资源简介

四川省绵阳市北川羌族自治县2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（2025八下·北川期中）下列各式中，二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·北川期中）函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·北川期中）下列各图能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·北川期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·北川期中）化简：等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·北川期中）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
7．（2025八下·北川期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025八下·北川期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移2个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
9．（2025八下·北川期中）下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·北川期中）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
11．（2025八下·北川期中）如图，在中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
12．（2025八下·北川期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（2025八下·北川期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是　 　 ．
14．（2025八下·北川期中）点、都在同一个正比例函数图象上，则　 　 ．
15．（2025八下·北川期中）已知，则代数式的值为　 　．
16．（2025八下·北川期中）如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边　 　．
17．（2025八下·北川期中）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　 　m．
18．（2025八下·北川期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，直线与双曲线的另一个交点为C．现给出以下结论：
①一定是直角三角形；
②一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得；
④对于任意的正数k，都存在b，使得．
其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（共6小题，46分）
19．（2025八下·北川期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
20．（2025八下·北川期中）先化简，再求值：，其中．
21．（2025八下·北川期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，且点到轴的距离为2，求点的坐标．
22．（2025八下·北川期中）某市住宅电话的资费标准为：通话前分钟计费元，以后每分钟不足分钟按分钟计加收元．
（1）设一次通话的时间为分钟，资费为元，当时，写出与之间的关系式．
（2）某人一次通话的时间为分钟，他这次通话的资费是多少元？
（3）某人一次通话的资费为元，他这次的通话时间为多少分钟？
23．（2025八下·北川期中）如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．
（1）求点的坐标；
（2）求折痕所在直线的解析式．
24．（2025八下·北川期中）如图1，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，延长交于，连接交于点，过点作交的延长线于点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，当时，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C
【分析】
根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，依次判断各选项是否满足被开方数非负且根指数为2即可.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故选：A．
【分析】
先根据二次根式被开方数大于零及分母不为零的条件，列出关于x的不等式，再求解不等式得到自变量取值范围.
3．【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】图象D中，每给出一个x值，就会有唯一的y值与之对应，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】
根据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，1+1=2，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、∵，设，，，a+2a=3a，不能组成三角形，故选项B不符合题意；
C，，最大角，不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、，，，，是直角三角形，故选项D符合题意.
故选：D.
【分析】根据三角形三边关系判断A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】先将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质进行化简即可.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴的值随着的增大而增大，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
明确一次函数的单调性，一次函数中当时，的值随着的增大而增大；，的值随着的增大而减小即可解答．
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；圆的面积
【解析】【解答】解：（1）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（3）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（4）S1=，S2=，S3=，
∵，∴S1+S2=S3．
综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选D．
【分析】根据等边三角形，半圆，等腰直角三角形，正方形面积，结合勾股定理逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象由直线向下平移2个单位长度得到，
∴，
∵，
∴一次函数的图象位于第二、三、四象限．
故选：D．
【分析】
先根据平移规律得出平移后的解析式，再根据k和b的符号判断函数图象经过的象限.
9．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；
C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据一次函数y=kx+b的图像特征判断k、b的正负性，进而得到kb的正负性，再根据正比例函数y=kbx图象特征判断kb的正负性，最后对比两者判断kb正负性的结果是否一致，以此来确定正确选项.
10．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
11．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作的平分线交于点，过作于．
又，即，
．
，，
，
，
∵又，
，
．
设，则，，
在中，，
∴，
，
解得．
．
故选：B．
【分析】
作辅助线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得到PD=PC，再根据全等三角形判定定理AAS可得到全等，再根据勾股定理得出AB的长度，则得到BD为2，再利用勾股定理建立方程组解出PC的值，进而可求出BP的长度.
12．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点，
令，则，解得，
，
令，则，
，
，
，
如图，取的中点，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
，
．
，，
，
，
如图，分两种情况考虑：
①当点在轴正半轴上时，，
；
②当点在轴负半轴上时，，
．
故选：D．
【分析】
首先根据直线解析式，分别令x=0和y=0，求出点B和A的坐标，利用三角函数或勾股定理逆定理求出的度数，进而得到的度数，根据点C是x轴上的一点且OC=2，所以要分情况：情况一：当点C再x轴正半轴上，得出一种结果为75°；情况二：当点C在负半轴上，得出结果为165°.
13．【答案】y
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
，，
在中，由勾股定理可知：，
由折叠性质可知，
，
设，则，
由勾股定理得：，解得，
，
设直线解析式为，
代入点坐标得：，解得，
直线的函数解析式是．
故答案为：．
【分析】
根据题意知，直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，将对应值代入直线解析式可求出交点坐标，根据折叠，利用勾股定理求出AB的长度，再结合OA长度确定B'坐标，再利用折叠性质MB'=MB，可得出M的坐标，最后设直线AM解析式为y=kx+b，将点A和点M代入即可解答.
14．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】设正比例函数解析式为，
将点代入中，
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为，
∵点在正比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
首先设正比例函数解析式，利用A点坐标求出比例系数k的值，再将点B代入解析式中求出n即可.
15．【答案】13
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：13．
【分析】先根据题意求出，将该等式两边同时平方可得，进而将待求式子利用拆项的方法变形为x2+2x+1+1后再整体代入计算即可.
16．【答案】13
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，是直角三角形，，
∴，，且，
∴，
故答案为： ．
【分析】
需知道直角边为边长的正方形面积即为直角边的平方，并利用勾股定理建立等量关系求解斜边的长度即可．
17．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意，将木块展开，
，
可知，蚂蚁爬过的最短路程是两条直角边分别为AB+2个正方形的宽，即6+1×2=8和4的直角三角形的斜边，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短即可得出答案.
18．【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，令与轴，轴分别交于，，
联立，整理得，
解得：，，
则，，
∴，
则，
∴，
∵直线与双曲线的另一个交点为C，
则点与点关于原点对称，
∴，
则，
∵，
∴，
∴为直角三角形，故①正确；
对于直线，当时，，当时，，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由三角形外角可知，，
∴一定不是等腰直角三角形，故②正确；
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵反比例函数与坐标轴不相交，
∴，
则，不可能存在实数使得，故③错误；
∵，，
∴
，
由，
∴，
则，
当时，关于的方程都有解，
∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】
首先联立直线和双曲线两个解析式，整理得，求出交点A、B的坐标，并利用两点间的距离公式计算OA、OB的长度，判断OA、OB的关系，利用反比例函数图象的性质和等腰三角形的性质可知点与点关于原点对称，得，则，进而求得，即判断①正确；求出直线与x轴、y轴的交点M、N的坐标，可得，可知为等腰直角三角形，再通过三角形外角可知，，即可可判断②正确；在等腰直角三角形中，利用勾股定理可知，由于反比例函数与坐标轴不相交，所以，即可判断③错误；根据韦达定理，可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④．
19．【答案】（1）解：
=
=
=；

