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四川省眉山市东坡区苏辙中学共同体九年级半期练习2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请将答案写在答题卡相应题目上．
1．（2025九下·东坡期中）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≠﹣3 C．x≤3 D．x≠3
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
故选D．
【分析】要确定自变量的取值范围，需保证分式有意义，即分母不为零，由此列出不等式求解即可.
2．（2025九下·东坡期中）下列运算中正确的是（　　）
A．＝±2 B．＝2 C．＝3 D．＝-8
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.＝2，故选项A错误；
B.＝-2，故选项B错误；
C.＝3，计算正确，故此选项正确；
D.＝8，故选项D错误.
故选C.
【分析】根据算术平方根和立方根的定义和性质，依次判断每个选项的运算是否正确即可.
3．（2025九下·东坡期中）树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是（　　）
A．2.5×1010 B．2.5×104 C．2.5×1012 D．2.5×1011
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011．
故答案为：D．
【分析】根据2500亿=250000000000，再根据把一个数N记成a×10n或a×10(-n)的形式，叫科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为自然数，当|N|≥1时，记成a×10n的形式，n=整数位数减1，得出正确选项.
4．（2025九下·东坡期中）用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝6 B．（x﹣3）2＝3
C．（x﹣3）2＝0 D．（x﹣3）2＝1
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
∴x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，
故答案为：A.
【分析】把常数项3移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案.
5．（2025九下·东坡期中）将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程得，，
故答案为：A ．
【分析】设原铁皮的边长为xcm，则盒子的底面边长为(x-4-4)cm，盒子的高为4cm，然后根据长方体体积公式结合盒子的容积为400cm3，建立方程即可.
6．（2025九下·东坡期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：B．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式来判别，确定方程中a，b，c的值，将a，b，c代入判别式中，再根据方程有两个实数根，所以，最后求出的取值范围即可．
7．（2025九下·东坡期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．（2025九下·东坡期中）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
，
，即，
，
解为非负数，
，
，
且．
故选：C．
【分析】
通过通分、移项等步骤，将方程转化为整式方程求解，要确定解不能使原方程的分母为零同时解必须满足非负数，最后根据条件即可解答.
9．（2025九下·东坡期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；求正弦值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝5．
∴BC＝
＝
＝4．
∴sinA＝
＝．
故选：A．
【分析】
先根据直角三角形斜边中线定理求出斜边的长，再利用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，最后根据正弦函数的定义求出∠A的正弦值．
10．（2025九下·东坡期中） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
11．（2025九下·东坡期中）如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．⑤，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；多边形的面积
【解析】【解答】解：将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，，，，，
，故①正确；
在中，，
，
设，则，，，
在中，
，
，
解得：，
，
，故④正确；
在中，，设，则，
，
解得：，
，
，，
，故③不正确；
，，，，，，
，
，故②正确；
在中，，故⑤正确，
综上所述，正确的有：①②④⑤，共4个，
故答案为：D
【分析】根据折叠性质以及勾股定理可以求出所需要的边长，即可对①④进行判断，根据可对③进行判断；利用对应边成比例可证明相似三角形对②进行判断，解直角三角形对⑤进行判断．
12．（2025九下·东坡期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，所以②正确；
∵，，
∴，
把代入得，
∴，所以③正确；
∵，对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有4个，
故答案为：A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④.
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24 分．）
13．（2025九下·东坡期中）已知方程 是关于 的一元一次方程，则 =　 　.
【答案】-1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】由一元一次方程的定义得：
解得：
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程”得到关于a的等式，求解即可.
14．（2025九下·东坡期中）分解因式： =　 　．
【答案】5x2(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】5x3-10x2=5x2(x-2)
【分析】提取公因式5x2，得到结果.
15．（2025九下·东坡期中）若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两个实数根，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为．
【分析】
根据一元二次方程有两个实数根，则根的判别式大于零，再利用根与系数的关系可得、结合已知可得x2的值再将x2代入原方程求解出m的值.
16．（2025九下·东坡期中）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】
通过勾股定理计算出三角形边长的长度，从而判断出为等腰三角形，最后利用余弦定理求出值即可.
