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16.3　一次函数
1.一次函数
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的概念
1.（上海中考）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y＝3x＋1　　B.y＝3x2
C.y＝　　D.y＝
2.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　　）
A.y＝2x　　B.y＝＋2
C.y＝x－　　D.y＝2x2－1
3.若关于x的函数y＝（a－2）x＋b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　　）
A.a≠2　　B.b＝0
C.a＝2且b＝0　　D.a≠2且b＝0
4.若y＝3xk－1＋6是关于x的一次函数，则k＝ .
　　知识点2　根据实际问题列一次函数关系式
5.冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）与冷冻时间t（单位：分）的函数关系式是T＝ .
6.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”，他计划今后每月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是（　 　）
A.y＝20x　　B.y＝500x
C.y＝500＋20x　　D.y＝500－20x
7.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm（0＜x＜3）后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x之间的函数关系式是（　 　）
A.y＝12－4x　　B.y＝4x－12
C.y＝12－x　　D.以上都不对
8.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是一次函数，哪些是正比例函数.
（1）在速度为80千米/时的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（时）之间的函数关系；
（2）小红去商店购买笔记本，每本笔记本2.5元，小红购买笔记本的总费用y（元）与购买笔记本的本数x（本）之间的函数关系；
（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（千克）（x＞20）之间的函数关系.
　　易错点　忽略一次函数表达式中k≠0致错
9.（信阳平桥区期末）若函数y＝（m－1）x｜m｜是关于x的正比例函数，则m的值为 .
@中档提分训练
10.关于函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），下列说法正确的有（　 　）
①y是x的一次函数；
②y是x的正比例函数；
③当b＝0时，y是x的正比例函数；
④只有当b≠0时，y才是x的一次函数.
A.1个　　B.2个　　
C.3个　　D.4个
11.某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收缴，每月2.8元/m2；有车位的业主还要交车位物业服务费，每月60元.设某个有车位的业主，其住房面积为x m2，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y元，则y与x之间的函数表达式为 ，当y＝410时，x的值为 .
12.【新定义试题】新定义：［a，b，c］为函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为实数）的“关联数”.若“关联数”为［m－2，m，1］的函数为一次函数，则m＝ .
13.已知关于x的函数y＝（m＋1）x2－｜m｜＋n＋4.
（1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
14.科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1 km，气温下降约6 ℃.某时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x km处的气温为y ℃.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，求飞机离地面的高度.
@拓展素养训练
15.如图，△ABC是边长为2x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数表达式，h是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值；
（2）当h＝时，求x的值；
（3）求△ABC的面积S与x之间的函数表达式，S是x的一次函数吗？
2.一次函数的图象
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的图象
1.已知正比例函数y＝2x的图象经过点（1，m），则m的值为（　 　）
A.　　B.2　　C.－　　D.－2
2.（新疆中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是（　 　）
A　B　C　D
3.一次函数y＝－x－3的图象经过（　 　）
A.第一、二、三象限　　B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限　　D.第二、三、四象限
4.（1）在如图所示的平面直角坐标系中分别画出下列函数的图象：l1：y＝x，l2：y＝x＋2，l3：y＝－x＋2；
（2）l1和l2的位置关系为 ；l2和l3都经过点 .
　　知识点2　一次函数图象的平移
5.（1）将直线y＝－2x向下平移2个单位长度，得到直线 ；
（2）将直线y＝x＋3向上平移3个单位长度，得到直线 .
6.若直线y＝kx＋2是由直线y＝－2x－2平移得到的，则k＝ ，即将直线y＝－2x－2沿y轴向 平移 个单位长度.
　　知识点3　一次函数图象与坐标轴的交点
7.若直线y＝－x＋2与x轴交于点A，则点A 的坐标是（　 　）
A.（2，2）　　B.（0，2）　　C.（1，1）　　D.（2，0）
8.在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图象时，通常过点 和 画一条直线.
　　知识点4　实际问题中的一次函数图象
9.汽车由绵阳驶往相距280千米的乐山，如果汽车的平均速度是70千米/时，那么汽车距乐山的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（　 　）
A.　　　B.
C.　　　D.
10.小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果的价格是4元/千克，设买水果x千克用去的钱为y元.
