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专题14：二次函数综合
在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
考点1 销售问题
解答二次函数综合中的销售类压轴题，需遵循审题建模、分析变量、求解计算、验证作答的完整逻辑，首先要精准拆解题目给出的销售信息，明确已知条件包含的成本、售价、销量、利润等核心要素，梳理出单价变化与销量变化的关联规律，通常题目会给出单价每提升或降低一定金额，销量对应减少或增加的数量，这是构建函数关系的关键突破口，切忌遗漏隐含的自变量取值范围，比如销量不能为负数、售价需符合实际销售场景、成本限制等，这是后续解题的前提；接着要确立核心等量关系，销售问题的核心是总利润=单件利润×销售量，先设出自变量，一般将调整后的售价、价格变动幅度设为自变量x，再根据单价与销量的变化关系，用含x的代数式分别表示出单件利润和销售量，将两者相乘整理后即可得到总利润y关于自变量x的二次函数解析式，同时要快速将解析式化为顶点式或一般式，明确二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等关键性质；之后结合题目设问逐步求解，若求最大利润，需先判断二次函数开口方向，开口向下时顶点处取得最大值，开口向上时则在自变量取值区间的端点处取得最值，切记不可直接套用顶点坐标，必须验证顶点横坐标是否在自变量的有效取值范围内，若不在则结合函数单调性分析区间内的最值，若题目涉及利润不低于某一数值、销量达标等不等式问题，需联立二次函数与不等式，求解出自变量的取值范围，再结合实际情况筛选符合条件的解；对于涉及多阶段销售、成本变动、优惠政策等综合设问，要分情况讨论，拆分不同销售阶段的函数关系，避免不同条件下的函数模型混淆，同时注意单位统一、计算精准，尤其是代数式化简和一元二次方程求解过程，防止因计算失误导致结果错误；最后答题时要规范书写步骤，先写明函数建模过程，再分步计算取值范围、最值、不等式解集，最后结合实际问题作答，明确结果的实际意义，杜绝只写数学解而忽略销售场景的合理性，比如销量需为整数、售价不能低于成本等，全程紧扣二次函数性质与销售实际场景的结合，层层递进拆解复杂条件，将压轴题转化为基础的函数建模与最值求解问题，就能稳步攻克这类题型。
1．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
【答案】(1)
(2)10元或30元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元
(2)
【分析】本题考查了二次函数，二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，根据“2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元”建立二元一次方程组并求解；
（2）先根据利润公式求出关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元，
由题意得：，
解得：，
答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元；
（2）解：由题意得，，
∵，对称轴为直线，且a为整数，
∴当时，取最大值，
答：当时，每天的利润W最大．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
（1）根据题意可以得出，再令，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中代入，可得出与的关系式，然后利用一次函数的性质，即可求出的取值范围．
【详解】（1）由题意得：
整理得，
当时，则，
解得：．
，
不符合题意，舍去，
该商场建造的隔热层厚度为6．
（2）由（1）得，
，
．
，
随的增大而增大，
当时，，解得；
当时，，解得；
的取值范围为．
4．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
(2)至少需要购进B款纪念品200个
(3)，W的最大值为4500
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键．
（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可；
（2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可；
（3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可．
【详解】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元；
（2）解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为200，
答：至少需要购进B款纪念品200个；
（3）解：由题意得，
，
∵，
∴当，即时，W最大，最大值为4500．
5．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
6．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
(4)4
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为，
把代入中得，
∴，
∴第天的单价与满足的一次函数关系式为，
∴A樱桃园第x天的单价是元/盒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，
（3）解：①把代入中得：，
解得，
∴；
②∵，，
∴
，
∵，且（x为正整数），
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元；
（4）解：当时，则，
∴，
∴，
∴，
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
考点2 拱桥问题
