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专题06圆中的证明与计算（8大题型）
圆中的证明与计算是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，考题覆盖选择、填空、解答题。需要学生在复习时扎实掌握圆的基本性质、定理及常用模型，书写步骤规范严谨，避免因逻辑不清或计算粗心丢分。
题型一： 圆中的角度和线段的计算问题
【例题1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键．
由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
利用圆心角、圆周角定理进行角度转化； 利用垂径定理构造直角三角形求线段长； 3）利用半径相等构造等腰三角形倒角 4）结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。
1．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________．
【答案】/35度
【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角．
根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
2．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °．
【答案】70
【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键．
由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
是的直径，
，
，
，
则的半径为，
故选：B．
4．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明．
（2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴．
（2）解：连接，交于点E．由题意知，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴点E为的中点，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
设半圆的半径为r，则．
由勾股定理知，，
即，
解得，（舍去）．
∴．
题型二：圆的弧长和面积问题
【例题1】（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
【例题2】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作，根据平行四边形的性质得，再根据特殊角的三角函数求出，然后求出，即可得，接下来根据得出答案．
【详解】解：过点A作，交于点K，
∵四边形是平行四边形，且，
∴，
∴，
∴，．
∵在中，，
∴．
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
1）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）； 2）扇形面积：S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）； 3）阴影面积常用：整体减空白、割补法、等积变换； 4）根据已知条件先求半径与圆心角。
1．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连结，
∵，以为直径的半圆交于点，
∴，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，=，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键．
（1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明；
（2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是的直径，=，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，点D为弧的中点，连接、、，与相交于点H，过点D作直线，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若弧弧，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由，垂直平分可知；
（2）根据弧相等可知，，根据勾股定理可知，的长度，则．
【详解】（1）
证明：连接，交于点E，
∵点D为的中点，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）
解：连接、，则，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴,
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，点D为的中点，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是．
题型三： 切线的性质与判定
【例题1】（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形：
（1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证；
（2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的外接圆，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：设交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
设的半径为，则：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
判定：连半径，证垂直；有垂直，证半径； 利用直径所对圆周角为 90° 证明垂直； 利用等边对等角、同角的余角相等倒角； 4）切线垂直于过切点的半径。
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：
（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证；
（2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
．
为的半径，
是的切线．
（2）解：点B是的中点，
．
，
．
，
．
又，
．
．
在中．
．
即半径为．
2．（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)点为边上一点，且，若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明；
（2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径．
【详解】（1）证明：与相切，
．
．
平分线，
．
在和中
．
．
是的切线．
（2）解：在和中，
．
．
．
，是的切线，
．
．
．
设，则，．
，
．
解得．
的半径长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的判定与性质、全等三角形的判定以及利用勾股定理建立方程是解题的关键．
3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
题型四： 相交线定理
【例题1】如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（ ）
A．3 B．4或3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键．
设，则，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长．
【详解】设，则
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，即，
∴
解得，
∴的长为4或3．
故选：B．
）圆内两条相交弦，被交点分成的线段积相等； 公式：PA PB=PC PD； 可通过相似三角形证明； 4）直接用于快速求线段长度。
1．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，连接、、，过作交于，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
则，，
，
，
，，，
，，
，，
，
过作交于，连接，
则，
在中，，
，
即到的距离为，
故答案为：．
2．如图，已知圆，弦、相交于点．
(1)求证：；
(2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查三角形相似的判定，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明，进而即可得到结论；
（2）连接并延长，连接，，证明，再利用等量关系即可得解．
【详解】（1）解：，，
，
即．
（2）解：连接并延长，交圆于点、，连接，，
，，
，
．
3．（2023河南信阳三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再利用相似的性质即可；
（2）利用（1）可知，求出，再证明，利用相似的性质求出，求差即可得到的长．
【详解】（1）求证：．
证明：连接AC、BD．如图①．

∵，．
∴．