17．（2025九下·东坡期中）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵轴于点C，
∴点B和点D的纵坐标都为1，
在中，当时，，
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可．
18．（2025九下·东坡期中）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
首先作辅助线，根据圆周角定理，直径所对的圆周角式直角可得，，再根据已知条件，利用全等三角形定理可证明，得到，即得，利用勾股定理得，根据条件可证明，得到，最后将AD，AB，BE 的值代入比例式，可求出BC的长度．
三、解答题（本大题共 8个小题，共 78 分．）
19．（2025九下·东坡期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解： 原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
(1)先分别对二次根式进行化简，再进行分式的运算，最后去绝对值并合并同类项；
(2)先分别化简负整数指数幂、零指数幂、特殊角的余弦值和绝对值，再进行加减运算即可．
（1）解：原式
（2）解： 原式
20．（2025九下·东坡期中）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
21．（2025九下·东坡期中）某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图
（1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）50，
（2）解：A类别人数：（人），
补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
【分析】（1）用C类别的人数除以C类别的占比，即可求出调查的学生总人数，然后再用B类别的人数除以调查的总人数，再乘以360度，即可求出圆心角；
（2）用调查的总人数减去B、C和D类别的人数，即可求出A类别的人数，然后再将条状图补充完整即可；
（3）根据题意，列出所有的可能性，然后再找出“正好是1名男生和1名女生的情况”，最后再用“正好是1名男生和1名女生的情况”的人数除以所有的可能性，即可求解。
（1）解：本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
（2）解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
　
　 （，） （，） （，）
（，） 　 （，） （，）
（，） （，） 　 （，）
（，） （，） （，） 　
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
22．（2025九下·东坡期中）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，过点作，过点作，可构造出矩形BFDE和直角三角形CDE、ABC、ADE，根据坡度关系和坡长，再设米，则米，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数建立方程，求出和的长，从而列出关于的方程即可．
23．（2025九下·东坡期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）则________，________；
（2）若时，则的取值范围是______．
（3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）轴，，
，
，
点到的距离，
，，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）点，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：，；
(2) 由（1）知，，
，
，
当或时，，
故答案为：或；
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B代入反比例函数中求解出参数m和n即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系可得知或时，一次函数的值小于或等于反比例函数；
（3）根据点B坐标，得到BC=6，再求出点到的距离，，根据三角形面积公式，，从而解得．
24．（2025九下·东坡期中） 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元．
（1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知，文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：款文创产品每件的进价80元，则文创产品每件的进价是65元．
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意得：，
解得：，
，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，．
答：购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件款文创产品进价=每件款文创产品进价+15； 960÷每件款文创产品进价=780÷每件B款文创产品进价，再设未知数，列方程，求解即可.
（2）此题的等量关系为：A文创产品的数量+B文创产品的数量=100；购进这两款文创产品共100件的总费用≤7400；设未知数，列不等式，可求出x的取值范围；设总利润为W，可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.
25．（2025九下·东坡期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．
【答案】（1）证明：如图，过作于
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线．
（2）如图，连结CE，
为的直径，

（3）
设 则 而
解得
tan∠OAC
【知识点】切线的判定；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，通过作辅助线，利用角平分线的性质证明圆心到直线的距离等于半径；从而可判断直线式是圆的切线；
（2）通过连接辅助线，根据直径所对的圆周角是直角，可得=90°，再根据等边对等角，可得，则有，最后根据相似三角形的判定定理，可得出解答；
（3）利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得 设 建立方程求解x，最后利用正切函数的定义求解．
（1）证明：如图，过作于
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线．
（2）如图，连结CE，
为的直径，
（3）
设 则 而
解得
tan∠OAC
26．（2025九下·东坡期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知，且是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连接，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作交抛物线的对称轴于H点．设，的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）解：把，且代入得：，
解得：

（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
如图，设，则，，，
分三种情况：
①当时，则，∴；
②当时，即，
∴，则；
③当时，点P在的垂直平分线上，则，
∴，∴，
∴，
∴；
④当时，，∴，
综上所述，P点的坐标或或或

（3）解：设直线的解析式为，
由题意得：，解得：，，
∴．
由（1）得抛物线对应的函数表达式为，
设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，．
①当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
②当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
∴ ．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将已知点A，M的坐标代入抛物线解析式，得到关于a，b的二元一次方程，解方程组求出a，b的值；
（2）抛物线与y轴交于C点，y轴上点的横坐标为0，代入解析式求出C点纵坐标，如图，设，则，，根据勾股定理得到，分情况讨论等腰三角形的条件：①当时，则；②当时；③当时，得到，综上即可得到结论；
