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山东枣庄市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次学情测试数学试卷
一、单选题
1．复数的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．以下说法正确的是（????）
A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则
C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则
3．与向量反向的单位向量是（????）
A． B． C． D．
4．已知向量，，，若与平行，则（???）
A． B． C． D．1
5．已知向量为单位向量，，则的夹角为（????）
A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，，则（????）
A． B．
C． D．
7．在中，若，且，那么一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
8．在中，“”是“为直角三角形”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列各组向量中，一定能推出的是（????）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．已知都是复数，下列选项中正确的是（????）
A．若，则或 B．若，则
C．若，则是实数 D．若，则
11．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（????）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为钝角三角形
三、填空题
12．在复数范围内，方程的解集为______．
13．已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________．
14．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线的交点.过点作一条直线交线段于点，交线段于点（其中点均不与端点重合）设，则的最小值为______.
四、解答题
15．已知向量，，
(1)若，求实数；
(2)若，求实数.
16．已知，
(1)若，求的值；
(2)若，求的大小；
(3)若，求的大小.
17．在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．
(1)求A；
(2)若，，求△ABC的面积．
19．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
参考答案
1．C
【详解】，
，
复数的虚部为．
2．A
解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确；
对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误；
对于C,时，或，故错误；
对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误．
故选：A．
3．A
【详解】与反向的单位向量为.
故答案为：A.
4．B
【详解】因为，，
则
又因为与平行，
所以，
化简：，即，
解得：.
5．C
【详解】由可得，
解得，因，则.
故选：C.
6．A
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
7．D
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
8．A
【详解】先考查充分性：
由，可得，
整理得，由正弦定理得，故为直角三角形，充分性正确；
再考查必要性：
若为直角三角形，不妨令，代入，即必要性不成立.
故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.
9．ABC
【详解】A.，即，故A正确；
B. ，即，故B正确；
C. ，，则，故C正确；
D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误.
故选：ABC
10．ACD
【详解】若，则或，故A正确；
若， ，满足，但，故B错误；
若，则是实数，故C正确；
若，则，得或，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．BC
【详解】对于A，由正弦定理得，则，则在中，或，即或，故A错误；
对于B，由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；
对于C，因为不是直角三角形，所以，，均有意义，
又，所以，
所以，故C正确；
对于D，，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误；
故选：BC.
12．
【详解】解：
由求根公式可得
所以方程的解集为．
故答案为：
13．
【详解】因为，所以，解得：,
则在方向上的投影向量的坐标为
14．
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
，
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为.
15．(1)
(2)或3
【详解】（1），
由，得，
解得；
（2），
由，得，
解得或3.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）由，得，
即，得，则，
则，
.
（3）由，得，即，
即，得，则，
，
，
.
17．（1）；（2）存在，且.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
18．(1)
(2)
【详解】（1）∵，，，
∴．
∴，即．
∴．
∵，
∴．
（2）
在△ABD中，由，和余弦定理，得
．
∵D是AC的中点，
∴
∴，化简得，即．
∵，
∴，解得．
∴．
∴△ABC的面积为．
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.

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