∴．
∴．
（2）解：∵，，．由（1）可知．
∴．
∵，是的直径，，．
连接OD．如图②．
∵为切线．
∴．
∵．．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
又∵．
∴．
【点睛】本题考查了圆的相关性质，三角形相似的判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题的关键．
题型五：切割线定理
【例题1】（2024湖北武汉模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、．
是的切线，是的半径，
．
是的直径，
（____________）．
．
∴____________，
（____________），
∴____________，
，
，
．
．
任务：
(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
(2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质；
（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程；
（2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解．
【详解】（1）如图②，连接，连接并延长交于点，连接、．
是的切线，是的半径，
．
是的直径，
（直径所对的圆周角相等），
，
．
，
．
，
，
（相似三角形的对应边成比例），
．
故答案为：直径所对的圆周角相等；；圆周角定理；；
（2）图3中，连接，，
，
设，，，则，
是的切线，是割线，
由割线定理得，则，
解得（负值舍去），
，，，则，
是的直径，是的切线，
，
；
，，
∴，则，
，
．
解法指导1）切线长是割线全长与外段的比例中项； 公式：PT2=PA·PB； 由弦切角定理 + 相似可证明； 4）常用于求线段、证等积式。
1．（2024山西拟预测）阅读与思考
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：．
证明：连接并延长交于点C，连接，，．
∵是的切线，
．
∵是的直径，
（依据：______）．
，
．
又（依据：______），
．
…………
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；
(2)把证明过程补充完整；
(3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长．
【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等
(2)见解析
(3)
【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等；
（2）进一步证明，有即可；
（3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得．
【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等；
（2）证明：
又，
．
．
．
（3）解：如图，连接，，
，
∴设，，，则．
∵是的切线，是割线，
∴由切割线定理得，则，
解得或（舍去），
，，，则．
∵AB是的直径，AC是的切线，
．
．
，，
，则．
，
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质．
题型六：弦切角定理
【例题1】顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．
（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由切线的性质可知，∠CAP＝90°，所以∠CAB+∠PAB＝90°．再根据直角三角形两锐角互余可得，∠CAB+∠C＝90°，所以∠PAB＝∠C．
（2）如图2，作直径AC，连接BC，利用（1）中的结论及同弧所对的圆周角相等可得结论．
（3）连接AC，由题意可知，△ACE∽△ABC，结合（1）中的结论易得△DCE∽△BAC，得出比例，进而可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵PA切⊙O于点A，
∴∠CAP＝90°，
∴∠CAB+∠PAB＝90°．
又∵AC是直径，
∴∠B＝90°，
∴∠CAB+∠C＝90°，
∴∠PAB＝90°-∠CAB＝∠C．
（2）证明：如图，过点A作直径AC，连接BC，
∵AP为切线，由（1）得，∠PAB＝∠C，
又∵∠C＝∠D，
∴∠PAB＝∠D．
（3）连接AC，CD，
∵EC为⊙O的切线，
由①得∠ECA＝∠B，
又∵∠AEC＝∠ACB＝90°
∴△ACE∽△ABC，
∴，∠CAE=∠BAC，
在Rt△ACB中，根据勾股定理AC=，
∴，
∴，
又∵CE为⊙O的切线，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴∠DCE=∠BAC，
又∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△DCE∽△BAC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
弦切角等于所夹弧所对的圆周角； 弦切角 = 所夹弧的圆周角 = 圆心角的一半； 常用于倒角、证角相等、证相似； 4）是圆中重要角度转化工具。
1．（2025广西南宁模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)；；
(2)①；②，证明见解析
【分析】（1）根据切线的性质，以及圆周角的性质，即可求解，
（2）①由弦切角定理，可得：，进而得出，由对应边成比例，即可求出的长，
②连接，由是直径，可得，结合，根据等腰三角形三线合一，即可得出是的角平分线，根据弦切角定理，即可求解，
本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直径所对的圆周角是，相似三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，解题的关键是：理解并应用弦切角定理，结合已经学会的知识点进行解题．
【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
，
，
是直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 （同弧所对的圆周角相等），
．
故答案为：；；；
（2）解：①如图，
是的切线，切点为，
，
又，
，
，即：，
，解得：；
②如图，连接，
是直径，
，，
又，
是的角平分线，即：，
又是的切线，
，
．
题型七： 辅助圆的三种模型
【例题1】（2025江苏苏州一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知，，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解．
【详解】解：∵中，，，，
∴，，
∵，则，
∵，
∴，
∴，则
即：当取得最大值时，的面积取得最大值，
∵，，
由圆周角定理可知，，，，四点共圆，
∴点在以为直径的圆上，
∴，即的最大值为3，
∴的最大值为，
故选：B．
定角对定边构造辅助圆； 到定点距离为定长构造圆； 对角互补 / 四点共圆模型； 4）用圆的性质转化角度与线段。
1．（2025山东临沂一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可．
【详解】解：
取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动，
由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而，
，
∵，
，
∴的长度最小值为．
故选：B
3．（2025河北邯郸一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得．
【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点，
点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接，
，即
点在四边形内部（含边界），
当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示，
四边形为菱形，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故选：A．
3．（2025江苏宿迁中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，
如图，此时
∵
∴当重合时，重合，
此时，则
∴的最小值是
故答案为：．
题型八： 圆与相似综合
【例题1】（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．
(1)设，则 ；（用含的式子表示）
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可；
（2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可；
（3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可．
本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点D是的内心，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
（2）证明：连接，
∵点D是的内心，
∴，，