（1）求买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）当x＝3，4时，y分别是多少？
@中档提分训练
11.已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（1，3），（a，b），则的值为（　 　）
A.3　　B.　　C.－3　　D.－
12.某地为了改善生态环境，政府决定绿荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，以植树时间年数x（年）为自变量，则植树的总面积y（万亩）是x的一次函数，此一次函数的图象为（　 　）
A.　　B.
C.　　D.
13.（邵阳中考）一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位长度后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是（　 　）
A.k1＝k2
B.b1＜b2
C.b1＞b2
D.当x＝5时，y1＞y2
14.已知一次函数y＝mx＋n（m，n为常数），若该函数图象经过点（－1，－2），且交y轴于负半轴，则m的取值范围为 .
15.已知一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象都经过点A（－2，0），且与y轴分别交于B，C两点.
（1）求a，b的值；
（2）画出一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象；
（3）求△ABC的面积.
@拓展素养训练
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x－2.
（1）将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边BC交于点E，求△ABE的面积.
3.一次函数的性质
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的性质
1.下列函数中，y随x的增大而减小的是（　 　）
A.y＝－x＋2　　B.y＝2x－1
C.y＝x　　D.y＝3x－1
2.（山西中考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　 　）
A.y1＞y2　　B.y1＜y2
C.y1＝y2　　D.y1≥y2
3.对于正比例函数y＝－2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　 　）
A.－2　　B.2
C.－　　D.
4.（济源期末）对于函数y＝－2x＋3的图象，下列结论错误的是（　 　）
A.图象必经过点（1，1）
B.图象经过第一、三、四象限
C.与y轴的交点坐标为（0，3）
D.若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2
5.若函数y＝（2k－6）x＋1是关于x的一次函数，且y随x的增大而增大，则k的取值范围是 .
6.若正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y随x的增大而减小，则m＝ .
7.【开放性试题】已知一次函数的图象过点（0，5），且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： .
8.（信阳平桥区期末）已知一次函数y＝－x＋3，当0≤x≤2时，y的最大值是 .
　　知识点2　一次函数图象与字母系数的关系
9.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列正确的是（　 　）
A.k＞0，b＞0
B.k＜0，b＞0
C.k＞0，b＜0
D.k＜0，b＜0
10.已知一次函数y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝6，则该一次函数的图象经过（　 　）
A.第二、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、三、四象限
11.已知关于x的一次函数y＝（2m＋4）x＋（5－m）.
（1）若y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围.
　　易错点　忽视正比例函数是特殊的一次函数而致错
12.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（　 　）
A.k＞0，b＜0　　B.k＞0，b≤0
C.k＜0，b＜0　　D.k＜0，b≤0
@中档提分训练
13.（商丘期末）已知点A（x1，－2），B（x2，4）是直线y＝－（k2＋1）x＋3上的两点，则x1与x2的大小关系是（　 　）
A.x1＞x2　　B.x1≥x2
C.x1＜x2　　D.x1≤x2
【变式】（河南师大附中期末）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在一次函数y＝（1＋2m）x－3的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　 　）
A.m＞　　B.m＜
C.m＜－　　D.m＞－
14.对于某个一次函数y＝kx＋b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　 　）
A.k＞0　　B.kb＜0
C.k＋b＞0　　D.k＝－b
15.（陕西中考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　 　）
A B C D
16.已知点P（m，－2），Q（m＋2，－1）在一次函数y＝kx＋b的图象上，则k 0.（填“＞”或“＜” ）
17.已知一次函数y＝（2－m）x＋2m－7的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数.
（1）求m的值；
（2）当－1≤x≤2时，求y的取值范围.
@拓展素养训练
18.研究新函数y＝－3｜x｜＋1，可以通过一次函数的图象和性质的学习过程来探究新函数.
（1）补全下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －8 －2 1 －5 －8 …
（2）根据（1）中的数据在图中画出函数图象；
（3）根据（2）中的图象，探究该函数的性质.
①该函数的最大值为 ；
②请你再写出一条该函数的性质.
4.求一次函数的表达式
@基础分点训练
　　知识点1　用待定系数法求一次函数的表达式
1.已知正比例函数的图象经过点（－2，1），则这个正比例函数的表达式为（　 　）
A.y＝2x　　B.y＝－2x
C.y＝x　　D.y＝－x
2.如图，直线AB对应的函数表达式是（　 　）
A.y＝－x＋2　　B.y＝x＋3
C.y＝－x＋2　　D.y＝x＋2
3.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（－1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的表达式为 .
4.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（1，3），且与直线y＝2x－3平行，则这个函数的表达式为 .
