资源简介

湖南省长沙市长郡教育集团2025年九年级毕业会考模拟考试数学试卷（四）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025·长沙模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形（能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合）和中心对称图形（能找到一点，使图形旋转180°后与原图重合)这两个定义即可判断.
2．（2025·长沙模拟）根据相关数据显示，长沙市2024年常住人口约1060万人，其中1060万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1060万，
故选：C．
【分析】
先确定a的值，需要把a写成，a=1.06，再根据科学记数法中n的确定规则，的绝对值与小数点移动的位数相同即n=7，最后根据科学记数法的定义即可得．
3．（2025·长沙模拟）长沙市某日早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，则20时的气温为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，
∴，
∴20时的气温为，
故选：C．
【分析】
先计算中午12时的气温，再用中午气温减去晚上降低的温度得到20时的气温即可.
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，原写法错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据合并同类项的法则（合并同类项时系数相减，字母及指数不变），判断各选项是否正确合并同类项.
5．（2025·长沙模拟）在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：，，，，，，．这组数据的中位数是（　　）
A．75 B．78 C．79 D．80
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大进行排序为，，，，，，，
则这组数据的中位数是80，
故选：D．
【分析】
先将数据从小到大的顺序排列，再根据数据的个数为奇数确定中间位置的数即可.
6．（2025·长沙模拟）点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点
∴，即，
故选：C．
【分析】
需根据点的平移规律，“向左平移横坐标较小”的规律计算出向左平移四个单位后的横坐标为-1，在根据“向上平移纵坐标增加”的规律计算出新的坐标为1，最后得到点p'的坐标.
7．（2025·长沙模拟）对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，则选项A正确；
当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，则选项B错误；
函数的图象向下平移4个单位长度得到函数，即的图象，则选项C正确；
∵在一次函数中，，
∴函数值随自变量的增大而减小，则选项D正确；
故选：B．
【分析】
根据一次函数中k，b时，函数经过一、二、四象限，可判断选项A正确；求函数的图象与轴的交点坐标时，令y=0，求出x的值，即可判断选项B错误；根据一次函数图象的平移规律（上下平移时，对y的值进行加减）即可判断选项C正确；根据一次函数的增减性，当k时，y随x的增大而减小，即可判断选项D正确．
8．（2025·长沙模拟）如图所示，，点E在上，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【分析】
先利用三角形内角和为180°定理求出d的度数，再利用平行线的性质(两直线平行，内错角相等）求出d的度数即可.
9．（2025·长沙模拟）如图，若，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：垂直于，如图，
则，
在中，，
，
在中，．
故选：．
【分析】
由图可知，CD⊥AB，根据垂径定理则（垂直于弦的直径平分弦）可得到，再直角三角形AOD中，利用勾股定理可计算出，进而可得到，最后在中在利用勾股定理计算出即可．
10．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（　　）
A．100 B．150 C．200 D．250
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点作轴于点，
是的中点，是菱形，
，
，
轴，O为的中点
∴，
∴，
，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
，
记与轴交于点F，
∵，均垂直轴，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】
过点作轴点，根据菱形的性质，对角线AC与BD互相垂直平分，所以三角形AOD的面积等于菱形面积的一半，又由轴，是的中点，利用相似三角形的性质可计算出=50，再根据全等三角形的判定，可证明，则有，最后在根据反比例函数的几何意义可得，即为的值．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此只要比较方差大小即可求解．
12．（2025·长沙模拟）为了帮助学生们准确区分物理变化和化学变化，化学老师准备了四张形状、大小和背面图案相同的卡片．每张卡片上描述了一个变化：“铁器生锈”“光合作用”“木材燃烧”“冰块融化”．老师将这些卡片背面朝上，充分混合后，让学生随机抽取一张．则抽到描述化学变化的卡片的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，这4张卡片上，有3个是化学变化，1个是物理变化，
∴让学生随机抽取一张卡片共有4种等可能的结果，其中，抽到描述化学变化的卡片的结果共有3种，
∴抽到描述化学变化的卡片的概率是，
故答案为：．
【分析】
首先先确定化学变化的卡片数量，共有4张卡片其中化学变化有3张，再用化学变化卡片数除以总卡片数得到概率即可．
13．（2025·长沙模拟）使分式 有意义的 的取值范围是　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不能为0，列出不等式，求解即可。
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，
∴，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积等于，
故答案为：．
【分析】
先利用旋转的性质可知，旋转前后的图形全等，即，因此，然后根据题意可知阴影部分的面积由扇形面积，两个三角形面积构成，最后利用扇形的面积公式计算即可得．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形的周长为15，则的长为　 　．
【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵四边形周长为15，
∴，
∴．
故答案为：15．
【分析】
根据三角形中位线定理得到，，找出四边形BEFD的边与AB、BC的关系，进而推出四边形为平行四边形，再根据四边形BEFD的周长列出等式并化简，可得到，最后求得．
16．（2025·长沙模拟）如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数，则的值为　 　．
0
3
1
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用九宫格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等这一性质，通过列方程求解出各个未知数的值，进而计算a=b-c-d-e的值即可．
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：
．

