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第四章 三角形
4.2 全等三角形
1.理解全等三角形的概念，能正确表示全等三角形，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关问题.
在日常生活中，我们经常可以看到完全一样的图形，如果把它们叠在一起，它们就能完全重合.
这样的图形除了重合还有其他性质吗？
A
B
C
D
E
F
做一做：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有什么发现?
定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
A
B
C
D
E
F
顶点 A，顶点 D 重合，它们是对应顶点；
AB 边与 DE 边重合，它们是对应边；
∠A 与 ∠D 重合，它们是对应角。
A(D)
B(E)
C(F)
从图中你还能找到其他的对应顶点、对应边和对应角吗?
对应点：点 A，点 D；
对应边：AB 与 DE；
对应角：∠A 与∠D ；
点 B，点 E；
点 C，点 F；
AC 与 DF；
BC 与 EF；
∠B 与∠E ；
∠C 与∠F .
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
B
C
D
E
F
如何表示这种
全等关系呢？
A　
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
△ABC≌△DEF
△ABC 与 △DEF 全等，记作
因为△ABC≌△DEF，
所以 AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边相等)，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F (全等三角形的对应角相等)
全等三角形性质的几何语言
A　
B
C
E
D
F
1.如图，已知△ABD≌△CDB，∠A与∠C对应，边AD与CB对应，则另外两组对应角是__________________________________，另外两组对应边是________________________．
∠ABD与∠CDB，∠ADB与∠CBD
AB与CD，DB与BD　
2. 如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2cm，BE＝1.2cm，∠A＝25°，∠B＝48°，则DE＝ cm，∠C＝ ?°.
2　
48　
1.有公共边的，公共边是对应边；
2.有公共角的，公共角是对应角；
3.有对顶角的，对顶角是对应角；
4.长边对应长边，短边对应短边，大角对应大角，小角对应小角.
全等三角形找对应边、对应角方法
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
A
B
C
D
E
F
思考：对于两个全等三角形，它们对应的高线、中线、角平分线是否相等？如何验证呢？
【操作·交流】
(1) 每人准备两张全等三角形纸片，并画出两张三角形纸片对应边的高。全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应的角平分线呢？
A　
B
C
E
D
F
M
N
M'
N'
对应边上的高、中线、对应的角平分线也相等
Q
Q′
(2) 如图， 已知 △ABC≌△A'B'C'，如何在△A'B'C' 中画出与线段 DE 相对应的线段？
A　
B　
C　
D　
E　
A'　
B'　
C'　
D'　
E'　
【操作·交流】
【尝试·交流】
准备一张等边三角形纸片，你能用折纸的办法把它分成两个全等三角形吗?能把它分成三个全等三角形吗?能把它分成四个全等三角形吗?与同伴进行交流。
用 3 个等边三角形纸片画一画，再剪下来试试能否重合！
3.下列说法中，正确的为( )
D
①全等三角形的面积相等；
②周长相等的两个三角形全等；
③全等三角形的形状相同、大小相等；
④全等三角形的对应边相等、对应角相等.
A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
4.已知△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′=90? ，AB=5 ，BC=4，
AC=3，则△A′B′C′ 的周长为____，面积为___，斜边上的高为___.
?
12
6
125
?
解：Rt△ABC中，∠C=90? ，AB=5，BC=4 ，AC=3 ，
所以△ABC的周长是5+4+3=12，△ABC 的面积是12AC?BC=12×3×4=6 .
设△ABC的斜边上的高是h，则S△ABC=12AC?BC=12AB?h ，
所以h=125 .
因为Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ ，
所以△A′B′C′的周长为12，面积为6，斜边上的高为125 .
?
全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形
符号表示
用“≌”连接两个全等三角形
性质
对应边相等，对应角相等。
全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等。
本节课你学到了哪些知识与方法？
1. 如图，图中的两个三角形全等，则∠???? 等于( )
?
B
A. 50? B. 55? C. 60? D. 65?
?
2. 如图，△ABC≌△ADE，若∠D =∠B，
∠C =∠AED，则∠DAE = ，
∠DAB = .
∠BAC
∠EAC
A
B
C
D
E
3.如图，△EFG≌△NMH，EF = 2.1 cm，EH = 1.1 cm，NH = 3.3 cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
∠E 和∠N，∠F 和∠M，∠EGF 和∠NHM.
对应边：
对应角：
EF 和 NM，FG 和 MH，EG 和 NH
（2）求线段 NM 及 HG 的长度；
解：因为 △EFG≌△NMH，
所以 EF = NM = 2.1 cm，
EG = NH = 3.3 cm.
所以 HG = EG - EH = 3.3 - 1.1 = 2.2 (cm).
解：结论：EF∥NM.
理由： 因为△EFG≌△NMH，
所以∠E =∠N. 所以 EF∥NM.
想一想：你还能得出
其他结论吗？
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由.
4.如图，△ABC≌△EBD，问∠1 与∠2 相等吗?若相等请说明理由.
解：∠l=∠2. 理由如下：
因为△EBD≌△ABC，
所以∠A = ∠E.
在△AOF 与△EOB 中，
∠AOF =∠EOB.
根据三角形内角和为 180°，所以∠1 =∠2.
补充：全等变换图形展示

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