5.（濮阳期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝－1时，求y的值.
系数法求一次函数的表达式的应用
6.【河南本土文】（安阳北关区期末）荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥.小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高y（cm）近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的函数表达式为 .
生长时间x/天 50 60
高y/cm 10 15
7.王老师开车从甲地到相距240 km的乙地，如果油箱剩余油量y（L）与行驶路程x（km）之间是一次函数关系，其图象如图所示，则到达乙地时油箱中剩余的油量为 L.
8.（陕西中考）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
@中档提分训练
9.如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是（3，4），则直线AC对应的函数表达式为（　 　）
A.y＝－x＋4　　B.y＝－x＋3
C.y＝x＋4　　D.y＝－x＋3
第9题图
10.若y与x－5成正比例，且当x＝－1时，y＝18，则y与x的函数关系式是 .
11.如图，已知直线y＝x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点.若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数表达式是 .
第11题图
12.商场的营业员小李销售某种商品，她的月收入与她该月的销售量之间成一次函数关系，其图象如图所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小李在没有销售量时的收入是多少元？
（2）求小李的月收入y（元）关于月销售量x（件）的函数表达式；
（3）已知小李4月份的销售量为250件，小李4月份的收入是多少元？
@拓展素养训练
13.【应用意识】如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（％）与充电时间t（h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC.根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量为20％的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用 h；
（2）求线段AB，AC的函数表达式；
（3）已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时20％.若该汽车目前电量为20％，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶a h，接着用普通充电器将其充满电，其“充电—耗电—充电”的时间恰好是14 h，求a的值.16.3　一次函数
1.一次函数
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的概念
1.（上海中考）下列函数中，是正比例函数的是（　D　）
A.y＝3x＋1　　B.y＝3x2
C.y＝　　D.y＝
2.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（　C　）
A.y＝2x　　B.y＝＋2
C.y＝x－　　D.y＝2x2－1
3.若关于x的函数y＝（a－2）x＋b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（　D　）
A.a≠2　　B.b＝0
C.a＝2且b＝0　　D.a≠2且b＝0
4.若y＝3xk－1＋6是关于x的一次函数，则k＝　2　.
　　知识点2　根据实际问题列一次函数关系式
5.冷冻一个0 ℃的物体，使它每分钟下降2 ℃，物体的温度T（单位：℃）与冷冻时间t（单位：分）的函数关系式是T＝　－2t　.
6.小明现已存款500元，为赞助“希望工程”，他计划今后每月存款20元，则存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关系式是（　C　）
A.y＝20x　　B.y＝500x
C.y＝500＋20x　　D.y＝500－20x
7.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm（0＜x＜3）后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x之间的函数关系式是（　A　）
A.y＝12－4x　　B.y＝4x－12
C.y＝12－x　　D.以上都不对
8.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是一次函数，哪些是正比例函数.
（1）在速度为80千米/时的匀速运动中，路程y（千米）与时间x（时）之间的函数关系；
（2）小红去商店购买笔记本，每本笔记本2.5元，小红购买笔记本的总费用y（元）与购买笔记本的本数x（本）之间的函数关系；
（3）某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费y（元）与携带行李质量x（千克）（x＞20）之间的函数关系.
解：（1）根据题意，得y＝80x，既是一次函数，也是正比例函数.
（2）根据题意，得y＝2.5x，既是一次函数，也是正比例函数.
（3）根据题意，得y＝1.5（x－20）＝1.5x－30（x＞20），是一次函数，不是正比例函数.
　　易错点　忽略一次函数表达式中k≠0致错
9.（信阳平桥区期末）若函数y＝（m－1）x｜m｜是关于x的正比例函数，则m的值为　－1　.
@中档提分训练
10.关于函数y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0），下列说法正确的有（　B　）
①y是x的一次函数；
②y是x的正比例函数；
③当b＝0时，y是x的正比例函数；
④只有当b≠0时，y才是x的一次函数.
A.1个　　B.2个　　
C.3个　　D.4个
11.某住宅小区的住房物业服务费按住房面积收缴，每月2.8元/m2；有车位的业主还要交车位物业服务费，每月60元.设某个有车位的业主，其住房面积为x m2，每月应缴住房和车位物业服务费的总和为y元，则y与x之间的函数表达式为　y＝2.8x＋60　，当y＝410时，x的值为　125　.
12.【新定义试题】新定义：［a，b，c］为函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为实数）的“关联数”.若“关联数”为［m－2，m，1］的函数为一次函数，则m＝　2　.
