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第二十一章 四边形 单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，在四边形中，，，点E为的中点，连结，若四边形的面积为16，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（本题3分）如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图，在矩形中，点、分别在边，上，且，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．8
8．（本题3分）如图所示，菱形的边长为5，对角线与相交于点，，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．18
9．（本题3分）如图，在中，，，过点作边的垂线交的延长线于点，点是垂足，连接、，交于点．则下列结论：四边形是正方形；，，正确的是（ ）

A． B． C． D．
10．（本题3分）用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为____________．
12．（本题3分）如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______．
13．（本题3分）如图，桐桐从点出发，前进到点处后向右转，再前进3m到点处后又向右转，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点时，一共走了___________
14．（本题3分）如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________．
15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标是，则的长为________．
16．（本题3分）如图，在正方形中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且，OC、EF交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的为___________．（将正确的序号都填入）
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）已知正x边形的内角和为，边长为2．
(1)求正x边形的周长；
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值．
18．（本题6分）如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：．
19．（本题8分）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：．
20．（本题8分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）．
(1)如果四边形是平行四边形，求证：；
(2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系．
21．（本题10分）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接．
(1)求证：；
(2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明．
22．（本题10分）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
23．（本题12分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点E、F、G分别为线段、、的中点，连接、、．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，请判断并证明四边形的形状．
24．（本题12分）矩形中，，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处．
【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：．
【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值．

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《第二十一章 四边形 单元测试B卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A C B C B D D
1．B
【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形外角和等于是解题的关键．根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∵，
∴，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质，先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积为16，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
故选B
3．A
【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解；
【详解】解：由题意得：，
∵比的周长多2，
∴，即；
∵矩形的周长为，
∴；
∴，
∴该矩形的面积为：，
故选：A
4．A
【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是设出未知数使用勾股定理建立方程．
连接，设，则有，先由勾股定理求解出，再表示出，，再由勾股定理求解x的值，即可求解的长．
【详解】解：连接，如图，
设，则有，
在中，，
在中，，
在中，，
∵，即，
在中，，
即，解得，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长．
【详解】解：在菱形中，
，，，
，
，
，
．
故选：．
7．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键；
由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到．
【详解】中，点D是斜边的中点，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，先根据菱形的性质可得，，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵菱形的边长为5，且，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的面积为，
故选：B．
9．D
【分析】先证明≌，得，再得四边形为平行四边形，进而由，得四边形是正方形，便可判断正误；
根据，进行推理说明便可；
根据正方形的性质，得出与互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴四边形是正方形，
故正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故正确；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
故正确；
故选：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
10．D
【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可．
【详解】解：由折叠得：，垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故①②正确，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵为等边三角形，，，
∴，，
设，则，
由勾股定理得：，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴
故④正确，
综上所述正确的有：①②③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键．
先利用邻补角的定义求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到的度数．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，
∴
∵ 点在的延长线上，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵四边形的面积为20，
∴；
∵点E为的中点，
∴，
故答案为：5．
13．
【分析】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解决问题的前提．根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出多边形的周长即可．
【详解】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个每条边都相等的多边形，
由于多边形的外角和是，且每一个外角为，
，
所以它是一个十八边形，且每条边都相等，
因此所走的路程为，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，是的中点．
∵菱形的周长为，
∴．
又∵为的中点，
∴在中，是中位线，
∴．
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，合理利用勾股定理求长度是解题的关键．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．
【详解】解：连接如图所示，
点坐标是，
，
四边形是矩形，
．
故答案为：．
16．①②③
【分析】利用正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理计算判断即可．
【详解】∵正方形，，
∴，
，
∴，，
∴，
∴，，
故①②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
故③正确；
∵正方形，
∴，
∴，
无法判定，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
17．(1)
(2)5
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是360°是正确解答的关键．
（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正x边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得．
正x边形的周长为；
故答案为：．
（2）解：正x边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
故答案为：5．
18．见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键．
由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
20．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，
对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案；
对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案.
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)四边形是矩形，见解析
【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形和矩形的判定．解题的关键在于利用矩形对角线互相平分的性质证明 ，并通过全等三角形证明 为平行四边形．
（1）要证明，需利用矩形对角线互相平分的性质得到，结合 识别出 是 的中位线，再依据三角形中位线定理推导平行关系；
（2） 判断四边形 的形状，先通过全等三角形证明对边相等且平行得到平行四边形，再结合矩形对边相等及已知条件推导邻边相等，进而判定为矩形．
（1）证明：矩形，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
，
，
矩形，
，
，
又，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
又点E是的中点，
，
，
，
四边形是矩形．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
，
．
23．(1)证明见解析
(2)四边形为菱形，证明见解析
【分析】（1）证明，，可得是的中位线，，，，证明，即可．
（2）如图，连接，证明，可得，，再进一步证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E、F、G分别为线段、、的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴ 四边形为平行四边形．
（2）解：四边形为菱形，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（）详见解析；（）．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）连接，证明，即可求证；
（2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
由折叠可得，．
∵四边形为矩形，．
∵为的中点，，
∴．
在与中，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，点在移动过程中，不变．
∴点在以为圆心，10为半径的的弧上．
连接，，

∴，
当点在线段上时，有最小值．
∵，，，
∴．
∴，
∴的最小值为．
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