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23.2 一次函数的图象和性质
课时3 用待定系数法求一次函数的解析式
1.理解待定系数法的意义.
2.会用待定系数法求一次函数的解析式.
1.回顾一次函数的概念和性质．
2.直线y＝2x－3与x轴的交点坐标为________，与y轴的交点坐标为__________，图象经过___________象限，y随x的增大而_________.
(????????，0)
?
(0，－3)
一、三、四
增大
若已知一次函数图象经过点(????????,????)，(0，－3)，
如何求一次函数的解析式呢？
?
分析：求一次函数y＝kx＋b的解析式，关键是求出k，b的值.
从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b.
问题 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式.
因为图象过（2，-4）与（一3，11）两点，所以这两点的坐标必满足解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
因为y＝kx＋b的图象过点(2，-4)与(－3，11)，
问题 已知一次函数的图象过点(2，-4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式.
k = －3，
b = 2.
解这个方程组，得
2k + b = －4，
－3k + b = 11.
所以
因此，这个一次函数的解析式为y＝-3x+2.
因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值(即待定系数).
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
由上面的问题你能归纳出求函数解析式的方法吗？
思考 1.如何画一次函数图象的呢？
2.如何求一次函数解析式呢？
3.你知道函数解析式与一次函数图象之间的关系吗？
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两定点(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象（直线 l）
选取
解出
选取
画出
从数到形
从形到数
已知一次函数的图象过点 (3，5) 与 (-4，-9)，求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b.
把点 (3，5) 与 (-4，-9) 分别代入，得
∴这个一次函数的解析式为 y = 2x - 1.
解方程组得
用待定系数法求一次函数解析式的步骤
设：设出一次函数的解析式 y=kx+b（k≠0）.
列：将已知的两组x、y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k、b的二元一次方程组.
解：解所列的方程组，求出k 、b的值.
代：将求出的k 、b的值代入所设解析式中，得到所求一次函数的解析式.
1
2
3
4
例 一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 y（单位：km）与时间 x（单位：h）之间的关系如图所示.
（1）求汽车行驶的路程 y 关于
时间 x 的函数解析式；
（2）记者出发后多长时间到达
采访地？
O
x/h
y/km
A
B
180
360
270
3.5
2
分析：问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，它与行驶的时间范围有关.当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；当x＞2时，汽车行驶的速度较慢．因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x＞2两个时段分别讨论.
O
x/h
y/km
A
B
180
360
270
3.5
2
解：（1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分.
设函数的解析式为y=k1x.
因为它的图象过点A（2，180），所以180=2k1；解得k1=90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分.我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式.
设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A，B的坐标分别代入y=k2x+b2，得


因此，当x＞2时函数的解析式为y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；
当x＞2时，y=60x+60.
k2 = 60，
b2 = 60.
解得
2k2 + b2 = 180，
3.5k2 + b2 = 270.
O
x/h
y/km
A
B
180
360
270
3.5
2
（2）由图象可知，当y=360时，x＞2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
（2）记者出发后多长时间到达采访地？
O
x/h
y/km
A
B
180
360
270
3.5
2
运用一次函数解决实际问题的方法：
在运用一次函数解决实际问题时，首先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需的结果．
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k，b的方程(组)；
1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b；
3. 解方程(组)，求出k，b;
4. 把求出的k，b代回解析式即可.
1. 已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点(－8，－2)，
那么该一次函数的解析式为(　C　)
A. y＝－x－2
B. y＝－x－6
C. y＝－x－10
D. y＝－x－1
C
2. 已知y与x＋3成正比例，并且x＝1时，y＝8，
那么y与x之间的函数关系式为(　B　)
A. y＝8x
B. y＝2x＋6
C. y＝8x＋6
D. y＝5x＋3
B
3.已知一次函数的图象经过点（9,0）,（ 24,20），求出该一次函数解析式.
解：设这个一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0）
∵ y=kx+b 的图象过点（9,0）与（ 24,20）,
9k+b=0,
24k+b=20,
∴
∴ 这个一次函数的解析式为 y= x-12.
k= ,
b=-12,
解方程组得
4.一名旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票.他所托运的行李的费用y（単单位：元）与行李的质量x（单位：kg）的关系如图所示.这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
解：设行李费用y与行李质量x的函数关系式为y=kx+b（k ≠ 0）.
因为函数图象过点（25，90），（30，180），
将这两点代入函数关系式可得方程组25k+b=90 30k + b= 180°
90
30
x/kg
25
0
180
y/元
用第二个方程30k+b=180减去第一个方程25k+b=90，
可得：
（30k+b）-（25k+b）=180-90
30k+b-25k-b=90
5k=90
k= 18
把k= 18代入25k+b=90，可得25x× 18-b=90，
即450+b=90，解得b=90-450=-360.
所以函数关系式为y= 18x-360.
当y=0时，即免费托运时，18x-360=0，移项可得18x= 360，解得x=20.
所以这位旅客可免费托运的行李的最大质量是20千克.
90
30
x/kg
25
0
180
y/元

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