【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先分别计算出乘方，绝对值，立方根和特殊角的三角函数的值，然后在按照顺序进行加减计算即可．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
将，代入得：原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】先利用多项式乘法法则展开括号，再合并同类项化简式子，最后将x=-3，y=-1的值代入化简后的式子计算即可得．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，．
（1）作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∴，
∴点M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．

【知识点】线段垂直平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）利用尺规作图法作出线段BC的垂直平分线，确定点M的位置即可；
（2）利用垂直平分线的定义及证明作图线与AC平行，再结合D为BC的中点，可推导出M为AB的中点，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出AB的长，最后利用勾股定理求出BC的长.
（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∴，
∴点M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（2025·长沙模拟）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生；
（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人；
（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．
【答案】（1）40
（2）解：B中人数：，
补全条形统计图如图：
（3）225
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
【分析】（1）利用统计图表提供的信息，用选择A选项的人数除以其占比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择四个实践研学基地的人数这和等于抽取的总人数求出选择B选项的人数，再补全统计图即可；用360°乘以选择B项的人数占比即可求在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数；
（3）用该学校学生总人数乘以样本中选择D项人数的占比即可估计该学校喜欢D项的学生人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由画树状图得出总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：B中人数：，，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，又，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）通过全等三角形的判定定理即可证明两个三角形全等；
（2）首先运用勾股定理计算得到，然后利用（1）中证明的全等关系即可得出最终答案。
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
22．（2025·长沙模拟）某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元；
（2）已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？
【答案】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
（2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴满足条件的所有的值为，
答：共有3种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设、两款文化衫每件分别为x，元，根据价格差和购买总价列方程组求解即可；
（2）设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，根据费用限制和数量关系列不等式组，求出正整数解个数确定方案数即可得．
（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
（2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴满足条件的所有的值为，
答：共有3种购买方案．
23．（2025·长沙模拟）如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴由勾股定理可得：，
连接交于，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
在△ADF中，∠ADF=90°，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
的长为．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质得到，再结合AE=CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出的长度，再连接交于，求得，利用平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
24．（2025·长沙模拟）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点．
（1）如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数．
（2）如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度．
（3）若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度．
【答案】（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．

（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；三角形-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先根据“沉毅三角形”和“朴实三角形”的定义可知，，然后利用圆周角定理可得，最后利用圆周角定义计算出即可；
（2）是的“完美三角形”，连接，利用切线性质（OA⊥AD）和等边三角形性质求出，进而利用等腰三角形性质求出=30°，最后可证明出，从而可得，进而可得与相切，最后三角函数即可得的长度；
（3）对于“沉毅三角形”，，点D可看作点C绕点A旋转60°得到，路径长度等于点C的路径长度，对于“朴实三角形”，为等腰直角三角形，点D与点C满足位似旋转关系，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得．
（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为．
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．
（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
25．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值；
（3）如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为

