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第二十一章 四边形 单元测试A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）下列命题中错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．菱形的对角线互相垂直
C．对角线相等的四边形是矩形
D．正方形的对角线相等
2．（本题3分）如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．（本题3分）如图，在矩形中，，交于点．若，则的长为（　　）
A． B．5 C．10 D．
4．（本题3分）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（ ）

A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，点分别是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
7．（本题3分）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，在四边形中，对角线交于点．（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（本题3分）如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在中，，于，于，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）若一个多边形的内角和与外角和之比为，则该多边形的边数为_______．
12．（本题3分）如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则___________________．
13．（本题3分）如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为______．
14．（本题3分）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为_______．
15．（本题3分）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．

16．（本题3分）如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________．
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．
(1)求这个多边形是几边形；
(2)求这个多边形的内角和．
18．（本题8分）如图，菱形中，对角线，交于点，，．求证：．
19．（本题8分）如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．（本题8分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）．
(1)如果四边形是平行四边形，求证：；
(2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系．
21．（本题8分）如图，在四边形中，，，对角线，相交于点O，平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．（本题10分）如图，是的对角线，于点于点，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
23．（本题12分）如图，在正方形中，O是对角线，的交点，过点O作分别交，于E，F两点，，，求的长．
24．（本题12分）如图，在矩形中，与交于点O，点E是上一点，连接交于点F，延长到矩形外的点G处，使得，连接．
(1)求证：；
(2)当点E是的中点，时，判断四边形的形状，并证明．
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《第二十一章 四边形 单元测试A卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B B C B D B
1．C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于了解平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定及菱形的性质，属于基础题，比较简单．利用平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A项：两组对边分别相等的四边形即为平行四边形，说法正确，不符合题意；
B项：菱形的性质之一包括其对角线互相垂直，说法正确，不符合题意；
C项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，因此该说法错误，符合题意；
D项：正方形的对角线相等，说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：在五边形中，，
∴；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握和运用矩形的性质是解决本题的关键．
根据矩形的性质，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，掌握菱形的性质，折叠的性质是关键．
根据菱形的性质得到，根据折叠得到，则，由三角形的外角的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵是对角线，
∴，
∴，
∵将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
5．B
【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为：．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对边相等．由是中位线，得根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：分别是的中点，
是中位线，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故选C．
8．B
【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键．
根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
A．若时，平行四边形是菱形，
不能判定，故不符合题意；
B．若时，平行四边形是菱形，
∴，故符合题意；
C．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意；
D．若时，平行四边形是矩形，
不能证明，故不符合题意．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴最小值等于最小值，
作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，
根据对称性可知，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，
∵，，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
10．B
【分析】先证明是等腰直角三角形，即可判断①，利用平行四边形对角相等、直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②，证明，即可判断④和③，利用平行四边形对边相等进一步可以判断⑤．
【详解】解：∵中，，于，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，故①正确；
∵于，于，
∴，
∴，
∵在中，
∴，故②正确；
∵，，，
∴，故④错误；
∴，
∵在中，，
∴，故③正确；
∵，故⑤正确；
故选：B ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是发现全等三角形．
11．9
【分析】本题考查多边形的内角和和外角和的综合，根据n多边形的内角和公式和外角和为列方程求解即可．
【详解】解：设该多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，即该多边形的边数为9，
故答案为：9．
12．5
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴，
故答案为：5．
13．
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得，根据等边三角形的性质得，推出，根据 30 度角所对的直角边是斜边的一半得出，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵矩形，
，
∵等边的边长为 4 ，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键．
根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果．
【详解】解：∵为菱形，
∴，
由折叠的性质可知，，
又∵，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到，进而得到，同理可得，最后利用四边形的面积正方形的面积个小三角形面积求解，即可解题．
【详解】解：正方形的面积为4，
，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，
，
同理可得，
四边形的面积为．
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，为的中点．
∵，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴．
∵，
∴是直角三角形；
∴；
故答案为：．
17．(1)六边形
(2)
【分析】本题考查的是多边形的内角与外角的计算，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角的关系是解题的关键．
（1）设内角为，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出
（2）根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（1）解：设多边形的每一个内角为，则每一个外角为，
由题意得，，
解得，，，
这个多边形的边数为：，
答：这个多边形是六边形；
（2）解：由（1）知，该多边形是六边形，
内角和，
答：这个多边形的内角和为．
18．见解析
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质是解题的关键．
由，可得四边形是平行四边形，由四边形是菱形，可得，则，从而四边形是矩形，根据矩形对角线相等，则有．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
19．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键．
（1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明；
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解： ，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
．
20．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，
对于（1），连接，根据正方形的性质和平行四边形的性质得，，进而得，再根据“角角边”证明，可得答案；
对于（2），先根据正方形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后根据得出答案.
【详解】（1）证明：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键；
（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【详解】（1）证明： ，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
在中，，
，
，
，
．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；
（1）先证明，可得；
（2）先证明，，可得，再证明，可得，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
23．
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．
由正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，从而可证明，得出，进而得出，最后由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴在中，．
24．(1)见解析
(2)四边形是矩形，见解析
【详解】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形和矩形的判定．解题的关键在于利用矩形对角线互相平分的性质证明 ，并通过全等三角形证明 为平行四边形．
（1）要证明，需利用矩形对角线互相平分的性质得到，结合 识别出 是 的中位线，再依据三角形中位线定理推导平行关系；
（2） 判断四边形 的形状，先通过全等三角形证明对边相等且平行得到平行四边形，再结合矩形对边相等及已知条件推导邻边相等，进而判定为矩形．
（1）证明：矩形，
，
又，
是的中位线，
，
即；
（2）解：四边形是矩形，理由如下：
，
，
矩形，
，
，
又，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
又点E是的中点，
，
，
，
四边形是矩形．
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