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第四章 三角形
4.1 课时3 三角形的高、中线和角平分线
1.认识三角形的高、中线、角平分线，会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.了解三角形的高、中线和角平分线都分别交于一点的性质.
思考：如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.如何确定这个点的位置？这个点有何特点呢？
观察与交流1：如图，在△ABC 中，点 F 是 BC 边上的一个动点，连接 AF，在点 F 的运动过程中，观察点 F或线段 AF 有哪些特殊的位置.
A
B
C
F
观察 ∠AFB 或线段 AF 的大小有什么特殊之处，说说你的想法，并与同伴进行交流.
(一)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
所以AF是△ABC的BC边上的高。
因为 AF⊥BC（∠BFA =90°)，
符号语言：
A
B
C
F
动手操作1：每人准备一个锐角三角形纸片.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？
(2)这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高直线交于同一点，并且这个点在三角形内部.
如图所示.
动手操作2：在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.
(1) 画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系？
(2) 你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
（1）如图，直角三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点是直角三角形的直角顶点.
（2）只能折出其中一条高，
画出如图：
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流.
O
E
钝角三角形的三条高互不相交，它们所在的直线交于一点，并且这个点在三角形外部.
结论：三角形的三条高所在的直线交于一点.
这个点称为
三角形的垂心.
1. 分别指出图中 △ABC 的三条高.
直角边 BC 上的高是 ；
直角边 AB 上的高是 .
(1) 斜边 AC 上的高是 ；
AB
CB
BD
(2) AC 边上的高是 ；
AB 边上的高是 ；
BC 边上的高是 ；
BF
CE
AD
第(1)题图
第(2)题图
观察与交流2：观察 BE 与 EC 的长度有什么特殊之处？
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作三角形的中线
所以 AE是△ABC的BC边上的中线。
符号语言：
因为 BE=EC=12BC ，
?
（二）三角形的中线
B
A
C
E
动手操作：(1) 在纸上画出一个锐角三角形，要确定它的中线你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系?
三条中线，
相交于一点
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
发现：三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心.
重心
(3) 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系？说说你的理由，你还能得出什么结论？
B
C
D
A
相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
三角形的中线能将三角形的面积平分.
2.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线．
（1）AC = AE = EC；
CD = ；
AF = AB；
（2）若S△ABC = 12 cm2，则S△ABD =______．
2
2
BD
A
B
C
D
E
F
G
12
?
6 cm?
观察与交流3：观察 ∠BAF 与 ∠CAF 的大小有什么特殊之处？
（三）三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线.
∠1 =∠2
动手操作：每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗？
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？
B
A
C
（1）用量角器，圆规都能画角平分线，作图如下：
（2）在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为∠BAC 的平分线.
A
B
C
D
D
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间的位置关系如下：
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形角平分线的特征
这个点称为
三角形的内心.
3.如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于点 E，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于 H，判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
（1）AD 是△ABE 的角平分线. ( )
（2）BE 是△ABD 的边 AD 上的中线. ( )
（3）BE 是△ABC 的边 AC 上的中线. ( )
×
×
×
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝68°，
4.如图，在△ABC 中，∠BAC = 68°，∠B = 36°，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
B
D
A
C
所以∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，∠B +∠ADB +∠BAD＝180°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D
C
B
A
E
F
O
D
B
C
A
E
F
三角形的重要线段
高
角平分线
重心
中线
平分线段
平分面积
垂心
内心

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