（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将抛物线与x轴的两个交点坐标A和B代入抛物线方程，建立关于b和c的二元一次方程组，然后解方程组求出b和c的值，最后代入抛物线方程即可；
（2）首先联立抛物线y=-x2+2x+3和直线y=kx+4的方程，得到一个关于x的一元二次方程-x2+2x+3=kx+4，设交点M，N的坐标，利用韦达定理表示出两交点横坐标之和与积，进而求出的表达式，然后再联立直线y=2x与y=kx+4的方程，解得交点P的横坐标，进而得到OP‘的表达式，最后根据已知等式建立关于m的方程并求解即可.
（3）如图（见解析），利用点B（3，0）和C（0，3）的坐标确定为等腰直角三角形可求出，结合旋转和轴对称的性质，通过角的等量代可证明出；然后再利用等腰三角形和等腰直角三角形的性质可得，，设未知数表示出线段的长度，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，计算他们的比值，判断是否为定值由此即可得．
（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
1 / 1湖南省长沙市长郡教育集团2025年九年级毕业会考模拟考试数学试卷（四）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025·长沙模拟）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·长沙模拟）根据相关数据显示，长沙市2024年常住人口约1060万人，其中1060万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）长沙市某日早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，则20时的气温为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长沙模拟）在九年级下学期某次数学模拟检测中，7位同学的成绩依次为：，，，，，，．这组数据的中位数是（　　）
A．75 B．78 C．79 D．80
6．（2025·长沙模拟）点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与轴的交点坐标是
C．函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D．函数值随自变量的增大而减小
8．（2025·长沙模拟）如图所示，，点E在上，且，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）如图，若，，则的长为(　　)
A． B． C． D．
10．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（　　）
A．100 B．150 C．200 D．250
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）为了比较甲、乙、丙三种小麦秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.2，9.8，13.9，由此可知　 　种秧苗长势更整齐（填“甲”“乙”或“丙”）．
12．（2025·长沙模拟）为了帮助学生们准确区分物理变化和化学变化，化学老师准备了四张形状、大小和背面图案相同的卡片．每张卡片上描述了一个变化：“铁器生锈”“光合作用”“木材燃烧”“冰块融化”．老师将这些卡片背面朝上，充分混合后，让学生随机抽取一张．则抽到描述化学变化的卡片的概率是　 　．
13．（2025·长沙模拟）使分式 有意义的 的取值范围是　 　.
14．（2025·长沙模拟）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，在中，，，分别是边，，的中点，四边形的周长为15，则的长为　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，将9个数分别填入九宫格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．若，，，，分别表示其中的一个数，则的值为　 　．
0
3
1
三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，．
（1）作线段的垂直平分线，交斜边于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
20．（2025·长沙模拟）为提升学生实践能力和团队合作精神，增强学生的社会责任感，某市中学选取了四个中小学实践研学基地：．胡耀邦故里旅游区；．浔龙河生态艺术小镇研学旅行基地；．稻花香里农耕文化园；．中联重科工程机械馆．为了解学生的研学意向，随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一个研学基地），根据调查数据绘制成了如图两幅不完整的统计图．
（1）在本次调查中，一共抽取了______名学生；
（2）请补全条形统计图，并计算在扇形统计图中，选项所在扇形的圆心角度数为______；
（3）若该校有600名学生，请估计喜欢的学生有______人；
（4）此次研学小数和小学同时参加，请用列表法或画树状图法，求出这两名同学恰好去同一个研学基地的概率．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，又，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·长沙模拟）某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元．
（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元；
（2）已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？
23．（2025·长沙模拟）如图，在中，，是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
24．（2025·长沙模拟）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点．
（1）如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数．
（2）如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度．