13.已知关于x的函数y＝（m＋1）x2－｜m｜＋n＋4.
（1）当m，n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：（1）根据一次函数的定义，得
m＋1≠0且2－｜m｜＝1.
解得m＝1.
∴当m＝1，n为任意实数时，y是x的一次函数.
（2）由（1）得，m＝1.根据正比例函数的定义，得
n＋4＝0，解得n＝－4.
∴当m＝1，n＝－4时，y是x的正比例函数.
14.科学研究发现，一般情况下，海拔每升高1 km，气温下降约6 ℃.某时刻，若甲地地面气温为20 ℃，设高出地面x km处的气温为y ℃.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显示飞机外面的温度为－34 ℃，求飞机离地面的高度.
解：（1）依题意，得y＝20－6x.
（2）在y＝20－6x中，当y＝－34时，
－34＝20－6x，解得x＝9.
∴此时飞机离地面的高度为9 km.
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15.如图，△ABC是边长为2x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数表达式，h是x的一次函数吗？如果是一次函数，请指出相应的k与b的值；
（2）当h＝时，求x的值；
（3）求△ABC的面积S与x之间的函数表达式，S是x的一次函数吗？
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
BD＝BC＝x.
∴h＝AD＝＝＝x.
∴h是x的一次函数，相应的k＝，b＝0.
（2）当h＝时，＝x，解得x＝1.
（3）由题意，得S＝BC AD＝×2x x＝x2.
∴S不是x的一次函数.
2.一次函数的图象
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的图象
1.已知正比例函数y＝2x的图象经过点（1，m），则m的值为（　B　）
A.　　B.2　　C.－　　D.－2
2.（新疆中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是（　D　）
A　B　C　D
3.一次函数y＝－x－3的图象经过（　D　）
A.第一、二、三象限　　B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限　　D.第二、三、四象限
4.（1）在如图所示的平面直角坐标系中分别画出下列函数的图象：l1：y＝x，l2：y＝x＋2，l3：y＝－x＋2；
（2）l1和l2的位置关系为　平行　；l2和l3都经过点　（0，2）　.
解：（1）列表：
x y＝x y＝x＋2 y＝－x＋2
1 2.5 1.5
－4 －2 0 4
0 0 2 2
描点、连线，如图所示.
　　知识点2　一次函数图象的平移
5.（1）将直线y＝－2x向下平移2个单位长度，得到直线　y＝－2x－2　；
（2）将直线y＝x＋3向上平移3个单位长度，得到直线　y＝x＋6　.
6.若直线y＝kx＋2是由直线y＝－2x－2平移得到的，则k＝　－2　，即将直线y＝－2x－2沿y轴向　上　平移　4　个单位长度.
　　知识点3　一次函数图象与坐标轴的交点
7.若直线y＝－x＋2与x轴交于点A，则点A 的坐标是（　D　）
A.（2，2）　　B.（0，2）　　C.（1，1）　　D.（2，0）
8.在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图象时，通常过点　（1，0）　和　（0，3）　画一条直线.
　　知识点4　实际问题中的一次函数图象
9.汽车由绵阳驶往相距280千米的乐山，如果汽车的平均速度是70千米/时，那么汽车距乐山的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（　C　）
A.　　　B.
C.　　　D.
10.小明用20元零花钱购买水果慰问老人，已知水果的价格是4元/千克，设买水果x千克用去的钱为y元.
（1）求买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）当x＝3，4时，y分别是多少？
解：（1）根据题意，得
买水果用去的钱与水果的质量之间的函数表达式为y＝4x（0≤x≤5）.
（2）如图所示.
（3）当x＝3时，y＝12；
当x＝4时，y＝16.
@中档提分训练
11.已知正比例函数y＝kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点（1，3），（a，b），则的值为（　B　）
A.3　　B.　　C.－3　　D.－
12.某地为了改善生态环境，政府决定绿荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，以植树时间年数x（年）为自变量，则植树的总面积y（万亩）是x的一次函数，此一次函数的图象为（　A　）
A.　　B.
C.　　D.
13.（邵阳中考）一次函数y1＝k1x＋b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位长度后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x＋b2.下列说法中错误的是（　B　）
A.k1＝k2
B.b1＜b2
C.b1＞b2
D.当x＝5时，y1＞y2
14.已知一次函数y＝mx＋n（m，n为常数），若该函数图象经过点（－1，－2），且交y轴于负半轴，则m的取值范围为　m＜2且m≠0　.
