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湖南省湘潭市湘钢二中教育集团2024-2025学年下学期 七年级数学期中考试卷
一、单选题（3×10＝30）
1．（2025七下·湘潭期中）下列各式中，不是不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·湘潭期中）在下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
3．（2025七下·湘潭期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·湘潭期中）某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·湘潭期中）下列判断正确的是（　　）
A．一个数的倒数等于它本身，这个数是1
B．一个实数的绝对值等于它本身，这个数是正数
C．一个实数的相反数等于它本身，这个数是0
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是1
6．（2025七下·湘潭期中）以下说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．
C．的算术平方根是3 D．
7．（2025七下·湘潭期中）已知关于x的二次三项式可以写成一个完全平方式，则k的值是（　　）
A． B．36 C． D．9
8．（2025七下·湘潭期中）如图，图形面积可以由以下哪个公式表示（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·湘潭期中）若与互为相反数，则的值是（　　）
A．6 B． C．8 D．
10．（2025七下·湘潭期中）已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（3×8＝24）
11．（2025七下·湘潭期中）计算：　 　．
12．（2025七下·湘潭期中）计算：　 　．
13．（2025七下·湘潭期中）不等式的解集为　 　．
14．（2025七下·湘潭期中）要做一只容积为的正方体纸盒，则该正方体的棱长为　 　cm．
15．（2025七下·湘潭期中）已知，，，，则的值约是　 　．
16．（2025七下·湘潭期中）若，，则　 　．
17．（2025七下·湘潭期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时，　 　．
18．（2025七下·湘潭期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　 　 ．
三、解答题（6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝66）
19．（2025七下·湘潭期中）计算：．
20．（2025七下·湘潭期中）先化简，再求值：，其中，．
21．（2025七下·湘潭期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2．
（1）求m的值；
（2）求的平方根，
22．（2025七下·湘潭期中）解下列不等式（组）并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
23．（2025七下·湘潭期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式组．
（1）试求出的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为．
24．（2025七下·湘潭期中）盱眙县正在创建“全国文明城市”，学校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种件，B种件，共需元；如果购买A种件，B种件，共需元．请你解决如下问题：
（1）A，B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A，B两种奖品共件，A的数量不超过件，且B的数量不超过A的数量的倍，请问如何制定购买奖杯的方案，所花费用最省？费用最少是多少？
25．（2025七下·湘潭期中）如图（1）所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
（2）直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：．
26．（2025七下·湘潭期中）综合与探究
下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是．
任务一：
（1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________；
（2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）直接比较和的大小；
任务二：
（4）设，a是整数，b满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A、是不等式，故A不符合题意；
B、是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、是不等式，故C不符合题意；
D、是不等式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据不等式的定义（用不等号连接的式子），判断各选项是否为不等式.
2．【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】A、，是无理数，故本选项正确
B、，是有理数，故本选项错误；
C、；0是有理数，故本选项错误；
D、是有限小数，是有理数，故本选项错误；
故选：A．
【分析】
判断一个数是否为无理数，关键看它是否能化为有限小数或无线循环小数，若不能，则为无理数，需要对每个选项中的数进行化简，再根据无理数定义判断.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、应为，故错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法运算法则，逐一分析选项即可.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，该不等式组的解集为，
故选：C．
【分析】
根据数轴上点的类型（实心点或空心圈）以及折线方向所代表的数字含义即可解答.
5．【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求算术平方根
【解析】【解答】解：倒数等于它本身的数只有，故A选项错误，不符合题意；
绝对值等于它本身的数是正数和0，故B选项错误，不符合题意；
一个实数的相反数等于它本身，这个数是0，正确，故C选项符合题意；
算术平方根等于它本身的数是 1 或0，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据倒数、绝对值、相反数及算数平方根的定义及性质，逐一判断各选项的正确性.
6．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.9的平方根是，故不正确；
B． ，故不正确；
C．的算术平方根是，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【分析】
先明确平方根和算数平方根的定义，再根据定义逐一判断各选项的正确性.
7．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵的二次三项式可以写成一个完全平方式，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据完全平方式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，再通过一次项系数求出常数项的平方根，进而得到k值.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可得出：大正方形面积为：(a+b)2，
大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选C．
【分析】
利用“面积法”建立等量关系：将图形视为一个边长为(a+b)的大正方形，直接利用正方形面积公式计算；将图形分割成四个小图形（两个正方形和两个长方形），分别计算面积后求和。通过两种计算结果相等，即可验证对应的代数恒等式.
9．【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴
，，
解得，，
．
故选：D．
【分析】
根据相反数的性质得到两个二次根式的和为0，再结合二次根式的非负性求出x和y的值，最后代入计算xy的值.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
11．【答案】3
【知识点】求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
先分别计算绝对值和立方根，再将结果相加即可.