（3）首先利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，然后根据NHAC构造相似三角形，利用相似三角形的对应边比例的性质用t表示出的高HG，最后根据三角形面积公式分①当时和②当时两种情况讨论，建立S与t的函数关系式求解即可．
（1）解：把，且代入得：，
解得：；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
如图，设，则，，，
分三种情况：
①当时，则，∴；
②当时，即，
∴，则；
③当时，点P在的垂直平分线上，则，
∴，∴，
∴，
∴；
④当时，，∴，
综上所述，P点的坐标或或或；
（3）解：设直线的解析式为，
由题意得：，解得：，，
∴．
由（1）得抛物线对应的函数表达式为，
设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，．
①当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
②当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
∴ ．
1 / 1四川省眉山市东坡区苏辙中学共同体九年级半期练习2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请将答案写在答题卡相应题目上．
1．（2025九下·东坡期中）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≠﹣3 C．x≤3 D．x≠3
2．（2025九下·东坡期中）下列运算中正确的是（　　）
A．＝±2 B．＝2 C．＝3 D．＝-8
3．（2025九下·东坡期中）树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是（　　）
A．2.5×1010 B．2.5×104 C．2.5×1012 D．2.5×1011
4．（2025九下·东坡期中）用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝6 B．（x﹣3）2＝3
C．（x﹣3）2＝0 D．（x﹣3）2＝1
5．（2025九下·东坡期中）将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，求原铁皮的边长．设原铁皮的边长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·东坡期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
7．（2025九下·东坡期中）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　）
A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件
8．（2025九下·东坡期中）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．（2025九下·东坡期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·东坡期中） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·东坡期中）如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③四边形的面积等于；④．⑤，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2025九下·东坡期中）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，．对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24 分．）
13．（2025九下·东坡期中）已知方程 是关于 的一元一次方程，则 =　 　.
14．（2025九下·东坡期中）分解因式： =　 　．
15．（2025九下·东坡期中）若是关于的方程的两个实数根，且，则的值是　 　．
16．（2025九下·东坡期中）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　 　．
17．（2025九下·东坡期中）如图，在平面直角坐标系中，点均在反比例函数的图象上，点均在一次函数的图象上，且轴于点C，连接，若点A的坐标为，则的面积为　 　．
18．（2025九下·东坡期中）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共 8个小题，共 78 分．）
19．（2025九下·东坡期中）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025九下·东坡期中）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
21．（2025九下·东坡期中）某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：
学生假期阅读量条形统计图 学生假期阅读量扇形统计图
（1）本次调查的学生共有_____人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是______．
（2）请补全条形统计图；
（3）在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．
22．（2025九下·东坡期中）在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长米，坡度，小华在处测得旗杆顶端的仰角为，在处测得旗杆顶端的仰角为．求旗杆的高度．(点，，，在同一平面内，，在同一水平线上，结果保留根号)
23．（2025九下·东坡期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）则________，________；
（2）若时，则的取值范围是______．
（3）过点B作轴于C点，连接，过点C作于点D，求线段的长．
24．（2025九下·东坡期中） 眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元．
（1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知，文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
25．（2025九下·东坡期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
（3）若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．
26．（2025九下·东坡期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知，且是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连接，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作交抛物线的对称轴于H点．设，的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
故选D．
【分析】要确定自变量的取值范围，需保证分式有意义，即分母不为零，由此列出不等式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.＝2，故选项A错误；
B.＝-2，故选项B错误；
C.＝3，计算正确，故此选项正确；
D.＝8，故选项D错误.
故选C.
【分析】根据算术平方根和立方根的定义和性质，依次判断每个选项的运算是否正确即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011．
故答案为：D．
【分析】根据2500亿=250000000000，再根据把一个数N记成a×10n或a×10(-n)的形式，叫科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为自然数，当|N|≥1时，记成a×10n的形式，n=整数位数减1，得出正确选项.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
∴x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，
故答案为：A.
【分析】把常数项3移到等号的右边，再在等式的两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案.