15.已知一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象都经过点A（－2，0），且与y轴分别交于B，C两点.
（1）求a，b的值；
（2）画出一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象；
（3）求△ABC的面积.
解：（1）将点A（－2，0）代入y＝2x＋a，得－4＋a＝0，解得a＝4.
将点A（－2，0）代入y＝－x＋b，得2＋b＝0.
解得b＝－2.
∴a的值为4，b的值为－2.
（2）由（1）得，两个函数分别为y＝2x＋4和y＝－x－2，
∴点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（0，－2）.
函数的图象如图所示.
（3）∵B（0，4），C（0，－2），A（－2，0），
∴OA＝2，OB＝4，OC＝2.∴BC＝OB＋OC＝6.
∴S△ABC＝BC OA＝×6×2＝6.
@拓展素养训练
16.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），已知直线l：y＝x－2.
（1）将直线l向上平移m个单位长度，使平移后的直线恰好经过点A，求m的值；
（2）在（1）的条件下，平移后的直线与正方形的边BC交于点E，求△ABE的面积.
解：（1）设平移后的直线表达式为y＝x＋b，
∵直线y＝x＋b过点A（5，3），
∴3＝×5＋b，∴b＝.
∴平移后的直线表达式为y＝x＋.
∴m＝－（－2）＝.
（2）∵正方形ABCD中，AD∥y轴，点A的坐标为（5，3），正方形的边长为2，
∴点E的横坐标为5－2＝3.
把x＝3代入y＝x＋，得y＝×3＋＝2.
∴点E的坐标为（3，2）.∴BE＝1.
∴S△ABE＝×2×1＝1.
3.一次函数的性质
@基础分点训练
　　知识点1　一次函数的性质
1.下列函数中，y随x的增大而减小的是（　A　）
A.y＝－x＋2　　B.y＝2x－1
C.y＝x　　D.y＝3x－1
2.（山西中考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（　B　）
A.y1＞y2　　B.y1＜y2
C.y1＝y2　　D.y1≥y2
3.对于正比例函数y＝－2x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　A　）
A.－2　　B.2
C.－　　D.
4.（济源期末）对于函数y＝－2x＋3的图象，下列结论错误的是（　B　）
A.图象必经过点（1，1）
B.图象经过第一、三、四象限
C.与y轴的交点坐标为（0，3）
D.若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2
5.若函数y＝（2k－6）x＋1是关于x的一次函数，且y随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＞3　.
6.若正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y随x的增大而减小，则m＝　－2　.
7.【开放性试题】已知一次函数的图象过点（0，5），且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式：　y＝－3x＋5（答案不唯一）　.
8.（信阳平桥区期末）已知一次函数y＝－x＋3，当0≤x≤2时，y的最大值是　3　.
　　知识点2　一次函数图象与字母系数的关系
9.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则下列正确的是（　D　）
A.k＞0，b＞0
B.k＜0，b＞0
C.k＞0，b＜0
D.k＜0，b＜0
10.已知一次函数y＝kx＋b，若k＋b＝－5，kb＝6，则该一次函数的图象经过（　D　）
A.第二、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、三、四象限
11.已知关于x的一次函数y＝（2m＋4）x＋（5－m）.
（1）若y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若函数图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围.
解：（1）由题意，得2m＋4＞0，解得m＞－2.
（2）由题意，得 解得－2＜m＜5.
　　易错点　忽视正比例函数是特殊的一次函数而致错
12.已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象不经过第二象限，则下列说法正确的是（　B　）
A.k＞0，b＜0　　B.k＞0，b≤0
C.k＜0，b＜0　　D.k＜0，b≤0
@中档提分训练
13.（商丘期末）已知点A（x1，－2），B（x2，4）是直线y＝－（k2＋1）x＋3上的两点，则x1与x2的大小关系是（　A　）
A.x1＞x2　　B.x1≥x2
C.x1＜x2　　D.x1≤x2
【变式】（河南师大附中期末）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在一次函数y＝（1＋2m）x－3的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　D　）
A.m＞　　B.m＜
C.m＜－　　D.m＞－
14.对于某个一次函数y＝kx＋b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　C　）
A.k＞0　　B.kb＜0
C.k＋b＞0　　D.k＝－b
15.（陕西中考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a（a为常数，a＜0）的图象可能是（　D　）
A B C D
16.已知点P（m，－2），Q（m＋2，－1）在一次函数y＝kx＋b的图象上，则k　＞　0.（填“＞”或“＜” ）
17.已知一次函数y＝（2－m）x＋2m－7的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数.