解答二次函数综合里的拱桥类压轴题，核心思路是建立平面直角坐标系、求出二次函数解析式、利用函数性质结合几何条件求解实际问题，解题时先要仔细观察拱桥的实物图形与已知数据，例如拱桥跨度、拱顶高度、水面宽度、桥身定点高度等已知长度，第一步关键在于合理建立平面直角坐标系，优先选择简便易算的建系方式，通常把拱桥最高点即拱顶作为坐标原点或将其放置在y轴上，也可将桥面两端端点放在x轴上，利用图形左右对称的特点简化计算，减少系数运算难度；建系之后准确标出题目中所有关键点的坐标，包含拱顶、水面端点、桥墩顶端、桥上某定点、水面变化后的对应点，分清横坐标代表水平距离，纵坐标代表竖直高度，接着设出对应形式的二次函数解析式，对称轴为y轴优先设顶点式y=ax^2+k，已知顶点坐标直接使用顶点式，已知普通多点选用一般式，再代入已知点坐标通过解方程求出待定系数，确定完整函数解析式，这是整道题的解题基础；得到解析式后结合题意逐层解答设问，已知水平距离求高度，就把横坐标代入解析式求出对应纵坐标，已知桥身某位置高度求水平宽度，可令纵坐标为定值，解一元二次方程求出对应的横坐标，再利用两点水平距离算出宽度，遇到水位上涨下降、车辆通行限高、船只能否通过、加装桥墩等题型，要结合自变量的实际取值范围分析，利用抛物线对称性简化运算，避免重复计算；同时解题中要注意几何实际限制，坐标正负、线段长度不能为负，分清纵坐标表示离基准面的高度，懂得舍去不符合实际意义的解，遇到多问综合设问，前后解析式不变时可直接沿用，不用重复求解，还要理清抛物线增减变化、对称轴左右的高度变化规律，结合数形结合思想，把拱桥几何问题转化成熟练的二次函数求值、解方程、范围分析问题，规范书写解题步骤，做到建系合理、找点准确、求式规范、检验实际，循序渐进拆解难点，就能完整攻克拱桥类二次函数压轴题型。
1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识，
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过，
设其表达式为，
，
解得，
所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：点到的距离均为，
当时，，
，
这两条灯带的总长为．
2．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
∵，
∴结合二次函数的对称性得，
将代入，
得
则，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式，
∵，，．，且抛物线的函数表达式为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
解得，
∴．
3．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
【答案】(1)
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
4．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
【答案】(1)；
(2)的长为．
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；
（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为，
设缆索所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索所在抛物线的函数表达式为，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的长为．
5．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】(1)米
(2)
(3)米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答．
（2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答．
（3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答．
【详解】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：如图所示：
∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
考点3 图形问题
解答二次函数综合中的几何图形类压轴题，要始终贯穿数形结合、坐标转化、分类讨论、几何建模的整体解题思路，先全面审题，梳理抛物线解析式、顶点、交点坐标、对称轴以及题目给出的三角形、四边形、直角图形、等腰图形、相似图形等已知条件，第一步先求出二次函数解析式，确定抛物线与坐标轴交点、顶点坐标、对称轴，把图像中的几何点全部转化为平面直角坐标系中的坐标，这是解题基础；解题核心就是将几何边长、线段垂直、线段相等、平行关系、角度关系全部转化为坐标运算，灵活运用两点间距离公式、中点坐标公式、直线解析式、斜率平行与垂直的关系，遇到线段最值、周长最值、面积最值问题，常用铅垂高水平宽求三角形面积，利用动点横坐标统一设元，用含动点未知数的代数式表示线段长度与图形面积，结合二次函数增减性与对称轴求解最值，同时注意自变量取值范围；面对等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形、矩形菱形正方形动点存在性高频题型，必须做到完整分类讨论，等腰三角形分三条边分别为底边三种情况，直角三角形分三个顶点分别为直角顶点三种情况，平行四边形利用对角线互相平分、坐标中点相等进行分情况列式，避免漏解，遇到三角形相似问题，找准对应顶点，分清多种对应情况，利用角度相等、边长成比例列方程求解；对于图形平移、翻折、旋转类综合设问，紧抓变换前后边长不变、角度不变、对应点位置规律，结合抛物线对称性进行坐标推导，解题过程中要理清动点运动范围，区分定点与动点，规范设未知数，联立一次函数与二次函数解析式求解交点，及时舍去不符合题意、超出图像范围的解，还要熟练运用特殊几何模型，如一线三直角、将军饮马、抛物线上动点面积分割等常用思路，把复杂几何图形问题拆解为坐标计算、方程求解、函数性质应用的基础题型，步骤层层递进，逻辑清晰，兼顾图形几何特征与二次函数图像性质，系统完整解答此类压轴难题。
1．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
【答案】16
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积．
设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值．
【详解】解：设矩形中，（）．
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值．
最大值.