（3）若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度．
25．（2025·长沙模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值；
（3）如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据轴对称图形（能找到一条直线，使图形两部分沿对称轴折叠后可重合）和中心对称图形（能找到一点，使图形旋转180°后与原图重合)这两个定义即可判断.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1060万，
故选：C．
【分析】
先确定a的值，需要把a写成，a=1.06，再根据科学记数法中n的确定规则，的绝对值与小数点移动的位数相同即n=7，最后根据科学记数法的定义即可得．
3．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：∵早上6时的气温是，中午12时气温升高了，到晚上20时气温又降低了，
∴，
∴20时的气温为，
故选：C．
【分析】
先计算中午12时的气温，再用中午气温减去晚上降低的温度得到20时的气温即可.
4．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，原写法错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据合并同类项的法则（合并同类项时系数相减，字母及指数不变），判断各选项是否正确合并同类项.
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将这组数据按从小到大进行排序为，，，，，，，
则这组数据的中位数是80，
故选：D．
【分析】
先将数据从小到大的顺序排列，再根据数据的个数为奇数确定中间位置的数即可.
6．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位得对应点
∴，即，
故选：C．
【分析】
需根据点的平移规律，“向左平移横坐标较小”的规律计算出向左平移四个单位后的横坐标为-1，在根据“向上平移纵坐标增加”的规律计算出新的坐标为1，最后得到点p'的坐标.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵在一次函数中，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，则选项A正确；
当时，，
∴函数的图象与轴的交点坐标是，则选项B错误；
函数的图象向下平移4个单位长度得到函数，即的图象，则选项C正确；
∵在一次函数中，，
∴函数值随自变量的增大而减小，则选项D正确；
故选：B．
【分析】
根据一次函数中k，b时，函数经过一、二、四象限，可判断选项A正确；求函数的图象与轴的交点坐标时，令y=0，求出x的值，即可判断选项B错误；根据一次函数图象的平移规律（上下平移时，对y的值进行加减）即可判断选项C正确；根据一次函数的增减性，当k时，y随x的增大而减小，即可判断选项D正确．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【分析】
先利用三角形内角和为180°定理求出d的度数，再利用平行线的性质(两直线平行，内错角相等）求出d的度数即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：垂直于，如图，
则，
在中，，
，
在中，．
故选：．
【分析】
由图可知，CD⊥AB，根据垂径定理则（垂直于弦的直径平分弦）可得到，再直角三角形AOD中，利用勾股定理可计算出，进而可得到，最后在中在利用勾股定理计算出即可．
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点作轴于点，
是的中点，是菱形，
，
，
轴，O为的中点
∴，
∴，
，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
，
记与轴交于点F，
∵，均垂直轴，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【分析】
过点作轴点，根据菱形的性质，对角线AC与BD互相垂直平分，所以三角形AOD的面积等于菱形面积的一半，又由轴，是的中点，利用相似三角形的性质可计算出=50，再根据全等三角形的判定，可证明，则有，最后在根据反比例函数的几何意义可得，即为的值．
11．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，据此只要比较方差大小即可求解．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，这4张卡片上，有3个是化学变化，1个是物理变化，
∴让学生随机抽取一张卡片共有4种等可能的结果，其中，抽到描述化学变化的卡片的结果共有3种，
∴抽到描述化学变化的卡片的概率是，
故答案为：．
【分析】
首先先确定化学变化的卡片数量，共有4张卡片其中化学变化有3张，再用化学变化卡片数除以总卡片数得到概率即可．
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不能为0，列出不等式，求解即可。
14．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，
∴，，，
∴，
∴图中阴影部分的面积等于，
故答案为：．
【分析】
先利用旋转的性质可知，旋转前后的图形全等，即，因此，然后根据题意可知阴影部分的面积由扇形面积，两个三角形面积构成，最后利用扇形的面积公式计算即可得．
15．【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别是边的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
∵四边形周长为15，
∴，
∴．
故答案为：15．
【分析】
根据三角形中位线定理得到，，找出四边形BEFD的边与AB、BC的关系，进而推出四边形为平行四边形，再根据四边形BEFD的周长列出等式并化简，可得到，最后求得．
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
利用九宫格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等这一性质，通过列方程求解出各个未知数的值，进而计算a=b-c-d-e的值即可．
17．【答案】解：
．

