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第四章 三角形
4.3 课时4 三角形全等判定的综合运用
1.熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用判定条件判定三角形全等.
填一填：在△ABC和△DEC 中，已知一下条件，请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.
已知条件 补充条件 判定方法
AC=DC，∠A=∠D SAS
∠A=∠D，AB=DE ASA
∠A=∠D，AB=DE AAS
AC=DC，AB=DE SSS
AB=DE
∠B=∠E
∠ACB=∠DCE
BC=EC
判定两个三角形全等的关键是什么？
题型：挖掘隐藏条件证明两个三角形全等
例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD
与△CDB 全等吗 请说明理由。
分析:
①已知条件:
AB=CD
②隐含条件:
公共边 BD
③可以考虑哪个定理判定：
SAS
④缺少的条件：
∠1=∠2
AB∥CD
两直线平行，内错角相等
解：因为AB∥CD，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠1=∠2。
在△ABD和△CDB 中，
因为AB=CD，∠1=∠2，BD=DB，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABD≌△CDB。
例1 如图，AB∥CD，并且AB=CD，那么△ABD与△CDB 全等吗 请说明理由。
1. 三角形全等书写的三个步骤：
① 写出在哪两个三角形中；
② 摆出三个条件（可用大括号括起来）；
③ 写出全等结论.
2. 怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，
一是已知中给出的；
二是图形中隐含的(如公共边、公共角等).
证明三角形全等需要注意：
1.如图，点 E，F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 试说明：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
解：
因为 AD∥BC，
所以∠A =∠C.
因为 AE = CF，
在△AFD 和△CEB 中，
因为 AD = CB，
∠A = ∠C，
AF = CE ，
所以△AFD≌△CEB(SAS) .
所以 AE + EF = CF + EF，即 AF = CE.
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD，
（1）△AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
分析：①已知条件:
②隐含条件:
OA=OB，OC=OD
∠AOD=∠BOC
③可以用于判定的定理：
边角边
解：(1)因为∠AOD与∠BOC 是对顶角，
根据“对顶角相等”，
所以∠AOD=∠BOC。
在△AOD和△BOC 中，
因为OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC ，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△AOD≌△ BOC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（1）△AOD与△BOC全等吗 请说明理由。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
△AOD≌△ BOC
AD=BC，
DC=CD，
AC=BD，
△ACD≌△ BDC（SSS）
分析：
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
(2) 由(1)可知，△AOD≌△ BOC ，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以AD=BC。
因为OA=OB，OC=OD，
AC=OA+OC，BD=OB+OD，
所以AC=BD。
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，AC=BD，DC=CD，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
你还能根据其他的判断条件，判定这两个三角形全等吗 说说你的思路.
在△ACD和△BDC 中，
因为AD=BC，∠A=∠B，AC=BD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
在△ACD和△BDC 中，
因为∠A=∠B，AC=BD，∠ACD=∠BDC，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，
所以△ ACD ≌△ BDC。
例2 如图，AC与BD相交于点O，且OA=OB，OC=OD。
（2）△ACD与△BDC全等吗 为什么
2. 如图，，，与 相交于 点，则图中的全等三角形有( )
A. 2对B. 3对
C. 4对D. 5对
C
3.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________________________．
“SAS”
“AAS”
ASA
∠C＝∠D
∠B＝∠E
AC＝AD
∠C＝∠D或∠B＝∠E或AC＝AD
判定三角形全等的思路
已知
两边
已知一边一角
已知
两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)
1．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出( )
A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACD
C．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE
B
2．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AE，下列条件无法确定△ABC≌△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．BC＝DE
C．AB＝AD D．∠B＝∠D
B
3. 如图，AB＝DE，AB∥DE，BC＝EF，有下列结论，其中正确的是
(　D　)
①AC＝DF；
②∠A＝∠D；
③AC∥DF；
④∠A＋∠B＝∠D＋∠DEF.
A. ①② B. ①②③
C. ②③④ D. ①②③④
D
4．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.
(1)试说明：BD＝DE＋CE；
解：(1)因为△BAD≌△ACE，
根据“全等三角形的对应边相等”，
所以BD＝AE，AD＝CE，
所以BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，
即BD＝DE＋CE；
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？写出结论并说明理由．
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.
理由如下：因为△BAD≌△ACE，
根据“全等三角形的对应角相等”，
所以∠E＝∠ADB＝90°
（添加的条件是∠ADB＝90°），
所以∠BDE＝180°－90°＝90°＝∠E.
根据“内错角相等，两直线平行”，所以BD∥CE.
(2)当△ABD满足什么条件时，BD∥CE？写出结论并说明理由．

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