（2）
=
=
=；
（3）=
=
=
=
=
（4）=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）先分别根据绝对值的性质、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则和零指数幂计算各项的值，最后将各项的值在进行加减运算即可；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，在合并同类二次根式即可解答；
（3）利用乘法分配律展开式子，再根据二次根式乘法法则计算即可；
（4）先分别计算平方差公式和完全平方公式，再将两部分的结果进行相加即可．
（1）解：
=
=
=；
（2）=
=
=；
（3）=
=
=
=
=；
（4）=
=
=
20．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
先对x进行分母有理化，再分别化简表达式中的两个分式，合并后将x的值代入计算即可.
21．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为；

（2）∵点在直线上，且点到轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或-2，
当y=2时，=2，解得x=2，∴C（2，2）；
当y=-2时，=-2，解得x=-6，∴C（-6，-2），
综上，点的坐标为（2，2）或（-6，-2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据直线方程的定义y=kx+b。利用已知的两点A（-2，0）和B（0，1）求解斜率k和截距b即可求解；
（2）根据点到轴的距离为2，确定点C的纵坐标为2或-2，然后代入直线AB的解析式求解得到点C的坐标即可．
22．【答案】（1）解：根据题意可知：超过分钟的话费为，
则一次通话时间分钟，与之间的关系式为，
与之间的关系式为；