5．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意列方程得，，
故答案为：A ．
【分析】设原铁皮的边长为xcm，则盒子的底面边长为(x-4-4)cm，盒子的高为4cm，然后根据长方体体积公式结合盒子的容积为400cm3，建立方程即可.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
故选：B．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式来判别，确定方程中a，b，c的值，将a，b，c代入判别式中，再根据方程有两个实数根，所以，最后求出的取值范围即可．
7．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件，
故选：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
，
，即，
，
解为非负数，
，
，
且．
故选：C．
【分析】
通过通分、移项等步骤，将方程转化为整式方程求解，要确定解不能使原方程的分母为零同时解必须满足非负数，最后根据条件即可解答.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；求正弦值
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CD＝5．
∴BC＝
＝
＝4．
∴sinA＝
＝．
故选：A．
【分析】
先根据直角三角形斜边中线定理求出斜边的长，再利用勾股定理求出另一条直角边BC的长度，最后根据正弦函数的定义求出∠A的正弦值．
10．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；多边形的面积
【解析】【解答】解：将沿折叠，点恰落在边上的点F处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，
，，，，，
，故①正确；
在中，，
，
设，则，，，
在中，
，
，
解得：，
，
，故④正确；
在中，，设，则，
，
解得：，
，
，，
，故③不正确；
，，，，，，
，
，故②正确；
在中，，故⑤正确，
综上所述，正确的有：①②④⑤，共4个，
故答案为：D
【分析】根据折叠性质以及勾股定理可以求出所需要的边长，即可对①④进行判断，根据可对③进行判断；利用对应边成比例可证明相似三角形对②进行判断，解直角三角形对⑤进行判断．
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，所以②正确；
∵，，
∴，
把代入得，
∴，所以③正确；
∵，对称轴为直线，
∴，
∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确；
综上正确的有4个，
故答案为：A
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由OA=OC可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④.
13．【答案】-1
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】由一元一次方程的定义得：
解得：
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程”得到关于a的等式，求解即可.
14．【答案】5x2(x-2)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】5x3-10x2=5x2(x-2)
【分析】提取公因式5x2，得到结果.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于的方程的两个实数根，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为．
【分析】
根据一元二次方程有两个实数根，则根的判别式大于零，再利用根与系数的关系可得、结合已知可得x2的值再将x2代入原方程求解出m的值.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；求余弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
故答案为：．
【分析】
通过勾股定理计算出三角形边长的长度，从而判断出为等腰三角形，最后利用余弦定理求出值即可.
17．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵轴于点C，
∴点B和点D的纵坐标都为1，
在中，当时，，
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
先利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再根据题意得到，则点B和点D的纵坐标都为1，据此求出B、D的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可．
18．【答案】8
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长，交于，
是的直径，
，，
平分，
，
又∵，
∴，
，
，
，，
，
，
又∵，
∴，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
首先作辅助线，根据圆周角定理，直径所对的圆周角式直角可得，，再根据已知条件，利用全等三角形定理可证明，得到，即得，利用勾股定理得，根据条件可证明，得到，最后将AD，AB，BE 的值代入比例式，可求出BC的长度．
19．【答案】（1）解：原式
（2）解： 原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】
(1)先分别对二次根式进行化简，再进行分式的运算，最后去绝对值并合并同类项；
(2)先分别化简负整数指数幂、零指数幂、特殊角的余弦值和绝对值，再进行加减运算即可．
（1）解：原式
（2）解： 原式
20．【答案】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
21．【答案】（1）50，
（2）解：A类别人数：（人），
补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
（，） （，） （，）
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
【分析】（1）用C类别的人数除以C类别的占比，即可求出调查的学生总人数，然后再用B类别的人数除以调查的总人数，再乘以360度，即可求出圆心角；
（2）用调查的总人数减去B、C和D类别的人数，即可求出A类别的人数，然后再将条状图补充完整即可；
（3）根据题意，列出所有的可能性，然后再找出“正好是1名男生和1名女生的情况”，最后再用“正好是1名男生和1名女生的情况”的人数除以所有的可能性，即可求解。
（1）解：本题调查的学生人数为（人），
B所对应的扇形的圆心角的度数是，
故答案为：50，；
（2）解：A类别人数：（人），补全条形统计图如图所示；
（3）解：设两名男生为，，两名女生为，，根据题意，列表如下：
　
　 （，） （，） （，）
（，） 　 （，） （，）
（，） （，） 　 （，）
（，） （，） （，） 　
由表格可知：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中正好是1名男生和1名女生的情况有8种，所以恰好是1名男生和1名女生的概率为.