12．【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：
【分析】
先根据积的乘方运算法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【分析】直接根据不等式的解法进行求解即可．
14．【答案】6
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，根据题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据正方体体积公式，设棱长为未知数，通过计算找到棱长的立方等于216的数即可.
15．【答案】
【知识点】无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据算数平方根的性质，通过观察已知条件中被开方数与所求被开方数之间的关系，进而得出近似值即可.
16．【答案】50
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：50．
【分析】
根据完全平方公式对和进行变形，再将已知条件a+b=6，ab=7代入变形后的式子进行计算即可.
17．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算定义计算括号内的，再将结果与3进行新运算即可.
18．【答案】0
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题图可知：，且
．
故答案是：0．
【分析】
根据数轴上实数a和b的位置，利用绝对值、平方根和立方根的性质化简给定的表达式即可.
19．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算乘方、开方、绝对值，再进行加减运算即可.
20．【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简，再代入x=2，y=-1计算结果即可.
21．【答案】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根，
∴，
∴，
∴
（2）由题意，得：，
∴；
由（1）知：，
∴的平方根为．

【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；立方根的概念与表示
【解析】【分析】
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可列出关于a的方程，求出a的值，进而求出m的值；
（2）根据立方根的定义求出的值，再根据2a+b的值，最后求出2a+b的平方根即可．
（1）解：∵和是某正数m的两个平方根，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意，得：，
∴；
由（1）知：，
∴的平方根为．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在数轴上表示如解图所示：
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如解图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）解出不等式的解集，最后在数轴上表示出解集即可；
（2）分别求解出不等式组的两个不等式①，不等式②，然后取它们的交集得出一元一次不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在数轴上表示如解图所示：
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如解图所示：
23．【答案】（1）解：，
①②得：，即，
①②得：，
∵，
∴，
解得：．

（2）解：∵的解集为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴在时，使不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）首先通过方程组加减消元得出与的表达式，代入不等式组求解出的范围；
（2）先解不等式，根据解集x确定m的条件，结合第（1）问结果找出整数m．
（1）解：，
①②得：，即，
①②得：，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵的解集为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴在时，使不等式的解集为．
24．【答案】（1）解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种奖品每件元，B种奖品每件元；
（2）设A种奖品件，
由题意可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的取值为，，，
方案一：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案二：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案三：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
∴购买A种奖品件，B种奖品件，所花费用最省，费用最少是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）需设A、B两种奖品的单价为未知数，根据两种购买组合的总费用列出二元一次方程组，求解得出单价；
（2）需设A种奖品的数量为未知数，根据数量限制条件列出一元一次不等式组 ，确定取值范围后，计算出不同方案的费用并比较得出最省方案．
（1）解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种奖品每件元，B种奖品每件元；
（2）设A种奖品件，
由题意可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的取值为，，，
方案一：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案二：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案三：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
∴购买A种奖品件，B种奖品件，所花费用最省，费用最少是元．
25．【答案】（1），，
（2）①
；
②
；

（3）
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）图（1）的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即，
图（2）是长为，宽为的长方形，因此面积为： ，
∵，
∴．
故答案为：，，；
【分析】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
（1）通过计算图（1）（大正方形减小正方形）和图（2）(长方形）的面积，利用面积相等建立等式，从而验证平方差公式；
（2）将数字或代数式变形为符合平方差公式的形式进行简便运算即可；
（3）通过构造这一项（值为1，不改变原式），利用连锁反应反复使用平方差公式进行计算即可
（1）图（1）的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即，
图（2）是长为，宽为的长方形，因此面积为： ，
∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）①
；
②
；
（3）
．
26．【答案】（1）越大；
（2）∵，
∴，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分，
∵，
∴，即，
∴的整数部分，
∴
（3）；
（4）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，a是整数，b满足，
∴，，
∴
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大，
故答案为：越大；
（3）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴；
【分析】
（1）根据算术平方根的性质填空即可；
（2）先确定的小数部分a和的整数部分b，再代入求值计算即可；
（3）分别估算+2和的取值范围，比较大小；
（4）先确定的整数部分a和小数部分b，再代入计算求值即可.
1 / 1湖南省湘潭市湘钢二中教育集团2024-2025学年下学期 七年级数学期中考试卷
一、单选题（3×10＝30）
1．（2025七下·湘潭期中）下列各式中，不是不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：A、是不等式，故A不符合题意；
B、是代数式，不是不等式，故B符合题意；
C、是不等式，故C不符合题意；
D、是不等式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据不等式的定义（用不等号连接的式子），判断各选项是否为不等式.