（2），
把代入得，，
他这次通话的资费是元；
（3），
，
当时，，
解得，
他这次的通话时间为分钟
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）先确定超过3分钟的通话时间，再根据“总资费=前3分钟费用+超过部分费用”列出关系式；
（2）将通话时间代入第（1）问的关系式中即可求解；
（3）将资费代入第(1)问的关系式中，解方程求通话时间.
（1）解：根据题意可知：超过分钟的话费为，
则一次通话时间分钟，与之间的关系式为，
与之间的关系式为；
（2），
把代入得，，
他这次通话的资费是元；
（3），
，
当时，，
解得，
他这次的通话时间为分钟．
23．【答案】（1）解：如图：∵四边形OABC是矩形纸片，
∴OA=BC=20 OC=AB=12，
∵△CBM沿CM翻折后得到△CB'M
∴CB'=CB=20
∵△OCB'是直角三角形
∴OB'=
∵B'点在轴上，
∴B'点坐标为（16，0）；
（2）解：设，则
∵OA=20 OB'=16
∴
∵△CBM沿CM翻折后得到△CB'M
∴
在Rt△AB'M 中
∴M点坐标为（20，）
又C点坐标为（0，12 ）
设过C、M两点的直线CM的解析式为()，则：
∴；
∴直线CM的解析式为.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形性质得OA=BC=20 OC=AB=12，由折叠的性质得到CB'=CB=10，B'M=BM，在Rt△OCB'中，利用勾股定理易得OB'=8，从而结合x轴上点的纵坐标为零即可得到B'点的坐标；
（2）设AM=x，则BM=B'M=12-x，而AB'=OA-OB'=4，在Rt△AB'M中，利用勾股定理建立方程求出x的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可．
24．【答案】（1）证明：，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：，
，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：设，则，
，，
，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，，
，
，
如图，过点F作，垂足为点Q，
设，
，，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出==45°，结合已知条件，利用全等三角形定理（）证明；
（2）先证明，得，再利用平行四边形性质和角度代换证明为等腰三角形，则有，最后通过线段和差关系即可得出结论；
(3) 由第（1）问和第（2）问两个全等三角形可得出，进而得出为等腰三角形。设，列出方程，再求解即可．
（1）证明：，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：，
，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：设，则，
，，
，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，，
，
，
如图，过点F作，垂足为点Q，
设，
，，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
．
1 / 1四川省绵阳市北川羌族自治县2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（2025八下·北川期中）下列各式中，二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是三次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意；
D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C
【分析】
根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，依次判断各选项是否满足被开方数非负且根指数为2即可.
2．（2025八下·北川期中）函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
故选：A．
【分析】
先根据二次根式被开方数大于零及分母不为零的条件，列出关于x的不等式，再求解不等式得到自变量取值范围.
3．（2025八下·北川期中）下列各图能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念；函数的图象
【解析】【解答】图象D中，每给出一个x值，就会有唯一的y值与之对应，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】
根据函数的定义：在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数.
4．（2025八下·北川期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，1+1=2，不能组成三角形，故选项A不符合题意；
B、∵，设，，，a+2a=3a，不能组成三角形，故选项B不符合题意；
C，，最大角，不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、，，，，是直角三角形，故选项D符合题意.
故选：D.
【分析】根据三角形三边关系判断A、B选项，利用三角形内角和定理求出最大角的度数判定C、D选项，即可求解.
5．（2025八下·北川期中）化简：等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】先将带分数化为假分数，再根据二次根式的性质进行化简即可.
6．（2025八下·北川期中）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴的值随着的增大而增大，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
明确一次函数的单调性，一次函数中当时，的值随着的增大而增大；，的值随着的增大而减小即可解答．
7．（2025八下·北川期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；圆的面积
【解析】【解答】解：（1）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（2）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（3）S1=，S2=，S3=，
∵，
∴，
∴S1+S2=S3．
（4）S1=，S2=，S3=，
∵，∴S1+S2=S3．
综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选D．
【分析】根据等边三角形，半圆，等腰直角三角形，正方形面积，结合勾股定理逐项进行判断即可求出答案.
8．（2025八下·北川期中）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象由直线向下平移2个单位长度得到，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象由直线向下平移2个单位长度得到，
∴，
∵，
∴一次函数的图象位于第二、三、四象限．
故选：D．
【分析】
先根据平移规律得出平移后的解析式，再根据k和b的符号判断函数图象经过的象限.
9．（2025八下·北川期中）下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：根据一次函数的图象分析可得：
A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意；
