，
当时，，所以，
当时，．
则在上单调递增，所以，
所以为在上的唯一极小值点，
则，所以时，恒成立；
②当时，
当时，，有，
当时，，有.
又，所以，
即在上单调递增．
注意到，
又，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不符合题意；
③当时，同②有为增函数，
当时，．则，
又因为，所以存在，使得，
当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；
④当时，
当时，，有，
当时，，有，
又，所以，在上单调递增，
又因为，所以当时，，不符合题意．
综上所述，的取值集合为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求导函数，将零点问题转化为的解的个数，通过研究函数的单调性和值域分析零点数；
(2) 时，利用的单调性找到极值点，证明的最小值；
(3) 构造，分、、、四种情况，结合多次求导和放缩法分析的条件。
（1）由，得，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，无零点；当时，有一个零点；
（2）当时，，则，
易知在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得．
当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，即，
所以，
又，所以，
所以．
（3）由，得，
设，
则，令，
则，
①当时，
当时，，所以，
当时，．
则在上单调递增，所以，
所以为在上的唯一极小值点，
则，所以时，恒成立；
②当时，
当时，，有，
当时，，有.
又，所以，
即在上单调递增．
注意到，
又，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不符合题意；
③当时，同②有为增函数，
当时，．则，
又因为，所以存在，使得，
当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；
④当时，
当时，，有，
当时，，有，
又，所以，在上单调递增，
又因为，所以当时，，不符合题意．
综上所述，的取值集合为．
1 / 1河北省盐山中学2026届高三一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026·盐山模拟）已知集合，则中的元素的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：不等式，解得，
所以，
又，
可得，即中元素的个数为3.
故答案为：C
【分析】先通过解一元一次不等式化简集合B（结合整数条件确定元素），再根据交集的定义找出集合A与B的公共元素，统计元素个数。
2．（2026·盐山模拟）已知，则（　　）
A．1 B． C．0 D．5
【答案】A
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
所以.
故答案为：A
【分析】利用复数乘法的运算法则展开左边式子，结合复数相等的定义（实部与实部相等，虚部与虚部相等）列方程组，进而求解x、y的值并计算x y。
3．（2026·盐山模拟）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因函数的最小正周期为，则
即得，
由，可得：，
即函数的对称中心为(*)，
当时，，得对称中心为，故正确；
经检验其它选项均不符合(*)式.
故答案为：
【分析】先根据正切函数的周期公式求出ω的值，再结合正切函数的对称中心性质，求出函数f(x)的对称中心表达式，最后代入整数k验证选项。
4．（2026·盐山模拟）已知，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：由题意得，，
即，
，
所以．
故答案为：C．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值（0 和 1）分别判断a、b、c的取值范围，进而比较三者的大小关系。
5．（2026·盐山模拟）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（　　）
A．12 B． C．16 D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
由于正六边形的边长为1，
所以，，
所以，
所以，
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量的数量积运算，核心是通过建立平面直角坐标系确定向量的坐标，再利用数量积的坐标运算公式求解。
6．（2026·盐山模拟）若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，且其对称轴为，
所以函数的图象关于直线即轴对称，所以函数为偶函数.
又在上单调递增，且，
所以函数在上单调递减，且.
所以当或时，；当时，.
又或，
解得或.