故答案为：．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大．
【答案】5
【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的二次函数，化为顶点式，即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点H，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形中，
是等腰直角三角形，
设，则，
矩形桌面的面积，
当时，S取最大值，
即当时，矩形桌面面积最大．
故答案为：5．
3．（2024·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
【答案】(1)
(2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键
（1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式；
（2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可．
【详解】（1）解：∵，，为抛物线的顶点，
∴，∴顶点的坐标为，，
设抛物线的解析式为：，
代入，得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为：，即；
（2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下：
方案一：∵，，
∴，，
当时，，即，
当时，，即，
∴方案一内部支架材料长度为：；
方案二：∵，，
∴，，，
当时，，即，
当时，，即，
∴方案二内部支架材料长度为：；
∵，
∴方案二的内部支架节省材料．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
【答案】(1)图1的正方形面积较大
(2)在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值化简得，进行计算得，然后进行比较，即可作答．
（2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为，
∴，
∴．
设正方形的边长为，
∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得．
∵四边形是正方形
∴，
∴
∴，
得，
即，
∴．
，
∵
∴，
得，
即，
解得．
∵，
∴图1的正方形面积较大．
（2）解：∵四边形是长方形
∴，，
∵
∴；
得，
则，，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为．
在图4中，同理得，
得，
∴，，
同理得，
得，
则，
∴长方形的面积，
∵
∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为．
5．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【答案】（1）窗户框架的宽为；
（2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
（1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解；
（2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，
∴．
∵长宽之比为，
∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：．
将代入得，．
∴．
答：窗户框架的宽为．
（2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为，
∴，即，
∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为．
∴当时，最大值为．
∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为．
6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】(1)，，
(2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
(3)
【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标；
（2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可；
（3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得．
【详解】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
考点4 图形运动问题
解答二次函数综合中的图形运动类压轴题，核心在于“动态建模、分类讨论、数形结合、临界最值”的完整解题逻辑。这类题目通常综合了抛物线的函数特征、几何图形的性质与动点的连续变化，解题时需先通读全题，梳理清楚抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标，以及三角形、四边形、直角、等腰等固定几何条件，明确所有定点、定线的坐标特征，建立起平面直角坐标系下的几何图形与函数表达式的关联桥梁；接着重点分析动点的运动规律，确定动点的运动路径（如在x轴、y轴、抛物线上、线段上运动）、运动方向与运动速度，根据动点的横坐标或纵坐标统一设元，用含参数的代数式精准表示出动点的坐标，再进一步表示出相关线段的长度、图形的周长、面积等变量表达式，这是连接动态几何与函数关系的关键纽带。