C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
根据一次函数y=kx+b的图像特征判断k、b的正负性，进而得到kb的正负性，再根据正比例函数y=kbx图象特征判断kb的正负性，最后对比两者判断kb正负性的结果是否一致，以此来确定正确选项.
10．（2025八下·北川期中）如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的整数解有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：把代入直线得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（5，0），
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为2，3，4，共3个，故B正确．
故选：B.
【分析】求出直线与x轴的交点坐标，然后得到在x轴上方且直线 在直线 上方的自变量x的取值范围即可．
11．（2025八下·北川期中）如图，在中，，，，在边上找一点，使得点到点的距离与点到边的距离相等，则的长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作的平分线交于点，过作于．
又，即，
．
，，
，
，
∵又，
，
．
设，则，，
在中，，
∴，
，
解得．
．
故选：B．
【分析】
作辅助线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得到PD=PC，再根据全等三角形判定定理AAS可得到全等，再根据勾股定理得出AB的长度，则得到BD为2，再利用勾股定理建立方程组解出PC的值，进而可求出BP的长度.
12．（2025八下·北川期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点，
令，则，解得，
，
令，则，
，
，
，
如图，取的中点，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴，
，
．
，，
，
，
如图，分两种情况考虑：
①当点在轴正半轴上时，，
；
②当点在轴负半轴上时，，
．
故选：D．
【分析】
首先根据直线解析式，分别令x=0和y=0，求出点B和A的坐标，利用三角函数或勾股定理逆定理求出的度数，进而得到的度数，根据点C是x轴上的一点且OC=2，所以要分情况：情况一：当点C再x轴正半轴上，得出一种结果为75°；情况二：当点C在负半轴上，得出结果为165°.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（2025八下·北川期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是　 　 ．
【答案】y
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：直线与轴、轴分别交于点和点，
，，
在中，由勾股定理可知：，
由折叠性质可知，
，
设，则，
由勾股定理得：，解得，
，
设直线解析式为，
代入点坐标得：，解得，
直线的函数解析式是．
故答案为：．
【分析】
根据题意知，直线与x轴交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0，将对应值代入直线解析式可求出交点坐标，根据折叠，利用勾股定理求出AB的长度，再结合OA长度确定B'坐标，再利用折叠性质MB'=MB，可得出M的坐标，最后设直线AM解析式为y=kx+b，将点A和点M代入即可解答.
14．（2025八下·北川期中）点、都在同一个正比例函数图象上，则　 　 ．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】设正比例函数解析式为，
将点代入中，
得：，
解得：，
∴正比例函数解析式为，
∵点在正比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
首先设正比例函数解析式，利用A点坐标求出比例系数k的值，再将点B代入解析式中求出n即可.
15．（2025八下·北川期中）已知，则代数式的值为　 　．
【答案】13
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：13．
【分析】先根据题意求出，将该等式两边同时平方可得，进而将待求式子利用拆项的方法变形为x2+2x+1+1后再整体代入计算即可.
16．（2025八下·北川期中）如图，以的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别为，则斜边　 　．
【答案】13
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，是直角三角形，，
∴，，且，
∴，
故答案为： ．
【分析】
需知道直角边为边长的正方形面积即为直角边的平方，并利用勾股定理建立等量关系求解斜边的长度即可．
17．（2025八下·北川期中）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是　 　m．
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：根据题意，将木块展开，
，
可知，蚂蚁爬过的最短路程是两条直角边分别为AB+2个正方形的宽，即6+1×2=8和4的直角三角形的斜边，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短即可得出答案.
18．（2025八下·北川期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，直线与双曲线的另一个交点为C．现给出以下结论：
①一定是直角三角形；
②一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得；
④对于任意的正数k，都存在b，使得．
其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，令与轴，轴分别交于，，
联立，整理得，
解得：，，
则，，
∴，
则，
∴，
∵直线与双曲线的另一个交点为C，
则点与点关于原点对称，
∴，
则，
∵，
∴，
∴为直角三角形，故①正确；
对于直线，当时，，当时，，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由三角形外角可知，，
∴一定不是等腰直角三角形，故②正确；
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵反比例函数与坐标轴不相交，
∴，
则，不可能存在实数使得，故③错误；
∵，，
∴
，
由，
∴，
则，
当时，关于的方程都有解，
∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】
首先联立直线和双曲线两个解析式，整理得，求出交点A、B的坐标，并利用两点间的距离公式计算OA、OB的长度，判断OA、OB的关系，利用反比例函数图象的性质和等腰三角形的性质可知点与点关于原点对称，得，则，进而求得，即判断①正确；求出直线与x轴、y轴的交点M、N的坐标，可得，可知为等腰直角三角形，再通过三角形外角可知，，即可可判断②正确；在等腰直角三角形中，利用勾股定理可知，由于反比例函数与坐标轴不相交，所以，即可判断③错误；根据韦达定理，可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④．
三、解答题（共6小题，46分）
19．（2025八下·北川期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
=
=
=；