22．【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
依据题意得：，，
坡长米，坡度，
，
设米，则米，
在中，
(米)，
，解得：，
米，则米，
设米，
米，
在中，，
(米)，
在中，，
米，
，
，
解得：，
(米)，
旗杆的高度为米．
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；求正切值
【解析】【分析】通过作辅助线构造直角三角形，过点作，过点作，可构造出矩形BFDE和直角三角形CDE、ABC、ADE，根据坡度关系和坡长，再设米，则米，利用勾股定理求出、的长．再设米，则米，最后分别在和中利用锐角三角函数建立方程，求出和的长，从而列出关于的方程即可．
23．【答案】（1），；
（2）或；
（3）轴，，
，
，
点到的距离，
，，
，
，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）点，在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：，；
(2) 由（1）知，，
，
，
当或时，，
故答案为：或；
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B代入反比例函数中求解出参数m和n即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象交点的横坐标和图象的位置关系可得知或时，一次函数的值小于或等于反比例函数；
（3）根据点B坐标，得到BC=6，再求出点到的距离，，根据三角形面积公式，，从而解得．
24．【答案】（1）解：款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：款文创产品每件的进价80元，则文创产品每件的进价是65元．
（2）解：设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意得：，
解得：，
，
，随的增大而增大，
当时，利润最大，．
答：购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件款文创产品进价=每件款文创产品进价+15； 960÷每件款文创产品进价=780÷每件B款文创产品进价，再设未知数，列方程，求解即可.
（2）此题的等量关系为：A文创产品的数量+B文创产品的数量=100；购进这两款文创产品共100件的总费用≤7400；设未知数，列不等式，可求出x的取值范围；设总利润为W，可得到W关于x的函数解析式，利用一次函数的性质可求解.
25．【答案】（1）证明：如图，过作于
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线．
（2）如图，连结CE，
为的直径，

（3）
设 则 而
解得
tan∠OAC
【知识点】切线的判定；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，通过作辅助线，利用角平分线的性质证明圆心到直线的距离等于半径；从而可判断直线式是圆的切线；
（2）通过连接辅助线，根据直径所对的圆周角是直角，可得=90°，再根据等边对等角，可得，则有，最后根据相似三角形的判定定理，可得出解答；
（3）利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得 设 建立方程求解x，最后利用正切函数的定义求解．
（1）证明：如图，过作于
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线．
（2）如图，连结CE，
为的直径，
（3）
设 则 而
解得
tan∠OAC
26．【答案】（1）解：把，且代入得：，
解得：

（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
如图，设，则，，，
分三种情况：
①当时，则，∴；
②当时，即，
∴，则；
③当时，点P在的垂直平分线上，则，
∴，∴，
∴，
∴；
④当时，，∴，
综上所述，P点的坐标或或或

（3）解：设直线的解析式为，
由题意得：，解得：，，
∴．
由（1）得抛物线对应的函数表达式为，
设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，．
①当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
②当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
∴ ．

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）将已知点A，M的坐标代入抛物线解析式，得到关于a，b的二元一次方程，解方程组求出a，b的值；
（2）抛物线与y轴交于C点，y轴上点的横坐标为0，代入解析式求出C点纵坐标，如图，设，则，，根据勾股定理得到，分情况讨论等腰三角形的条件：①当时，则；②当时；③当时，得到，综上即可得到结论；
（3）首先利用对称轴公式求出抛物线的对称轴，然后根据NHAC构造相似三角形，利用相似三角形的对应边比例的性质用t表示出的高HG，最后根据三角形面积公式分①当时和②当时两种情况讨论，建立S与t的函数关系式求解即可．
（1）解：把，且代入得：，
解得：；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∴，
如图，设，则，，，
分三种情况：
①当时，则，∴；
②当时，即，
∴，则；
③当时，点P在的垂直平分线上，则，
∴，∴，
∴，
∴；
④当时，，∴，
综上所述，P点的坐标或或或；
（3）解：设直线的解析式为，
由题意得：，解得：，，
∴．
由（1）得抛物线对应的函数表达式为，
设与抛物线的对称轴交于点F，直线与x轴交于E点，则，．
①当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
②当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴ ，
∴，即；
∴ ．
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