在求解具体问题时，若涉及图形的存在性问题，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等存在性，必须依据几何定义进行全面的分类讨论，例如等腰三角形分三种顶角情况、直角三角形分三个顶点为直角顶点的情况、平行四边形利用对角线互相平分的中点坐标关系等，逐一建立方程求解，同时要严格检验解的合理性，舍去不符合动点运动范围和几何图形实际意义的结果；若涉及线段最值、周长最值、面积最值或路径最短问题，需结合二次函数的增减性、对称轴性质，以及几何中的“将军饮马”“两点之间线段最短”“垂线段最短”等模型，将最值问题转化为函数的顶点求解或利用几何不等式分析，过程中要注意动点运动的边界位置和临界状态，即动点到达线段端点或图像特殊点时的取值情况；对于涉及图形翻折、旋转、平移的综合运动问题，要紧扣变换的性质，抓住变换前后对应线段、对应角度不变的特征，结合抛物线的对称性转化坐标，逐步推导；解题全程需规范步骤，先建系求解析式，再设参数表示坐标，后分类列方程或分析函数性质，最后综合作答，始终将几何直观分析与代数精确计算相结合，层层拆解复杂的运动背景，稳步攻克此类综合压轴题。
1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
'
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，
故选：B
2．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
【详解】解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在上运动时，由题意得，，作于点，求得，利用列式计算即可；当点P在上运动时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
∴，，
当点P在上运动时，由题意得，，
作于点，
∵，
∴，
∴，是二次函数；
当点P在上运动时，由题意得，
∴，是一次函数；
故选：D．
4．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④．
【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，
∴此时，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴当时，，故①正确；
当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，故②错误
在中，当时，解得或，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③错误；
∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
点P在上运动时，
函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
5．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解；
（1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解；
（2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可；
（3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当重合时，如下图：
，以为边作正方形，
是等腰直角三角形，
，
即，
解得：（负的舍去），
，
，
，
故答案为：7；
（2）解：当在线段上运动时，
，
当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图：
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：当正方形的对称中心与点B重合时，
，
，
即，
解得：，
，
．
考点5 投球问题
解答二次函数综合中的图形运动类压轴题，核心在于“动态建模、分类讨论、数形结合、临界最值”的完整解题逻辑。这类题目通常综合了抛物线的函数特征、几何图形的性质与动点的连续变化，解题时需先通读全题，梳理清楚抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标，以及三角形、四边形、直角、等腰等固定几何条件，明确所有定点、定线的坐标特征，建立起平面直角坐标系下的几何图形与函数表达式的关联桥梁；接着重点分析动点的运动规律，确定动点的运动路径（如在x轴、y轴、抛物线上、线段上运动）、运动方向与运动速度，根据动点的横坐标或纵坐标统一设元，用含参数的代数式精准表示出动点的坐标，再进一步表示出相关线段的长度、图形的周长、面积等变量表达式，这是连接动态几何与函数关系的关键纽带。在求解具体问题时，若涉及图形的存在性问题，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等存在性，必须依据几何定义进行全面的分类讨论，例如等腰三角形分三种顶角情况、直角三角形分三个顶点为直角顶点的情况、平行四边形利用对角线互相平分的中点坐标关系等，逐一建立方程求解，同时要严格检验解的合理性，舍去不符合动点运动范围和几何图形实际意义的结果；若涉及线段最值、周长最值、面积最值或路径最短问题，需结合二次函数的增减性、对称轴性质，以及几何中的“将军饮马”“两点之间线段最短”“垂线段最短”等模型，将最值问题转化为函数的顶点求解或利用几何不等式分析，过程中要注意动点运动的边界位置和临界状态，即动点到达线段端点或图像特殊点时的取值情况；对于涉及图形翻折、旋转、平移的综合运动问题，要紧扣变换的性质，抓住变换前后对应线段、对应角度不变的特征，结合抛物线的对称性转化坐标，逐步推导；解题全程需规范步骤，先建系求解析式，再设参数表示坐标，后分类列方程或分析函数性质，最后综合作答，始终将几何直观分析与代数精确计算相结合，层层拆解复杂的运动背景，稳步攻克此类综合压轴题。
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴小球从抛出到落地需要，故①正确；
∵，
∴最大高度为，