2．（2025七下·湘潭期中）在下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】A、，是无理数，故本选项正确
B、，是有理数，故本选项错误；
C、；0是有理数，故本选项错误；
D、是有限小数，是有理数，故本选项错误；
故选：A．
【分析】
判断一个数是否为无理数，关键看它是否能化为有限小数或无线循环小数，若不能，则为无理数，需要对每个选项中的数进行化简，再根据无理数定义判断.
3．（2025七下·湘潭期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、应为，故错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，故错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的乘法运算法则，逐一分析选项即可.
4．（2025七下·湘潭期中）某关于的不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，该不等式组的解集为，
故选：C．
【分析】
根据数轴上点的类型（实心点或空心圈）以及折线方向所代表的数字含义即可解答.
5．（2025七下·湘潭期中）下列判断正确的是（　　）
A．一个数的倒数等于它本身，这个数是1
B．一个实数的绝对值等于它本身，这个数是正数
C．一个实数的相反数等于它本身，这个数是0
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是1
【答案】C
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求算术平方根
【解析】【解答】解：倒数等于它本身的数只有，故A选项错误，不符合题意；
绝对值等于它本身的数是正数和0，故B选项错误，不符合题意；
一个实数的相反数等于它本身，这个数是0，正确，故C选项符合题意；
算术平方根等于它本身的数是 1 或0，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据倒数、绝对值、相反数及算数平方根的定义及性质，逐一判断各选项的正确性.
6．（2025七下·湘潭期中）以下说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．
C．的算术平方根是3 D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A.9的平方根是，故不正确；
B． ，故不正确；
C．的算术平方根是，正确；
D．，故不正确；
故选C．
【分析】
先明确平方根和算数平方根的定义，再根据定义逐一判断各选项的正确性.
7．（2025七下·湘潭期中）已知关于x的二次三项式可以写成一个完全平方式，则k的值是（　　）
A． B．36 C． D．9
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵的二次三项式可以写成一个完全平方式，
∴，
故选：D．
【分析】
先根据完全平方式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，再通过一次项系数求出常数项的平方根，进而得到k值.
8．（2025七下·湘潭期中）如图，图形面积可以由以下哪个公式表示（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可得出：大正方形面积为：(a+b)2，
大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选C．
【分析】
利用“面积法”建立等量关系：将图形视为一个边长为(a+b)的大正方形，直接利用正方形面积公式计算；将图形分割成四个小图形（两个正方形和两个长方形），分别计算面积后求和。通过两种计算结果相等，即可验证对应的代数恒等式.
9．（2025七下·湘潭期中）若与互为相反数，则的值是（　　）
A．6 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵与互为相反数，
∴
，，
解得，，
．
故选：D．
【分析】
根据相反数的性质得到两个二次根式的和为0，再结合二次根式的非负性求出x和y的值，最后代入计算xy的值.
10．（2025七下·湘潭期中）已知关于x的不等式，下列四个结论：
①若它的解集是，则；
②当，不等式组无解；
③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
④若它有解，则．
其中正确的结论个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
若它的解集是，则，
解得：，故①符合题意；
②当时，，不等式无解，故②符合题意；
③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4，
∴，
解得：，故③不符合题意；
④若它有解，则，
解得：，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有①②④，共个，
故答案为：C．
【分析】先利用一元一次不等式的定义及计算方法求出不等式组的解集，再逐项分析判断即可.
二、填空题（3×8＝24）
11．（2025七下·湘潭期中）计算：　 　．
【答案】3
【知识点】求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
先分别计算绝对值和立方根，再将结果相加即可.
12．（2025七下·湘潭期中）计算：　 　．
【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：原式；
故答案为：
【分析】
先根据积的乘方运算法则计算，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.
13．（2025七下·湘潭期中）不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：．
【分析】直接根据不等式的解法进行求解即可．
14．（2025七下·湘潭期中）要做一只容积为的正方体纸盒，则该正方体的棱长为　 　cm．
【答案】6
【知识点】立方根的实际应用
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，根据题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据正方体体积公式，设棱长为未知数，通过计算找到棱长的立方等于216的数即可.
15．（2025七下·湘潭期中）已知，，，，则的值约是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据算数平方根的性质，通过观察已知条件中被开方数与所求被开方数之间的关系，进而得出近似值即可.
16．（2025七下·湘潭期中）若，，则　 　．
【答案】50
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴．
故答案为：50．
【分析】
根据完全平方公式对和进行变形，再将已知条件a+b=6，ab=7代入变形后的式子进行计算即可.
17．（2025七下·湘潭期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时，　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算定义计算括号内的，再将结果与3进行新运算即可.
18．（2025七下·湘潭期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为 　 　 ．
【答案】0
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题图可知：，且
．
故答案是：0．
【分析】
根据数轴上实数a和b的位置，利用绝对值、平方根和立方根的性质化简给定的表达式即可.
