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4.1 课时3 三角形的高、中线和角平分线
1.认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.探索并了解三角形的高线、中线、角平分线的性质，并解决相关问题.
想一想：如图，有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两人想要平分，应该怎么分呢？
猜想与发现：如图,在△ABC中,D是BC边上的一个动点,连接AD,在点D的运动过程中,观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法,并与同伴进行交流.
探究一 三角形的高线、中线、角平分线的概念
点D或线段AD有以下特殊的位置：
你能尝试给三角形中这三类边、角的特殊位置关系下个定义吗？
(一)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
所以AD是△ABC的BC边上的高。
因为 AD⊥BC（∠BDA =90°)，
符号语言：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线。
所以 AD是△ABC的BC边上的中线。
符号语言：
因为 BD=DC=BC ，
（二）三角形的中线
（三）三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
探究二　三角形的中线、角平分线、高线的性质
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系
(3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
三条高交于同一点，并且这个点在三角形内部.
都在三角形的内部.
锐角三角形
如图所示.
活动1：通过画三类三角形的高线，探究三角形高线的性质.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(2) 斜边 AC 上的高是 ；
直角三角形
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高；
AB
CB
三条高线有怎样的位置关系
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
对于直角三角形：
钝角三角形
(1) 你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高是哪条线段？
AB 边上的高是哪条线段？
BC 边上的高是哪条线段？
BF
CE
AD
对于钝角三角形：
A
B
C
D
F
(3) 钝角三角形的三条高交于一点吗？若不是，则三条高线所在的直线是否交于一点呢？你能作图说明吗？
O
E
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
三角形的高线 锐角 三角形 直角 三角形 钝角
三角形
图形
在三角形内部的数量
是否相交
所在直线是否相交
所在的直线的交点位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
注意：三角形的三条高所在直线交于一点(三角形的垂心).
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系
三条中线，
相交于一点
活动2：小组合作解决下列问题，探究三角形中线的性质.
(2) 直角三角形和钝角三角形的中线又是怎样的？折一
折，画一画，并与同伴交流.
要点归纳：三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.
(3)如图,用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片,怎样确定这个点的位置呢
三角形三条中线的交点就是这个点的位置.
重心
(4) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？为什么？
B
C
D
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
结论：三角形的中线能将三角形的面积平分.
解析：因为 CE 是△ACD 的中线，
所以 S△AEC = S△EDC = S△ADC，
即 S△ADC = 6 cm2.
又因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 S△ABD = S△ADC = S△ABC，
即 S△ABC = 12 cm2.
1.如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =______cm2.
12
问题1：在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗 你能通过折纸的方法得到它吗
活动3：小组合作解决下列问题，探究三角形角平分线的性质.
B
A
C
方法1：
用量角器画最简便，用圆规也能.
方法2：
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
问题2：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系
结论：三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
这个点称为
三角形的内心.
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
2.如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
重心
三角形的重要线段
高
角平分线
中线
平分线段
平分面积
垂心
内心
本节课我们学到了哪些知识？谈谈你的收获.
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶
点，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
1. 下列各图中，哪一组图形中的 AD 是△ABC 的高 ( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
3. 如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AB＝7，BC＝8，AD＝6.则CE＝ .
　
4. 如图，AD是△ABC的中线，若AB＝5 cm，AC＝3 cm，则△ABD与△ACD的周长之差是(　B)
A. 1 cm B. 2 cm
C. 3 cm D. 5 cm
B
5.如图，是的角平分线,是 的角平分线,
若 ,则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.

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