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第二十三章 一次函数
23.3 一次函数与方程(组)、不等式
1.理解一次函数与方程(组)、不等式的关系．
2.能通过一次函数的图象求方程(组)的解、不等式的解集.
问题：观察下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对
这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1.
①都是一元一次方程，形式为2x+1=k.
②从函数的角度看，解这3个方程相当于一次函数
y = 2x +1的函数值分别为 3、0、-1 时，求自变量x 的值.
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
y
y
y
从函数图象看：方程2x + 1 = 3；2x + 1 = 0；2x + 1 = -1的解，也可以看成是直线 y = 2x + 1分别与直线y=3，y=0，y=-1交点的横坐标.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y = 2x + 1
y=3
y=0
y=-1
问题：观察下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对
这三个方程进行解释吗？
如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5，当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？
0.5
O
x
y
-1
0.5
y=2x-1
-0.5
一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0. 这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.
由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5.
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数y= kx+b
中，y=0时x的值.
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
一次函数与一元一次方程的关系：
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
-10
0
-10
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为(____，_____).
5
0
思考：如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1>0与2x-1<0的解集吗？
0.5
O
x
y
-1
0.5
y=2x-1
-0.5
解：当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，
其横坐标大于0.5，
即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；
当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，
即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.
由此得出不等式2x-1>0的解集是x>0.5，2x-1<0的解集是x<0.5.
(1)你能解思考中的两个不等式吗？
提出问题：
(2)画出直线y＝2x－1的图象，请在图象上找出当y大于0、小于0时，
x分别在哪个范围内？
(3)比较(1)和(2)的结果，你有什么发现？
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
的取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系:
例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，
如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和-3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3?
解：(1)由图象可知，不等式-3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2；
不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3?
想一想：一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
二元一次方程
y = 2x - 1
用函数观点看
从式子（数）角度看：
一次函数
y = 2x - 1
二元一次方程
2x - y = 1
用方程观点看
有相同的解
y = 2x - 1 对应一次函数 y = 2x - 1，它的图象是一条直线.这条
直线上每个点的坐标(x，y) 都是方程 2x - y = 1 的解，以方程
2x - y = 1 的解 (x，y) 为坐标的点都在这条直线上.
一次函数y = 2x - 1
直线y = 2x - 1
二元一次方程 2x - y = 1
点的坐标满足函数解析式
满足函数解析式的数对为坐标画点
用函数观点看
用方程观点看
思考 对于二元一次方程组 你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
分析 方程组中两个二元一次方程组分别对应一次函数y=2x-1与y=- ，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
2x-y=1，
3x+5y=8，
????????????+????????
?
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x-1与y=- 的图象.
y=2x-1
y=?
?
P(1,1)
这两条直线的交点坐标为(1，1)，
由此得出方程组
的解是
35????+85
?
2x-y=1，
3x+5y=8，
x=1，
y=1.
35????+85
?
由上可知，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看， 解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解.
例2 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升;2号气球从距离地面15 m高处出发，以0.5 m/s的速度上升.两个气球都上升了1 min.
(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式.
(2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1)气球上升时间x满足0≤x≤60.
对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x＋5.
对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x＋15.
(1)分别写出表示两个气球所在位置的高度 y(单位：m)关于上升时间 x(单位：s)的函数解析式.
解：(2)两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值 (0≤x≤60)，函数y＝x＋5和y＝0.5x＋15有相同的值y.
这就是说，当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m.
由此可列二元一次方程组
y = x + 5，
y = 0.5x + 15.
解这个方程组，得
x = 20，
y = 25.
(2)两个气球在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
还可以用一次函数的图象解决问题.
如图，在同一直角坐标系中，画出一次函
数y＝x＋5和y＝0.5x＋15的图象.
这两条直线的交点坐标为(20， 25)，这也说明当上升20 s时，两个气球都距离地面25 m.
一次函数与方程(组)、不等式
解一元一次方程
解一元一次不等式
解二元一次方程组
对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
求对应两条直线交点的坐标 .
1.如图，若一次函数 y=kx+b 的图象经过点（2，0）和（0，-3），则方程 kx+b=0 的解为（ ）
A. x=0 B. x=2
C. x=-3 D. 不能确定
B
函数 y=kx+b（k≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标.
与x交点坐标，即y=0
与y交点坐标
2.已知一次函数 y=2x+3.
当 x= 时，函数的值为 0；
当x 时，函数的值 >0；
当 x 时，函数的值 <0.
y
x
O
3
y=2x+3
-32
?
y<0
y＞0
3.一次函数y=2x-3与y=ax+2的图象的交点坐标为（2，1），请确定
方程组 的解和a的值.
y=2x-3
y=ax+2
解：已知两函数图象交点为 (2,1)，
因此方程组
的解为：
y=2x?3
y=ax+2?
x=2
y=1?
将交点坐标 (2,1) 代入方程 y=ax+2，
2a+2=1
解得a=-????????

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