∴小球运动中的高度可以是，故②正确；
当时，；当时，；
∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；
故选C．
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可，
【详解】解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
3．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．
设抛物线解析式为：，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
当时，，
解得，（舍去），，
即此次实心球被推出的水平距离为．
故答案为：
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
【答案】(1)抛物线的表达式
(2)水火箭距离地面的竖直高度米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
根据题意可设抛物线的表达式，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为，代入求解即可；
由题意知，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，
由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，
则抛物线的表达式，
（2）解：由题意知，则，
那么，水火箭距离地面的竖直高度米．
5．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可；
（3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为；
（2）不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物；
（3）∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
6．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论；
（3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论．
【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（3）对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
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专题14：二次函数综合
在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。
考点1 销售问题
解答二次函数综合中的销售类压轴题，需遵循审题建模、分析变量、求解计算、验证作答的完整逻辑，首先要精准拆解题目给出的销售信息，明确已知条件包含的成本、售价、销量、利润等核心要素，梳理出单价变化与销量变化的关联规律，通常题目会给出单价每提升或降低一定金额，销量对应减少或增加的数量，这是构建函数关系的关键突破口，切忌遗漏隐含的自变量取值范围，比如销量不能为负数、售价需符合实际销售场景、成本限制等，这是后续解题的前提；接着要确立核心等量关系，销售问题的核心是总利润=单件利润×销售量，先设出自变量，一般将调整后的售价、价格变动幅度设为自变量x，再根据单价与销量的变化关系，用含x的代数式分别表示出单件利润和销售量，将两者相乘整理后即可得到总利润y关于自变量x的二次函数解析式，同时要快速将解析式化为顶点式或一般式，明确二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等关键性质；之后结合题目设问逐步求解，若求最大利润，需先判断二次函数开口方向，开口向下时顶点处取得最大值，开口向上时则在自变量取值区间的端点处取得最值，切记不可直接套用顶点坐标，必须验证顶点横坐标是否在自变量的有效取值范围内，若不在则结合函数单调性分析区间内的最值，若题目涉及利润不低于某一数值、销量达标等不等式问题，需联立二次函数与不等式，求解出自变量的取值范围，再结合实际情况筛选符合条件的解；对于涉及多阶段销售、成本变动、优惠政策等综合设问，要分情况讨论，拆分不同销售阶段的函数关系，避免不同条件下的函数模型混淆，同时注意单位统一、计算精准，尤其是代数式化简和一元二次方程求解过程，防止因计算失误导致结果错误；最后答题时要规范书写步骤，先写明函数建模过程，再分步计算取值范围、最值、不等式解集，最后结合实际问题作答，明确结果的实际意义，杜绝只写数学解而忽略销售场景的合理性，比如销量需为整数、售价不能低于成本等，全程紧扣二次函数性质与销售实际场景的结合，层层递进拆解复杂条件，将压轴题转化为基础的函数建模与最值求解问题，就能稳步攻克这类题型。
1．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
3．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：．预计该商场每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度满足函数表达式：，其中．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为（万元）．
(1)若万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为（万元），且，当时，求隔热层厚度的取值范围．
4．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
5．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