所以所求不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】先根据函数图象的平移与对称性分析f(x)的奇偶性，结合单调性确定f(x)的正负区间，再将不等式(x 1)f(x 2)≥0拆分为不等式组求解。
7．（2026·盐山模拟）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为的直线与的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限）．若为坐标原点，点满足，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为为双曲线的右顶点，
所以，且双曲线的渐近线方程为，
设过点且斜率为的直线方程为，
又直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点（其中点在第一象限），
所以联立直线与，可得，
解方程得，即，
同理，联立直线与，可得，
解方程得，即，
设点，所以，，，
又因为点满足，
所以，
对横坐标求和，得，解得，
对纵坐标求和，得，解得，即，
又，所以，
又，即，
化简整理得，即或者，
当时，即，即，
又，所以，即，所以，所以，
当时，即，即，不成立，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：B
【分析】先根据双曲线的基本性质写出顶点坐标和渐近线方程，联立直线方程求出、坐标，再利用向量关系得到点坐标，最后通过两点间距离公式建立、的等式，结合离心率公式（）求解离心率。
8．（2026·盐山模拟）在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：过点作，由，得，
又，，平面，
所以平面，过点作平面，
分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，则，
，
由得，
解得，则，
取的中点，则，
由题意知三棱锥外接球的球心位于过点且与平行的直线上，
设，则，
由，得，解得，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以该球的表面积为，
故答案为：C
【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法确定三棱锥外接球的球心坐标与半径，再根据球的表面积公式计算表面积。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026·盐山模拟）某科研单位对Deepseek的使用情况进行满意度问卷调查，在1000名用户的问卷（用户打分都在50分到100分之间）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，则（同一组数据用该组区间的中点值为代表）（　　）
A．
B．由样本数据可估计1000名用户中打分在70分以下的有350人
C．估计这1000名用户问卷的得分的分位数为85
D．估计这1000名用户问卷的得分的平均数为75
【答案】A,B,C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，由题可得，故A正确；
B，由A分析，打分在分以下对应频率为：，
则对应人数为：，故B正确；
C，前3个矩形面积之和为：，前4个矩形面积之和为：，则分位数在到90之间，设为，
则，故C正确；
D，平均数为：
，故D错误.
故答案为：ABC
【分析】A：利用频率分布直方图中所有矩形面积和为1求解a；
B：计算70分以下的频率并估算总体人数；
C：根据百分位数的计算方法，通过累计频率确定80%分位数所在区间并求解；
D：利用组中值乘以对应频率求和计算平均数，进而判断各选项正误。
10．（2026·盐山模拟）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，分别过点作的垂线，垂足分别为，则（　　）
A．以为直径的圆与相切 B．为锐角三角形
C．三点共线 D．
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A，设，则，
所以线段的中点到准线的距离为，
所以以线段为直径的圆与准线相切，故A正确；
B，连接，如图，
因为，，
所以，所以，
所以即，故B错误；
C，抛物线的焦点为，
设直线，，
将直线方程代入抛物线方程化简得，，则，
又，
因为，，
所以，所以，，三点共线，故C正确；
D，，，
则，得，
因为，所以，等号成立时，，
故，故D正确．
故答案为：ACD
【分析】A：利用抛物线的定义（抛物线上点到焦点与准线距离相等）判断A；
B：结合抛物线性质与角度关系分析△AFB的形状判断选B；
C：通过设直线方程联立抛物线，利用韦达定理和向量共线条件判断选C；
D：借助抛物线定义与基本不等式求解的取值范围判断选D。
11．（2026·盐山模拟）已知函数与，则（　　）
A．当时，曲线的图象在处的切线方程为
B．若过点可作曲线的两条切线，则的取值范围为
C．若时，，则的取值范围为
D．若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】A，当时，，则，所以，
又，则曲线的图象在处的切线方程为，即，故A正确；
B，设切点为，因为，则，所以切线方程为，
切线过点，代入得，即方程在有两个解，
设，则，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，，则，故B错误；
C，由题可知，，所以，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故C正确；
D，设公切线为，是与曲线的切点，是与曲线的切点，
所以的方程为，整理得，
同理，整理得，
依题意两条直线重合，可得，消去，得，
由题意此方程有三个不等实根，设，即直线与曲线有三个不同的交点，
因为，令，则，当或时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以有极小值为，有极大值为，
因为，所以，当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
故的图象简单表示为下图：
所以当，即时，直线与曲线有三个交点，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A，利用导数的几何意义求切线斜率与切点，进而写出切线方程；
B，设切点并写出切线方程，将点代入后转化为函数零点问题，结合单调性求参数范围；
C，将不等式变形后构造函数，通过求导分析函数最值确定参数范围；
D，设公切线切点，结合导数几何意义建立等式，转化为函数交点问题，通过求导分析函数极值确定参数范围。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026·盐山模拟）已知等差数列的前项和为，，则　 　．
【答案】31
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：，
故.