（2）
=
=
=；
（3）=
=
=
=
=
（4）=
=
=
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）先分别根据绝对值的性质、算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则和零指数幂计算各项的值，最后将各项的值在进行加减运算即可；
（2）先将二次根式化为最简二次根式，在合并同类二次根式即可解答；
（3）利用乘法分配律展开式子，再根据二次根式乘法法则计算即可；
（4）先分别计算平方差公式和完全平方公式，再将两部分的结果进行相加即可．
（1）解：
=
=
=；
（2）=
=
=；
（3）=
=
=
=
=；
（4）=
=
=
20．（2025八下·北川期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的性质与化简；分母有理化；二次根式的化简求值
【解析】【分析】
先对x进行分母有理化，再分别化简表达式中的两个分式，合并后将x的值代入计算即可.
21．（2025八下·北川期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，且点到轴的距离为2，求点的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为；

（2）∵点在直线上，且点到轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或-2，
当y=2时，=2，解得x=2，∴C（2，2）；
当y=-2时，=-2，解得x=-6，∴C（-6，-2），
综上，点的坐标为（2，2）或（-6，-2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据直线方程的定义y=kx+b。利用已知的两点A（-2，0）和B（0，1）求解斜率k和截距b即可求解；
（2）根据点到轴的距离为2，确定点C的纵坐标为2或-2，然后代入直线AB的解析式求解得到点C的坐标即可．
22．（2025八下·北川期中）某市住宅电话的资费标准为：通话前分钟计费元，以后每分钟不足分钟按分钟计加收元．
（1）设一次通话的时间为分钟，资费为元，当时，写出与之间的关系式．
（2）某人一次通话的时间为分钟，他这次通话的资费是多少元？
（3）某人一次通话的资费为元，他这次的通话时间为多少分钟？
【答案】（1）解：根据题意可知：超过分钟的话费为，
则一次通话时间分钟，与之间的关系式为，
与之间的关系式为；

（2），
把代入得，，
他这次通话的资费是元；
（3），
，
当时，，
解得，
他这次的通话时间为分钟
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）先确定超过3分钟的通话时间，再根据“总资费=前3分钟费用+超过部分费用”列出关系式；
（2）将通话时间代入第（1）问的关系式中即可求解；
（3）将资费代入第(1)问的关系式中，解方程求通话时间.
（1）解：根据题意可知：超过分钟的话费为，
则一次通话时间分钟，与之间的关系式为，
与之间的关系式为；
（2），
把代入得，，
他这次通话的资费是元；
（3），
，
当时，，
解得，
他这次的通话时间为分钟．
23．（2025八下·北川期中）如图，矩形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，．在上取一点M，使得沿翻折后，点B落在x轴上，记作点．
（1）求点的坐标；
（2）求折痕所在直线的解析式．
【答案】（1）解：如图：∵四边形OABC是矩形纸片，
∴OA=BC=20 OC=AB=12，
∵△CBM沿CM翻折后得到△CB'M
∴CB'=CB=20
∵△OCB'是直角三角形
∴OB'=
∵B'点在轴上，
∴B'点坐标为（16，0）；
（2）解：设，则
∵OA=20 OB'=16
∴
∵△CBM沿CM翻折后得到△CB'M
∴
在Rt△AB'M 中
∴M点坐标为（20，）
又C点坐标为（0，12 ）
设过C、M两点的直线CM的解析式为()，则：
∴；
∴直线CM的解析式为.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由矩形性质得OA=BC=20 OC=AB=12，由折叠的性质得到CB'=CB=10，B'M=BM，在Rt△OCB'中，利用勾股定理易得OB'=8，从而结合x轴上点的纵坐标为零即可得到B'点的坐标；
（2）设AM=x，则BM=B'M=12-x，而AB'=OA-OB'=4，在Rt△AB'M中，利用勾股定理建立方程求出x的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可．
24．（2025八下·北川期中）如图1，在中，，，为边的一点，为边上一点，连接，交于点且，平分交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，延长交于，连接交于点，过点作交的延长线于点，求证：；
（3）在（2）问的条件下，当时，若，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：，
，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：设，则，
，，
，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，，
，
，
如图，过点F作，垂足为点Q，
设，
，，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出==45°，结合已知条件，利用全等三角形定理（）证明；
（2）先证明，得，再利用平行四边形性质和角度代换证明为等腰三角形，则有，最后通过线段和差关系即可得出结论；
(3) 由第（1）问和第（2）问两个全等三角形可得出，进而得出为等腰三角形。设，列出方程，再求解即可．
（1）证明：，，
，
平分，
，
，
在和中，
，
，
（2）证明：，
，
，，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，，
；
（3）解：设，则，
，，
，，
，
，
解得，
，，
，
，
，，，
，
，
如图，过点F作，垂足为点Q，
设，
，，
，
，
由（2）得：，
，
，
，
．
1 / 1

展开更多......

收起↑