6．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒）销售量（盒）第1天5020第2天4830第3天4640第4天4450………第x天10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）
(3)①与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？
这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．
考点2 拱桥问题
解答二次函数综合里的拱桥类压轴题，核心思路是建立平面直角坐标系、求出二次函数解析式、利用函数性质结合几何条件求解实际问题，解题时先要仔细观察拱桥的实物图形与已知数据，例如拱桥跨度、拱顶高度、水面宽度、桥身定点高度等已知长度，第一步关键在于合理建立平面直角坐标系，优先选择简便易算的建系方式，通常把拱桥最高点即拱顶作为坐标原点或将其放置在y轴上，也可将桥面两端端点放在x轴上，利用图形左右对称的特点简化计算，减少系数运算难度；建系之后准确标出题目中所有关键点的坐标，包含拱顶、水面端点、桥墩顶端、桥上某定点、水面变化后的对应点，分清横坐标代表水平距离，纵坐标代表竖直高度，接着设出对应形式的二次函数解析式，对称轴为y轴优先设顶点式y=ax^2+k，已知顶点坐标直接使用顶点式，已知普通多点选用一般式，再代入已知点坐标通过解方程求出待定系数，确定完整函数解析式，这是整道题的解题基础；得到解析式后结合题意逐层解答设问，已知水平距离求高度，就把横坐标代入解析式求出对应纵坐标，已知桥身某位置高度求水平宽度，可令纵坐标为定值，解一元二次方程求出对应的横坐标，再利用两点水平距离算出宽度，遇到水位上涨下降、车辆通行限高、船只能否通过、加装桥墩等题型，要结合自变量的实际取值范围分析，利用抛物线对称性简化运算，避免重复计算；同时解题中要注意几何实际限制，坐标正负、线段长度不能为负，分清纵坐标表示离基准面的高度，懂得舍去不符合实际意义的解，遇到多问综合设问，前后解析式不变时可直接沿用，不用重复求解，还要理清抛物线增减变化、对称轴左右的高度变化规律，结合数形结合思想，把拱桥几何问题转化成熟练的二次函数求值、解方程、范围分析问题，规范书写解题步骤，做到建系合理、找点准确、求式规范、检验实际，循序渐进拆解难点，就能完整攻克拱桥类二次函数压轴题型。
1．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、
(1)求所在抛物线的函数表达式；
(2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长．
2．（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长．
3．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
4．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计）
(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；
(2)点E在缆索上，，且，，求的长．
5．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
(1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
(2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
考点3 图形问题
解答二次函数综合中的几何图形类压轴题，要始终贯穿数形结合、坐标转化、分类讨论、几何建模的整体解题思路，先全面审题，梳理抛物线解析式、顶点、交点坐标、对称轴以及题目给出的三角形、四边形、直角图形、等腰图形、相似图形等已知条件，第一步先求出二次函数解析式，确定抛物线与坐标轴交点、顶点坐标、对称轴，把图像中的几何点全部转化为平面直角坐标系中的坐标，这是解题基础；解题核心就是将几何边长、线段垂直、线段相等、平行关系、角度关系全部转化为坐标运算，灵活运用两点间距离公式、中点坐标公式、直线解析式、斜率平行与垂直的关系，遇到线段最值、周长最值、面积最值问题，常用铅垂高水平宽求三角形面积，利用动点横坐标统一设元，用含动点未知数的代数式表示线段长度与图形面积，结合二次函数增减性与对称轴求解最值，同时注意自变量取值范围；面对等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形、矩形菱形正方形动点存在性高频题型，必须做到完整分类讨论，等腰三角形分三条边分别为底边三种情况，直角三角形分三个顶点分别为直角顶点三种情况，平行四边形利用对角线互相平分、坐标中点相等进行分情况列式，避免漏解，遇到三角形相似问题，找准对应顶点，分清多种对应情况，利用角度相等、边长成比例列方程求解；对于图形平移、翻折、旋转类综合设问，紧抓变换前后边长不变、角度不变、对应点位置规律，结合抛物线对称性进行坐标推导，解题过程中要理清动点运动范围，区分定点与动点，规范设未知数，联立一次函数与二次函数解析式求解交点，及时舍去不符合题意、超出图像范围的解，还要熟练运用特殊几何模型，如一线三直角、将军饮马、抛物线上动点面积分割等常用思路，把复杂几何图形问题拆解为坐标计算、方程求解、函数性质应用的基础题型，步骤层层递进，逻辑清晰，兼顾图形几何特征与二次函数图像性质，系统完整解答此类压轴难题。
1．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当___________时，矩形桌面面积最大．
3．（2024·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
5．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
(1)直接写出，，三点的坐标；
(2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