故答案为：31
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式，代入已知条件列方程组求解首项和公差，再代入通项公式求。
13．（2026·盐山模拟）已知过原点的直线与圆交于两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为　 　．
【答案】
【知识点】轨迹方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：
圆，即，
所以圆心，半径，
设，，
由，得，
，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，在圆内部的部分，
，所以圆与圆相交，
由两式相减并化简得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆（右半圆），
所以轨迹长度为.
故答案为：
【分析】先将圆C的方程化为标准形式，确定圆心和半径；再利用圆的几何性质（弦的中点与圆心的连线垂直于弦）建立点P的坐标关系，得到其轨迹方程，最后结合两圆的位置关系确定轨迹的形状，进而计算轨迹长度。
14．（2026·盐山模拟）已知的内角所对的边分别为，满足．
（1）当时，的取值范围是　 　．
（2）当取得最小值时，　 　．
【答案】；
【知识点】积化和差公式；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】（1）解：已知，
由正弦定理化简得，
所以，
当时，，故，有，
则有
，
因，故，从而，
代入m的表达式得，
当且仅当时取等号，故m的取值范围为；
（2）解：对固定的角A，
，
当且仅当时取等号，此时m最小，
设，则，，
故，
令，由万能公式得，
代入化简得 ，
当且仅当即时取等号，
此时.
故答案为：；
【分析】(1) 先利用正弦定理将已知等式化简为，当时，结合三角形内角和得到，将化简为三角函数形式，确定其取值范围后，代入的表达式求取值范围。
(2) 利用积化和差公式得（当且仅当时取等号），代入的表达式后用换元法结合基本不等式求最小值，再利用三角恒等变换求。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2026·盐山模拟）已知数列满足．
（1）证明：存在非零实数，使得数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明：因为．
所以，
若数列是等比数列，又，则，解得．
此时．
由，得，
所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得，所以，
即数列为等差数列，且公差为2，所以，
即．则，
，
所以
，
所以．
【知识点】等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 要证明存在非零实数使为等比数列，需根据等比数列定义，将递推式变形为的形式，通过对比系数求解和公比。
(2) 先由(1)的等比数列求出的通项公式，再利用错位相减法求前项和，核心是处理等差与等比结合的数列求和。
（1）因为．
所以，
若数列是等比数列，又，则，解得．
此时．
由，得，
所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列．
（2）由（1）得，所以，
即数列为等差数列，且公差为2，所以，
即．则，
，
所以
，
所以．
16．（2026·盐山模拟）如图所示，在四棱锥中，平面，平面，是等边三角形．
（1）若为棱上一点，直线与平面交于点，证明：平面；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由已知，四点共面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）解：令，
取的中点为，连接，过作，且交于，
因为，平面，所以平面，
因为是正三角形，，所以．
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
即或28．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 证明线面平行需先证线线平行，利用面面平行的性质或线面平行的传递性，结合、面面相交的交线规律推出，再由线面平行判定定理得证。
(2) 建立空间直角坐标系，用向量法求线面角：先写出各点坐标，求出平面的法向量，再利用线面角的正弦值公式列方程，求解的长度。
（1）因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由已知，四点共面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）令，
取的中点为，连接，过作，且交于，
因为，平面，所以平面，
因为是正三角形，，所以．
以为坐标原点，方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
即或28．
17．（2026·盐山模拟）某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月
月份代码 1 2 3 4 5 6
销量千辆 6 7 10 11 12 14
（1）已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；
（2）该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程，其中，．
参考数据：．
【答案】（1）解：由题意得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆．
（2）（Ⅰ）解：设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件，
所以，
设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件，
则．
（Ⅱ）解：设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此，
调整后年利润为万元，
