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23.4 实际问题与一次函数
课时1 建立一次函数模型
1.能灵活运用变量关系解决相关实际问题.
2.能根据实际问题中的文字信息或图象信息，建立分段函数模型.
1．审题与识别变量：
问：问题中变化的量是什么？(行驶路程x，剩余油量y)
问：谁是自变量，谁是因变量？(x是自变量，y是因变量)
问题：某辆汽车在加油后，油箱中有汽油50 L．如果汽车每行驶
100 km耗油8 L，那么油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)
之间的关系是什么？
2．寻找对应关系：
问：汽车每公里的耗油量是多少？(8/100＝0.08 L/km)
问：行驶x km，耗油量是多少？(0.08x L)
问：耗油量与剩余油量是什么关系？(初始油量－耗油量＝剩余油量)
问题：某辆汽车在加油后，油箱中有汽油50 L．如果汽车每行驶
100 km耗油8 L，那么油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)
之间的关系是什么？
问题 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
(1) 写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；
(2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元
因此，写函数解析式与画函数图象时，应分_________
和 讨论.
分析：从题目可知，种子的价格与 有关.
若购买种子量为 x＞2 时，种子价格 y 为：
.
若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子价格 y为： .
问题 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折.
购买种子量
y = 40x
y = 80 + 24(x - 2) = 24x + 32
0≤x≤2
x＞2
解：(1) 设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当 0≤x≤2 时，种子价格为 40 元/kg，
函数解析式为 y = 40x；
函数图象如图所示.
函数解析式为y = 80+ 24(x－2) = 24x + 32.
当 x＞2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40 元/kg计价. 其余的 (x－2) kg (即超出 2 kg 部分) 按 24 元/kg (即六折) 计价，
1
2
3
20
40
60
80
100
x/kg
y/元
y=24x+32
y=40x
函数解析式也可以合起来表示为
24x + 32，x＞2.
40x，0≤x≤2，
y =
(2) 一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元
(2)因为 4＞2，
所以 y = 24×4 + 32 = 128.
因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元.
1
2
3
20
40
60
80
100
x/kg
y/元
y=24x+32
y=40x
抽象一次函数模型的“四步法”：
1.定变量：找准谁是自变量x，谁是自变量的函数y.
2.找关系：分析y是如何随着x的变化而变化的．寻找“初始值”
(对应b)和“单位变化量”(对应k)．
3.建模型：根据关系写出y＝kx＋b.
4.释意义：解释k和b在实际问题中的具体含义．
为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水不超过 16 m3 时，使用费为每立方米 1.3 元；超过 16 m3 时，超过部分的使用费为每立方米 2.0 元；污水处理费为每立方米 1.2 元，设一户每月用水 x m3，应缴水费为 y 元.
（1）写出 y 与 х 之间的函数解析式；
分析：用水以 16 m3 为界，分成两段，收费标准不一样：
当 0≤x≤16 时，每立方米收费 (1.3 + 1.2) 元；
当 x >16 时，超过部分每立方米收费 (2.0 + 1.2) 元.
（2）画出上述函数的图象；
解 (1)当 0≤ x≤16 时，y = (1.3 + 1.2)x = 2.5x.
当 x＞16 时， y = (1.3 + 1.2)×16 + (2.0 + 1.2)(x - 16)
= 3.2x - 11.2.
y 与 х 的函数解析式可表示为：
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
（1）写出 y 与 х 之间的函数解析式；
x/m3
y/元
(3) 某两户某月用水量分别为 10 m3 和 20 m3 时，求这两户该月应缴的水费；
(3) 当 x = 10 时，y = 2.5×10 = 25 .
当 x = 20 时，y = 3.2×20 - 11.2 = 52.8.
答：这两户该月应缴的水费分别为 25 元、52.8 元.
(4) 某一户某月缴水费 59.2 元，求该户这个月的用水量.
(4)因为59.2＞2.5×16，所以该户这个月用水超过 16 m3.
因此，3.2x - 11.2 = 59.2. 解得 х = 22.
答：该户这个月的用水量为 22 m3.
2. 5x， 0≤x≤16，
3.2x - 11.2， x＞16.
y =
例1 为了鼓励居民节约用电，某电力公司按月用电量分段收费，居民每月应缴电费 y 元与月用电量 x kW·h 的函数图象是一条折线(如图所示). 根据图象解答下列问题：
(1)求出 y 与 x 之间的函数解析式；
解：(1) 当 0≤x≤100 时，设 y = k1x.
把 (100，65) 代入，得 100k1= 65，
解得 k1 = 0.65，所以 y = 0.65x.
当 x > 100 时，设 y = k2x + b.
把 (100，65)，(130，89) 分别代入，
得
100k2+ b = 65，
130k2+ b = 89.
解得
k2 = 0.8，
b =－15.
所以 y = 0.8x－15.
所以y与x之间的函数解析式为
0.65x，(0≤x≤100)，
0.8x－15，(x＞100).
y =
(2)若某用户某月应缴电费 105 元，则该用户当月用了多少电？
(2) 因为 105 > 65，所以 x > 100.
将 у = 105 代入 y = 0.8x－15，
得 0.8x－15 = 105，解得 x = 150.
所以该用户当月用了 150 kW·h电.
分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化．分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用．
①定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型；
②设函数式：设出函数的解析式；
③列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程(组)，求出该段内的解析式；
④下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围.
由分段函数的图象确定函数解析式的方法：
分段函数
分段函数的具体应用
对分段函数图象的理解
1.如图所示，购买一种苹果，付款金额y(单位:元)与购买量x(单位:千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果,比分五次购买，每次购买1千克这种苹果可节省(　)
A.10元 B.6元 C.5元 D.4元
B
2.某市出租车的计费标准如下：行驶路程不超过3千米，收费8元；行驶路程超过3千米的部分按每千米1.6元计算，则该市出租车收费y(元)与行驶路程x(千米) (x>3)之间的函数解析式为 ；若某人一次乘出租车时，付费14.4元，则他这次乘坐了_________千米的路程.
y=1.6x + 3.2
7
3.一个实验室在0:00—2:00保持20 ℃的恒温，在2:00—4:00 匀速升温，每小时升高5℃．写出实验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.
分析：实验室温度不是固定不变的，它与时间有关.
当 0≤t≤2 时，实验室温度T为20 ℃；
当2＜t≤4 时，实验室温度T关于时间t的解析式为T=20+5(t-2).
因此，写函数解析式与画函数图象时，应对 0≤t≤2 和2＜t≤4 分段讨论.
解：当0≤t≤2 时，T=20.
当 2＜t≤4 时，T=20+5(t-2)=5t+10.
函数图象如图所示.
∴T 与 t 的函数解析式为
T=
T
t
O
30
20
2
4
20， 0≤t≤2，
5t+10， 23.一个实验室在0:00—2:00保持20 ℃的恒温，在2:00—4:00 匀速升温，每小时升高5℃．写出实验室温度T(单位:℃)关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象.

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