【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先分别计算出乘方，绝对值，立方根和特殊角的三角函数的值，然后在按照顺序进行加减计算即可．
18．【答案】解：原式
．
将，代入得：原式．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式
【解析】【分析】先利用多项式乘法法则展开括号，再合并同类项化简式子，最后将x=-3，y=-1的值代入化简后的式子计算即可得．
19．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∴，
∴点M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．

【知识点】线段垂直平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）利用尺规作图法作出线段BC的垂直平分线，确定点M的位置即可；
（2）利用垂直平分线的定义及证明作图线与AC平行，再结合D为BC的中点，可推导出M为AB的中点，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出AB的长，最后利用勾股定理求出BC的长.
（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
由题意得，，
∴，
∴，
∴点M为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）40
（2）解：B中人数：，
补全条形统计图如图：
（3）225
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
【分析】（1）利用统计图表提供的信息，用选择A选项的人数除以其占比即可求出本次调查抽取的学生总人数；
（2）根据选择四个实践研学基地的人数这和等于抽取的总人数求出选择B选项的人数，再补全统计图即可；用360°乘以选择B项的人数占比即可求在扇形统计图中，B选项所在扇形的圆心角度数；
（3）用该学校学生总人数乘以样本中选择D项人数的占比即可估计该学校喜欢D项的学生人数；
（4）此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，由画树状图得出总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意得，，
故答案为：40；
（2）解：B中人数：，，
补全条形统计图如图：
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：225；
（4）解：画树状图如下：
总共有16种等可能的结果，小数和小学恰好去同一个研学基地的情况有4种，
∴小数和小学恰好去同一个研学基地的概率为．
21．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）通过全等三角形的判定定理即可证明两个三角形全等；
（2）首先运用勾股定理计算得到，然后利用（1）中证明的全等关系即可得出最终答案。
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
22．【答案】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
（2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴满足条件的所有的值为，
答：共有3种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设、两款文化衫每件分别为x，元，根据价格差和购买总价列方程组求解即可；
（2）设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，根据费用限制和数量关系列不等式组，求出正整数解个数确定方案数即可得．
（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元，
由题意得：，
解得，符合题意，
答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
（2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，
由题意得：，
解得，
∵为正整数，
∴满足条件的所有的值为，
答：共有3种购买方案．
23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
．
．
在和中，
，
．
，．
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴由勾股定理可得：，
连接交于，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
设，
，
，
，
在△ADF中，∠ADF=90°，
由勾股定理可得：，
，
解得：（负值舍去），
的长为．
故答案为：.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质得到，再结合AE=CF，即可证出四边形是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出的长度，再连接交于，求得，利用平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程求解即可.
24．【答案】（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．

（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；三角形-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先根据“沉毅三角形”和“朴实三角形”的定义可知，，然后利用圆周角定理可得，最后利用圆周角定义计算出即可；
（2）是的“完美三角形”，连接，利用切线性质（OA⊥AD）和等边三角形性质求出，进而利用等腰三角形性质求出=30°，最后可证明出，从而可得，进而可得与相切，最后三角函数即可得的长度；
（3）对于“沉毅三角形”，，点D可看作点C绕点A旋转60°得到，路径长度等于点C的路径长度，对于“朴实三角形”，为等腰直角三角形，点D与点C满足位似旋转关系，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得．
（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为．
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．
（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
25．【答案】（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为

（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将抛物线与x轴的两个交点坐标A和B代入抛物线方程，建立关于b和c的二元一次方程组，然后解方程组求出b和c的值，最后代入抛物线方程即可；
（2）首先联立抛物线y=-x2+2x+3和直线y=kx+4的方程，得到一个关于x的一元二次方程-x2+2x+3=kx+4，设交点M，N的坐标，利用韦达定理表示出两交点横坐标之和与积，进而求出的表达式，然后再联立直线y=2x与y=kx+4的方程，解得交点P的横坐标，进而得到OP‘的表达式，最后根据已知等式建立关于m的方程并求解即可.
（3）如图（见解析），利用点B（3，0）和C（0，3）的坐标确定为等腰直角三角形可求出，结合旋转和轴对称的性质，通过角的等量代可证明出；然后再利用等腰三角形和等腰直角三角形的性质可得，，设未知数表示出线段的长度，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，计算他们的比值，判断是否为定值由此即可得．
（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
1 / 1

展开更多......

收起↑