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云南大理州民族中学2025-2026学年下学期4月阶段性测试高一
数学试卷
一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．1
4．如图，已知，，，用、表示为（ ）

A． B．
C． D．
5．要得到函数的图象，需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．设向量，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．设向量, 则是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，，的零点依次为，则的大小关系为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则与的夹角为
10．设正实数x，y满足，则（ ）
A．xy有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为5 D．有最大值为
11．已知函数的最小值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心为点 D．在上单调递增
三、填空题
12．计算______.
13．已知，均为锐角，，，则______，______.
14．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为______.

四、解答题
15．已知.
(1)若，求实数k的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
16．已知函数
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)求在区间上的值域.
17．给定函数，，，用表示，中较大者，记为例如，当时，
(1)在同一坐标系中作出及的图象，并写出的解析式；
(2)对，有恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数，（）的周期是.
(1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间；
(2)解不等式；
(3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19．双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数：
根据定义，解决下列问题：
(1)通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质；
①
②
③
请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分
(2)已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围.
参考答案及解析
1．B
解析：，，则，
集合，
故
故选：B.
2．B
解析：试题分析：由题意得，故选B.
3．C
解析：解：函数，
则，
故
故选：C
4．D
解析：由，则，
，
则.
故选：D.
5．A
解析：A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A正确；
B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误；
C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误；
D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D错误.
故选：A
6．A
解析：因为，若，所以，
则，所以．
故选：A．
7．A
解析：的充要条件为，即或，
“”是“或”成立的充分不必要条件，
“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
8．B
解析：结合方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点；由方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点；由方程两边代表的函数的图像可知只有一个交点，即零点，应选答案B．
9．BC
解析：选项A，若，则，解得，故A项错误；
选项B，若，则，解得，
则，故B项正确；
选项C，若，则，所以，故C项正确；
选项D，，则，，，
所以，所以与的夹角不是，故D项错误，
故选：BC
10．BC
解析：对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，
而，因此不能取等号，D错误.
故选：BC
11．ABD
解析：
，
因为的最小值为1，故，故，
所以，所以的最小正周期为，故A正确；
，而为函数的最小值，
故图象的一条对称轴为直线，故B正确；
而函数图象的对称中心的纵坐标为，故不是函数图象的对称中心，故C错误；
当，，而在上单调递增，
故在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
12．//
解析：
故答案为：.
13．
解析：因为，
所以，
又因，均为锐角，所以，则，
所以，所以，，
又因，所以，
则，
所以.
故答案为：；.
14．
解析：，，
，存在实数，使得，即，
又，则，
，，，
则
，
故答案为：．
15．(1)
(2).
解析：（1）由题意知，，又，所以，
由，得，即
又，所以，解得.
（2）
设与的夹角为，则
所以与的夹角的余弦值为.
16．(1)在区间上的单调递增，证明见解析
(2)
解析：（1）在区间上的单调递增，证明如下：
任取，，
则，
因为，所以，所以，所以，
即，所以，即在区间上的单调递增；
（2）因为，即为奇函数，
由可得在上单调递增，
由奇函数的对称性可知，在上单调递增，
因为，，
故函数的值域为 .
17．(1)答案见解析，
(2)
解析：（1）作出，的图象，
所以；
（2）由知，函数在区间单调递减，在区间单调递增，
所以的最小值为，
由，恒成立，
则，
即，所以，
而，当且仅当，即时等号成立，
所以实数m的取值范围是 .
18．(1)；
(2)
(3)
解析：（1）因为
，
因为，所以，所以，
因为，所以，
当时，即时函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为：.
（2）因为，即，
所以，，
解得：，，
所以不等式的解集为：.
（3）当时，，此时，
因为不等式恒成立，
所以，解得：.
19．(1)答案见解析
(2){或或}
解析：（1）证明：①；
②；
③
（2）由知，令，
由单调递增，单调递减，
易知单调递增；
又，
则，进而，可转化成，
故原问题等价于在上有两个不同的零点，
于是，进而，解得
即或或，
所以实数m的取值范围为{或或}

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