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第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
1.理解一次函数的概念.
2.能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系.
3.能根据实际问题写出一次函数的解析式.
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
(1) 用函数解析式表示 y 与x 的关系；
分析：原大本营所在地气温为_____，
因为当海拔增加 1 km 时，气温减少______.
所以当海拔增加 x km 时，气温减少______.
因此 y 与 x 的函数解析式为____________.
5 ℃
6 ℃
6x ℃
y = 5 - 6x
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃.
(2) 并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温.
解：当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x=2时函数
y=-6x+5的值，
即y=-6×2+5=-7（ ℃ ）.
思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
（1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.
m=7.9V
h=0.5n
　 （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高 h ，再减去常数105，所得差是m 的值，m 随 h 的
变化而变化.
（4）把一个长10 cm、宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，
矩形的面积 y（单位：cm2）随 x 的变化而变化．
y=－5x＋50（0≤x<10）
m=h－105
观察以上出现的四个函数解析式，它们的形式有哪些共同特征？
（1）m=7.9V; （2）h=0.5n;
（3）m=h-105 ; （4）y=-5x+50（0≤x<10）.
它们都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的函数，叫作一次函数.
特别地,当 b=0 时, y=kx+b 即 y=kx ，形如 y=kx ( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数，其中 k 叫作比例系数.
一次函数的结构特征： (1) k≠0；
(2) x的次数是1；
(3) 常数项b可以为一切实数.
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b
(k，b为常数，k≠0)
函数是正比例函数
关系式为：y=kx
(k为常数，k≠0)
一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数是一种特殊的一次函数.(即当常数b=0时)
一次函数
正比例函数
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y=3πx； (2)y=8x-6； (3)y=
(4)y=2-8x； (5)y=5x2-4x+1； (6)y=8x2+x(1-8x).
解：(1)是一次函数，也是正比例函数；
(2)是一次函数，不是正比例函数；
(3)不是一次函数，也不是正比例函数；
(4)是一次函数，不是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数.
例1 一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.
（1）求弹簧的长度 y （单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂 x kg的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y关于x的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把 x=5 代入 y=2x+12，得 y=2×5+12=22.
因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.
例2 已知y＝(m－1)x2-|m|＋n＋3.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n为任意实数时，y是x的一次函数．
(2)根据正比例函数的定义，得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.
又∵m－1≠0，即m≠1，
∴当m＝－1，n＝－3时，y是x的正比例函数．
(1)一次项系数k≠0； (2)自变量x的次数是1；
(3)常数b可以是任意实数.
一般地，形如 y=kx+b(k，b 是常数，k≠0) 的
函数，叫作一次函数. 特别地,形如 y=kx
( k是常数，k≠0) 的函数，叫作正比例函数.
概念
一次函数与
正比例函数
一次函数
的特征
2.下列函数：(1)y＝5x；(2)y＝0.2x﹣1；(3) ；(4)y＝x2﹣1；(5) 中，
是一次函数的有(　　)个．
A．4 B．3
C．2 D．1
1.下列函数中，是正比例函数的是(　　)．
A．y＝3x+1 B．y＝3x2
C． D．
D
B
一次函数的特征：(1)自变量x的次数是1；(2)一次项系数k≠0；(3)常数b可以是任意实数.
3. 用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系：
（1）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年 （12 个月）的总收入为 y 元；
（2）某水池有水 20 m3，现在打开进水管开始进水， 进水速度为 3 m3/h，则 x h 后水池有水 y m3 .
y = 12x；
y = 3x + 20.
4. (新定义阅读理解题)把(a，b)叫作一次函数y=ax+b(a≠0，a，b为实数)的“相关数”，若“相关数“为(m-2，m?-4)的一次函数是正比例函数，求该正比例函数的关系式.
解：设“相关数”为(m-2，m2-4)的一次函数是y=(m-2)x+(m2-4)，
所以正比例函数的关系式为y = -4x .
5. 已知函数y = (m - 2)x3-???? + m + 7.
(1) 当 m 为何值时，y是x的一次函数？
?
解：由y = (m - 2)x3-???? + m + 7是x的一次函数，得
?
解得m＝﹣2．
故当m＝﹣2时，y = (m - 2)x3-???? + m + 7是一次函数.
?
5. 已知函数y = (m - 2)x3-???? + m + 7.
(2) 若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？
?
解：由(1)知m=-2，解析式y = (m - 2)x3-|m| + m + 7
故原方程为当y＝3时，3＝ - 4x+5，解得x ＝ ，
故当x＝ 时，y的值为3．

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