令，解得，
所以最多可以调28人到其他部门．
【知识点】线性回归方程；相互独立事件；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先根据经验回归方程的公式计算斜率和截距，得到回归方程；再确定2026年3月对应的月份代码，代入方程估算销量。
(2)(Ⅰ) 先求单个员工能使用人工智能工具的概率（至少两期“优秀”），再利用独立事件概率公式，计算甲乙中恰好一人能使用的概率。
(2)(Ⅱ) 设调走人数为，根据利润不低于调整前的条件列不等式，求解的最大值。
（1）由题意得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆．
（2）（Ⅰ）设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件，
所以，
设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件，
则．
（Ⅱ）设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此，
调整后年利润为万元，
令，解得，
所以最多可以调28人到其他部门．
18．（2026·盐山模拟）已知椭圆的焦距为，上的点到两焦点的距离之和为6．
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，过点的直线与交于两点（异于点）．
（i）求的面积的取值范围；
（ii）直线分别与直线交于两点，证明：以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）解：设的焦距为，由题意可知，
所以，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）解：由（1）得，设，
由题得直线的斜率不为零，设，由，得，
所以，，
则，
令，则，
因为在上单调递增，所以，
所以的面积的取值范围为；
（ii）证明：由题意可得直线的斜率均存在且均不为0，
由直线和，得，即，同理，
易得以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
，
故以为直径的圆的方程为，
令，得，
故以为直径的圆恒过定点和．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 根据椭圆的基本性质，由焦距和长轴长求出a、b，进而得到椭圆方程；
(2)(i) 设直线方程并联立椭圆，利用韦达定理表示出弦长相关的面积表达式，结合基本不等式求取值范围；
(ii) 求出P、Q坐标，写出以PQ为直径的圆的方程，通过整理方程确定恒过的定点。
（1）设的焦距为，
由题意可知，所以，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）由（1）得，设，
由题得直线的斜率不为零，设，由，得，
所以，，
则，
令，则，
因为在上单调递增，所以，
所以的面积的取值范围为；
（ii）由题意可得直线的斜率均存在且均不为0，
由直线和，得，即，同理，
易得以为直径的圆的方程为，
即，
而
，
，
故以为直径的圆的方程为，
令，得，
故以为直径的圆恒过定点和．
19．（2026·盐山模拟）已知函数．
（1）讨论的零点个数；
（2）当时，证明：；
（3）若，求的取值集合．
【答案】（1）解：由，得，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，无零点；当时，有一个零点；
（2）证明：当时，，则，
易知在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得．
当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，即，
所以，
又，所以，
所以．
（3）解：由，得，
设，
则，令，
则，
①当时，
当时，，所以，
当时，．
则在上单调递增，所以，
所以为在上的唯一极小值点，
则，所以时，恒成立；
②当时，
当时，，有，
当时，，有.
又，所以，
即在上单调递增．
注意到，
又，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不符合题意；
③当时，同②有为增函数，
当时，．则，
又因为，所以存在，使得，
当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；
④当时，
当时，，有，
当时，，有，
又，所以，在上单调递增，
又因为，所以当时，，不符合题意．
综上所述，的取值集合为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1) 先求导函数，将零点问题转化为的解的个数，通过研究函数的单调性和值域分析零点数；
(2) 时，利用的单调性找到极值点，证明的最小值；
(3) 构造，分、、、四种情况，结合多次求导和放缩法分析的条件。
（1）由，得，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，无零点；当时，有一个零点；
（2）当时，，则，
易知在上单调递增，
因为，
所以存在唯一，使得．
当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由，得，即，
所以，
又，所以，
所以．
（3）由，得，
设，
则，令，
则，
①当时，
当时，，所以，
当时，．
则在上单调递增，所以，
所以为在上的唯一极小值点，
则，所以时，恒成立；
②当时，
当时，，有，
当时，，有.
又，所以，
即在上单调递增．
注意到，
又，所以存在，使得，
当时，，在上单调递减，所以，不符合题意；
③当时，同②有为增函数，
当时，．则，
又因为，所以存在，使得，
当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；
④当时，
当时，，有，
当时，，有，
又，所以，在上单调递增，
又因为，所以当时，，不符合题意．
综上所述，的取值集合为．
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