∵，，
，
∴，
∴．
（3）解：设，根据题意，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得．
故的长为．
常用相似：A 字、8 字、斜 A、母子相似； 用圆周角、弦切角、公共角证角相等； 由相似列比例式求线段长； 4）结合切线、垂径定理综合运用。
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)，，求的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)5
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）根据切线长定理得出，结合，，即可证明．
（2）根据圆周角定理得出，由①可知：，得出，即可证明，进而得到．
（3）连接．根据圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）①证明：是切线，
，
又，，
．
②证明：点在上．
，
由①可知：，
，
，
．
（2）解：连接．
是的直径，
，
又，，
∴．
，
，
．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；
（2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案．
【详解】（1）方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
（2），为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键．
3．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，易得垂直平分，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据同角的余角相等，得到，即可证明结论；
（2）先根据等边对等角的性质和等角的余角相等，得出，由垂径定理可知，进而得到，再证明，得到从而求出，设的半径为，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，即，
，
是线段的垂直平分线，
，
∴，
，
∵，
，
是的半径，
是的切线，
由弦切角定理可得：，
；
（2）解：交于点，，
设，则，，
，
，
，
在中，，
，
，
是的直径，
，
，
，
在中，，
，
由垂径定理可得：，
，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，，
在中，，，
由勾股定理可得，，
设的半径为，
，
，
在中，由勾股定理可得，，
，
解得．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
题型八：圆与三角函数
【例题1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，
；
（2）解：如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
．
，
．
在中，．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键．
构造直角三角形：连直径、作垂直、连半径； 等角转化，将角放入直角三角形中； 用sin、cos、tan求边长； 4）结合勾股定理、相似完成综合计算。
1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论；
（2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明；
（2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解．
【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
连接，如图：
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
3．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)．
【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线；
（2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图，过点D作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【详解】解：是圆的直径，
，
，
，
，
故选：C．
3．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设半径为R，
在中，，
由勾股定理得，，即，
解得．
故选：A．
4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
5．（2025四川资阳中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键．
过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于点G，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴当点到的距离最小时，面积最小，
过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，
∵E是线段的中点，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，
∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，
延长交于点M，过点D作于点N，则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
即面积的最小值为．
故选：B．
6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：2．
7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，根据垂径定理，圆周角定理推出，再根据特殊角的三角函数值即可得出结果．
【详解】解：连接，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积即为扇形的面积：；
故答案为：．
9．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的半径
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
10．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切；
（2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切；
（2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
12．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，，，等边对等角，得到，切线推出，直径得到，进而得到，推出，平行线的性质，结合圆周角定理得到，等角对等弧，即可得证；
（2）延长交于点，连接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函数进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，，，则：，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点，连接，则：为的直径，
∴，
∵的半径为2，
∴
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
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专题06圆中的证明与计算（8大题型）
圆中的证明与计算是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，考题覆盖选择、填空、解答题。需要学生在复习时扎实掌握圆的基本性质、定理及常用模型，书写步骤规范严谨，避免因逻辑不清或计算粗心丢分。
题型一： 圆中的角度和线段的计算问题
【例题1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
利用圆心角、圆周角定理进行角度转化； 利用垂径定理构造直角三角形求线段长； 3）利用半径相等构造等腰三角形倒角 4）结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。
1．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________．
2．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °．
3．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C． D．10
4．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
题型二：圆的弧长和面积问题
【例题1】（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