三、解答题（6＋6＋8＋8＋9＋9＋10＋10＝66）
19．（2025七下·湘潭期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别计算乘方、开方、绝对值，再进行加减运算即可.
20．（2025七下·湘潭期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项化简，再代入x=2，y=-1计算结果即可.
21．（2025七下·湘潭期中）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2．
（1）求m的值；
（2）求的平方根，
【答案】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根，
∴，
∴，
∴
（2）由题意，得：，
∴；
由（1）知：，
∴的平方根为．

【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；立方根的概念与表示
【解析】【分析】
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可列出关于a的方程，求出a的值，进而求出m的值；
（2）根据立方根的定义求出的值，再根据2a+b的值，最后求出2a+b的平方根即可．
（1）解：∵和是某正数m的两个平方根，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意，得：，
∴；
由（1）知：，
∴的平方根为．
22．（2025七下·湘潭期中）解下列不等式（组）并将解集在数轴上表示出来．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在数轴上表示如解图所示：
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如解图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】
（1）解出不等式的解集，最后在数轴上表示出解集即可；
（2）分别求解出不等式组的两个不等式①，不等式②，然后取它们的交集得出一元一次不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴在数轴上表示如解图所示：
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴在数轴上表示如解图所示：
23．（2025七下·湘潭期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式组．
（1）试求出的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为．
【答案】（1）解：，
①②得：，即，
①②得：，
∵，
∴，
解得：．

（2）解：∵的解集为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴在时，使不等式的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）首先通过方程组加减消元得出与的表达式，代入不等式组求解出的范围；
（2）先解不等式，根据解集x确定m的条件，结合第（1）问结果找出整数m．
（1）解：，
①②得：，即，
①②得：，
∵，
∴，
解得：．
（2）解：∵的解集为，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴在时，使不等式的解集为．
24．（2025七下·湘潭期中）盱眙县正在创建“全国文明城市”，学校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种件，B种件，共需元；如果购买A种件，B种件，共需元．请你解决如下问题：
（1）A，B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A，B两种奖品共件，A的数量不超过件，且B的数量不超过A的数量的倍，请问如何制定购买奖杯的方案，所花费用最省？费用最少是多少？
【答案】（1）解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种奖品每件元，B种奖品每件元；
（2）设A种奖品件，
由题意可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的取值为，，，
方案一：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案二：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案三：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
∴购买A种奖品件，B种奖品件，所花费用最省，费用最少是元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）需设A、B两种奖品的单价为未知数，根据两种购买组合的总费用列出二元一次方程组，求解得出单价；
（2）需设A种奖品的数量为未知数，根据数量限制条件列出一元一次不等式组 ，确定取值范围后，计算出不同方案的费用并比较得出最省方案．
（1）解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，
由题意可得：，
解得：，
∴A种奖品每件元，B种奖品每件元；
（2）设A种奖品件，
由题意可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的取值为，，，
方案一：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案二：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
方案三：购买A种奖品件，B种奖品件，
所花费用为：元；
∴购买A种奖品件，B种奖品件，所花费用最省，费用最少是元．
25．（2025七下·湘潭期中）如图（1）所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接用含a，b的式子表示______；______；写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示）
（2）直接应用：利用这个等式计算：
①；
②；
（3）拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：．
【答案】（1），，
（2）①
；
②
；

（3）
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）图（1）的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即，
图（2）是长为，宽为的长方形，因此面积为： ，
∵，
∴．
故答案为：，，；
【分析】
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
（1）通过计算图（1）（大正方形减小正方形）和图（2）(长方形）的面积，利用面积相等建立等式，从而验证平方差公式；
（2）将数字或代数式变形为符合平方差公式的形式进行简便运算即可；
（3）通过构造这一项（值为1，不改变原式），利用连锁反应反复使用平方差公式进行计算即可
（1）图（1）的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即，
图（2）是长为，宽为的长方形，因此面积为： ，
∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）①
；
②
；
（3）
．
26．（2025七下·湘潭期中）综合与探究
下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． 如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解． ∵，∴（依据）． ∴． ∴的整数部分是2，小数部分是．
任务一：
（1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________；
（2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）直接比较和的大小；
任务二：
（4）设，a是整数，b满足，求的值．
【答案】（1）越大；
（2）∵，
∴，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分，
∵，
∴，即，
∴的整数部分，
∴
（3）；
（4）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，a是整数，b满足，
∴，，
∴
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大，
故答案为：越大；
（3）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴；
【分析】
（1）根据算术平方根的性质填空即可；
（2）先确定的小数部分a和的整数部分b，再代入求值计算即可；
（3）分别估算+2和的取值范围，比较大小；
（4）先确定的整数部分a和小数部分b，再代入计算求值即可.
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