(3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
考点4 图形运动问题
解答二次函数综合中的图形运动类压轴题，核心在于“动态建模、分类讨论、数形结合、临界最值”的完整解题逻辑。这类题目通常综合了抛物线的函数特征、几何图形的性质与动点的连续变化，解题时需先通读全题，梳理清楚抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标，以及三角形、四边形、直角、等腰等固定几何条件，明确所有定点、定线的坐标特征，建立起平面直角坐标系下的几何图形与函数表达式的关联桥梁；接着重点分析动点的运动规律，确定动点的运动路径（如在x轴、y轴、抛物线上、线段上运动）、运动方向与运动速度，根据动点的横坐标或纵坐标统一设元，用含参数的代数式精准表示出动点的坐标，再进一步表示出相关线段的长度、图形的周长、面积等变量表达式，这是连接动态几何与函数关系的关键纽带。在求解具体问题时，若涉及图形的存在性问题，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等存在性，必须依据几何定义进行全面的分类讨论，例如等腰三角形分三种顶角情况、直角三角形分三个顶点为直角顶点的情况、平行四边形利用对角线互相平分的中点坐标关系等，逐一建立方程求解，同时要严格检验解的合理性，舍去不符合动点运动范围和几何图形实际意义的结果；若涉及线段最值、周长最值、面积最值或路径最短问题，需结合二次函数的增减性、对称轴性质，以及几何中的“将军饮马”“两点之间线段最短”“垂线段最短”等模型，将最值问题转化为函数的顶点求解或利用几何不等式分析，过程中要注意动点运动的边界位置和临界状态，即动点到达线段端点或图像特殊点时的取值情况；对于涉及图形翻折、旋转、平移的综合运动问题，要紧扣变换的性质，抓住变换前后对应线段、对应角度不变的特征，结合抛物线的对称性转化坐标，逐步推导；解题全程需规范步骤，先建系求解析式，再设参数表示坐标，后分类列方程或分析函数性质，最后综合作答，始终将几何直观分析与代数精确计算相结合，层层拆解复杂的运动背景，稳步攻克此类综合压轴题。
1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数
4．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
(1)的长为_______．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
(3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出y的值．
考点5 投球问题
解答二次函数综合中的图形运动类压轴题，核心在于“动态建模、分类讨论、数形结合、临界最值”的完整解题逻辑。这类题目通常综合了抛物线的函数特征、几何图形的性质与动点的连续变化，解题时需先通读全题，梳理清楚抛物线的解析式、对称轴、顶点坐标，以及三角形、四边形、直角、等腰等固定几何条件，明确所有定点、定线的坐标特征，建立起平面直角坐标系下的几何图形与函数表达式的关联桥梁；接着重点分析动点的运动规律，确定动点的运动路径（如在x轴、y轴、抛物线上、线段上运动）、运动方向与运动速度，根据动点的横坐标或纵坐标统一设元，用含参数的代数式精准表示出动点的坐标，再进一步表示出相关线段的长度、图形的周长、面积等变量表达式，这是连接动态几何与函数关系的关键纽带。在求解具体问题时，若涉及图形的存在性问题，如等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等存在性，必须依据几何定义进行全面的分类讨论，例如等腰三角形分三种顶角情况、直角三角形分三个顶点为直角顶点的情况、平行四边形利用对角线互相平分的中点坐标关系等，逐一建立方程求解，同时要严格检验解的合理性，舍去不符合动点运动范围和几何图形实际意义的结果；若涉及线段最值、周长最值、面积最值或路径最短问题，需结合二次函数的增减性、对称轴性质，以及几何中的“将军饮马”“两点之间线段最短”“垂线段最短”等模型，将最值问题转化为函数的顶点求解或利用几何不等式分析，过程中要注意动点运动的边界位置和临界状态，即动点到达线段端点或图像特殊点时的取值情况；对于涉及图形翻折、旋转、平移的综合运动问题，要紧扣变换的性质，抓住变换前后对应线段、对应角度不变的特征，结合抛物线的对称性转化坐标，逐步推导；解题全程需规范步骤，先建系求解析式，再设参数表示坐标，后分类列方程或分析函数性质，最后综合作答，始终将几何直观分析与代数精确计算相结合，层层拆解复杂的运动背景，稳步攻克此类综合压轴题。
1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
3．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度．
5．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
(1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
(2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
6．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示．
［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、．
（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
［模型应用］
（2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________．
（3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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