1）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）； 2）扇形面积：S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）； 3）阴影面积常用：整体减空白、割补法、等积变换； 4）根据已知条件先求半径与圆心角。
1．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，=，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，是的直径，点C在上，点D为弧的中点，连接、、，与相交于点H，过点D作直线，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若弧弧，，求阴影部分的面积．
题型三： 切线的性质与判定
【例题1】（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
判定：连半径，证垂直；有垂直，证半径； 利用直径所对圆周角为 90° 证明垂直； 利用等边对等角、同角的余角相等倒角； 4）切线垂直于过切点的半径。
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
2．（2025·四川南充·一模）如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)点为边上一点，且，若，，求的半径长．
3．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
题型四： 相交线定理
【例题1】如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（ ）
A．3 B．4或3 C．4 D．2
）圆内两条相交弦，被交点分成的线段积相等； 公式：PA PB=PC PD； 可通过相似三角形证明； 4）直接用于快速求线段长度。
1．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 ．
2．如图，已知圆，弦、相交于点．
(1)求证：；
(2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值．
3．（2023河南信阳三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________．
(2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长．
题型五：切割线定理
【例题1】（2024湖北武汉模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）：
证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、．
是的切线，是的半径，
．
是的直径，
（____________）．
．
∴____________，
（____________），
∴____________，
，
，
．
．
任务：
(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
(2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长．
解法指导1）切线长是割线全长与外段的比例中项； 公式：PT2=PA·PB； 由弦切角定理 + 相似可证明； 4）常用于求线段、证等积式。
1．（2024山西拟预测）阅读与思考
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下：
如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：．
证明：连接并延长交于点C，连接，，．
∵是的切线，
．
∵是的直径，
（依据：______）．
，
．
又（依据：______），
．
…………
任务：
(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格；
(2)把证明过程补充完整；
(3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长．
题型六：弦切角定理
【例题1】顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．
（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．
弦切角等于所夹弧所对的圆周角； 弦切角 = 所夹弧的圆周角 = 圆心角的一半； 常用于倒角、证角相等、证相似； 4）是圆中重要角度转化工具。
1．（2025广西南宁模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．
定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角．
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．
下面是弦切角定理的证明过程：
①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角．
②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角．
证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示．
与相切于点，
▲ ，
，
是直径，
▲ （直径所对的圆周角是直角），
，
，
又 ▲ （同弧所对的圆周角相等），
．
完成下列任务：
(1)将上述证明过程补充完整；
(2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题：
①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长；
②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
题型七： 辅助圆的三种模型
【例题1】（2025江苏苏州一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
定角对定边构造辅助圆； 到定点距离为定长构造圆； 对角互补 / 四点共圆模型； 4）用圆的性质转化角度与线段。
1．（2025山东临沂一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．（2025河北邯郸一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2025江苏宿迁中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是___________．
题型八： 圆与相似综合
【例题1】（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接．
(1)设，则 ；（用含的式子表示）
(2)求证：；
(3)若，求的长．
常用相似：A 字、8 字、斜 A、母子相似； 用圆周角、弦切角、公共角证角相等； 由相似列比例式求线段长； 4）结合切线、垂径定理综合运用。
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径．
(1)求证：
①．
②．
(2)，，求的长．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求线段的长．
3．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，，以为直径作交于点．点在线段上，．连接并延长交于．
(1)求证：；
(2)连接交于点．若，，求的半径．
题型八：圆与三角函数
【例题1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
构造直角三角形：连直径、作垂直、连半径； 等角转化，将角放入直角三角形中； 用sin、cos、tan求边长； 4）结合勾股定理、相似完成综合计算。
1．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
2．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
3．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．5
4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2025四川资阳中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川内江·中考真题）如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是______．
7．（2025·山东滨州·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，，则的值为______．
8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________．
9．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
10．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
11．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
12．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
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