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23.2 一次函数的图象和性质
课时1 正比例函数的图象和性质
1. 会画正比例函数的图象.
2. 能根据正比例函数图象探究正比例函数的性质.
3. 能根据正比例函数图象及性质解决相关问题.
已知A，B两人在一次百米赛跑中，路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如图所示，你知道A，B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗?
怎样画出一个给定的函数的图象?一般可以分为哪几个步骤?
用“描点法”画函数图象,可以分成“列表、描点、连线”三个步骤.
解：(1)函数y=2x 和y= x中自变量 x可取任意实数，列表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=2x
…
…
y = x
…
…
-4
-2
0
2
4
0
问题：分别画出下列正比例函数的图象：
（1）y=2x，y= ????????????； （2）y=－1.5x，y=－4x.
?
y=2x
描点、连线：在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点
连接起来.
观察发现：这两个图象都是经过原点的_______，而且都经过第________象限.
一、三
直线
（2）y=－1.5x，y=－4x.
问题：分别画出下列正比例函数的图象.
解：函数y= ?1.5x 和y= ?4x 中自变量 x可取任意实数，列表：
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
…
-2
-1
0
1
2
…
y= -1.5x
…
…
y= -4x
…
…
3
1.5
0
-1.5
-3
-8
4
0
-4
8
y=－4x
y=－1.5x
描点、连线： 在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点. 将这些点
连接起来.
观察发现：这两个函数图象都是经过原点和第_________象限的直线.
二、四
思考：从以上的函数图象中，你发现什么特点？
4 个正比例函数的图象都是一条经过原点的直线.
其中函数y=2x 和 y= x 的图象经过第一、第三象限，从左向右上升；
函数y= ?1.5x和y= ?4x的图象经过第二、第四象限，从左向右下降.
?
做一做：任意写一个正比例函数解析式，并画出它的图象，和上面的4个函数图象对比，你发现了什么？

它们的函数图象都是经过原点的一条直线，并且图象大致分为两种：
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
y =kx
y = kx
当k>0时，函数图象
经过第一、第三象限，
从左向右上升；
当k<0时，函数图象
经过第二、第四象限，从左向右下降.
一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过
原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
当k>0时，直线 y=kx 经过第一、第三象限，从左向右上升，即y随x 的增大而增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x 的增大而减小.

思考2：由正比例函数的图象是一条直线，你能想到画正比例函数
图象的简单方法吗？
因为两点确定一条直线，而正比例函数 y=kx（k≠0）的图象又是经过原点的直线，所以只要再确定正比例函数图象上一点，就可以画出正比例函数的图象.一般地，这一点可以取点（1，k）这个特殊点.
思考1：经过原点与点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线是哪个函数的图象?
这个函数是 y=kx的形式，再由x=1时，y=k确定这个函数是 y=kx.
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = x；(2) y = -3x.
y = x 是经过 (0 , 0)，(1, ) 的直线.
y = x
y = -3x 是经过 (0 , 0)，(1, -3) 的直线.
y = -3x
特别提醒：
用两点法画函数图象时，(0，0)这点必选，因为图象过原点，而
(1，k)这点因函数关系式而定，选取时，最好使所选点的横、纵坐标均为整数，这样描点较容易 .
如果某函数图象是直线且经过原点(坐标轴除外)，那么它对应的
函数是正比例函数.
当k>0时，图象过第一、三象限；当k<0时，图象过第二、四象限.
解析：方法一：把点A、点B的坐标分别代入函数y＝3x，求出y1，y2的值比较大小即可．
方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A、点B，利用数形结合思想来比较y1，y2的大小．如图，观察图形，显然可得y1＞y2.
例2 已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
方法三：根据正比例函数的增减性来比较函数值的大小．根据正比例函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，即可得y1＞y2.
例2 已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
正比例函数的图象和性质
图象
性质
一条过原点的直线
k＞0，经过第一、三象限，
y随着x的增大而增大
k＜0，经过第二、四象限，
y随着x的增大而减小
1. 在平面直角坐标系中，正比例函数 y = kx (k < 0) 的大致图象是 ( )
A
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
D
C
B
（1）函数y=3x的图象经过第 、 象限，经过点（0, ）和点（ ，3），y随x的增大而 .
一
三
0
1
增大
（2）函数y=-2x的图象经过第 、 象限，经过点（0， ）和点
（-1， ），y随x的增大而 .
二
四
0
2
减小
2.填空：
（3）对于正比例函数 y = kx，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为 .
k > 0
3.若点（2，m）和点（一3，n）都在函数y=kx（k<0）的图象上，试比较m，n的大小.
解： ∵点 (2,m) 和 (?3,n) 在 y=kx（k<0）的图象上，
∴将坐标代入解析式：
把 x=2，y=m 代入，得 m=2k
把 x=?3，y=n 代入，得 n=?3k
∵ k<0，
∴m=2k，2 是正数，正数 × 负数 = 负数，因此 m<0
n=?3k，-3 是负数，负数 × 负数 = 正数，因此 n>0
∵正数一定大于负数，
所以 m

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