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第四章 三角形
4.4 利用三角形全等测距离
1.学会利用三角形全等知识将“不可测量的距离”转变为“可测量的距离”.
2.通过构建全等模型把实际问题转化为数学模型.
判定三角形
全等的方法
情景1 下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事：
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？
敌军碉堡
我军阵地
这位聪明的战士的方法如下：
他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；
然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；
接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．
步测距离
碉堡距离
A
B
C
H(战士)
这个方法中，已知条件是什么？要求的是什么？你能说一说吗？
解：（1）战士的身高AH不变，战士与地面是垂直的(AH⊥BC)；
视角∠HAC=∠HAB.
战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(C)的距离，
战士的结论是只要按要求(如图)测得HC的长度即可 (即BH=HC) .
A
B(敌碉堡)
C
H(战士)
(1)战士所讲述的方法中，已知条件是什么？
(2)你能用数学知识说明BH=CH吗？
(2)你能用数学知识说明BH=CH吗？
（2）在△AHB和△AHC中，
∠????????????=∠????????????，????????=????????（公共边）?，∠????????????=∠????????????，?
所以△AHB≌△AHC（ASA）.
所以BH=CH.
?
A
B(敌)
C
H(战士)
情景2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个美丽的池塘 ，他想知道最远两点A，B之间的距离，但是他没有船，不能直接去测，手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A，B之间的距离呢？
先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；
连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，
DE的长度就是A，B间的距离.
你能说明其中的道理吗?
方法1：(延长全等法)
C
·
·
·
D
E
△ABC≌△DEC(SAS)
????????=????????∠????????????=?∠?????????????????????=????????
?
AB=DE
结合两个情景，你能说说全等知识在此类测距离问题中起到了什么作用吗？
C
·
·
·
D
E
利用三角形全等可以测量两点之间的距离
不可测量或不方便测量的线段
方便测量的线段
构造全等三角形
利用全等三角形的性质转移线段
先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点O，过O点作OB⊥AB，并延长OB到D，使OD＝OB；过D点作CD⊥BD，连接AO并延长交CD于点C，测得的CD的长度就是A，B间的距离．
议一议：你还能想到求A，B间的距离的其他方案吗？相应的原理是什么？
原理：在△ABO和△CDO中，
因为∠AOB＝∠COD，BO＝DO，∠ABO＝∠CDO，
所以△ABO≌△CDO(?ASA))．
所以AB＝CD(全等三角形的对应边相等).
方法2：(垂直全等法)
方法3：
作△ABC，取点D，使AD∥BC,且AD=BC。连接CD。
则CD的长度就是A，B间的距离。
?
原理：连接AC AD∥CB ∠1=∠2
△ACD≌△CAB(SAS) AB=CD
议一议：你还能想到求A，B间的距离的其他方案吗？相应的原理是什么？
方法4：
取一点D，使AD⊥BD,延长AD至点C，使CD=AD。连接BC。
则BC的长度就是A，B间的距离。
原理：△ADB≌△CDB(SAS) AB=BC
1.知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。
依据：全等三角形的性质。
关键：构造全等三角形。
2.方法：
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形。
3.数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想。
本节课你学到了哪些知识与方法？
C
·
·
·
D
E
1.如图要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO，BO，CO，DO应满足下列的哪个条件？（ ）
A.AO=CO ?????????????? B.BO=DO
C.AC=BD ?????????????? D.AO=CO且BO=DO
D
3.把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面分别为5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.求不出来
C
4. 如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上(绳结处的误差忽略不计)，现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由.
解：用卷尺测量出BD，CD的长，看它们是否相等，
若BD=CD，则AD⊥BC.
理由如下：
在△ABD和△ACD中，AB=AC， BD=CD， AD=AD，
所以△ABD≌△ACD（SSS），
所以∠ADB=∠ADC，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC.

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