（1）求m的值；
（2）当－1≤x≤2时，求y的取值范围.
解：（1）∵一次函数y＝（2－m）x＋2m－7的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，
∴解得2＜m＜3.5.
∵m为整数，∴m＝3.
（2）由（1）知，m＝3，则该一次函数表达式为y＝－x－1.
∵－1≤x≤2，∴－3≤－x－1≤0.
∴y的取值范围是－3≤y≤0.
@拓展素养训练
18.研究新函数y＝－3｜x｜＋1，可以通过一次函数的图象和性质的学习过程来探究新函数.
（1）补全下表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －8 －5 －2 1 －2 －5 －8 …
（2）根据（1）中的数据在图中画出函数图象；
（3）根据（2）中的图象，探究该函数的性质.
①该函数的最大值为　1　；
②请你再写出一条该函数的性质.
解：（2）描点、连线，画出函数图象如图所示.
（3）②根据图象可知，当x＜0时，y随x的增大而大；当x＞0时，y随x的增大而减小（答案不唯一）.
4.求一次函数的表达式
@基础分点训练
　　知识点1　用待定系数法求一次函数的表达式
1.已知正比例函数的图象经过点（－2，1），则这个正比例函数的表达式为（　D　）
A.y＝2x　　B.y＝－2x
C.y＝x　　D.y＝－x
2.如图，直线AB对应的函数表达式是（　C　）
A.y＝－x＋2　　B.y＝x＋3
C.y＝－x＋2　　D.y＝x＋2
3.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（－1，2），且与y轴交点的纵坐标为4，则它的表达式为　y＝2x＋4　.
4.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（1，3），且与直线y＝2x－3平行，则这个函数的表达式为　y＝2x＋1　.
5.（濮阳期末）已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9）.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝－1时，求y的值.
解：（1）设这个一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）.
将（3，5）与（－4，－9）代入y＝kx＋b，得
解得
∴这个一次函数的表达为y＝2x－1.
（2）当x＝－1时，y＝2×（－1）－1＝－3.
　　知识点2　用待定系数法求一次函数的表达式的应用
6.【河南本土文】（安阳北关区期末）荆芥作为佐料常常出现在面条、凉菜等美食里，是河南人夏季餐食中不可或缺的一物，“荆芥放进面条碗，呼呼啦啦吃三碗”的谚语，也体现了河南人吃面离不开荆芥.小明记录大棚中荆芥的生长过程，发现其中一株荆芥的高y（cm）近似是生长时间x（天）的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的函数表达式为　y＝x－15　.
生长时间x/天 50 60
高y/cm 10 15
7.王老师开车从甲地到相距240 km的乙地，如果油箱剩余油量y（L）与行驶路程x（km）之间是一次函数关系，其图象如图所示，则到达乙地时油箱中剩余的油量为　20　L.
8.（陕西中考）经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是其胸径x（m）的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少？
解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
根据题意，得 解得
∴y＝25x＋15.
（2）当x＝0.3 m时，y＝25×0.3＋15＝22.5（m）.
∴当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m.
@中档提分训练
9.如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是（3，4），则直线AC对应的函数表达式为（　A　）
A.y＝－x＋4　　B.y＝－x＋3
C.y＝x＋4　　D.y＝－x＋3
第9题图
10.若y与x－5成正比例，且当x＝－1时，y＝18，则y与x的函数关系式是　y＝－3x＋15　.
11.如图，已知直线y＝x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点.若将△ABM沿AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的函数表达式是　y＝x＋3　.
第11题图
12.商场的营业员小李销售某种商品，她的月收入与她该月的销售量之间成一次函数关系，其图象如图所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）小李在没有销售量时的收入是多少元？
（2）求小李的月收入y（元）关于月销售量x（件）的函数表达式；
（3）已知小李4月份的销售量为250件，小李4月份的收入是多少元？
解：（1）由图知，当x＝0时，y＝3 000.
∴小李在没有销售量时的收入是3 000元.
（2）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），
由图象可知，当x＝0时，y＝3 000；当x＝200时，y＝6 000，
∴解得
∴y与x之间的函数解析式为y＝15x＋3 000.
（3）当x＝250时，y＝15×250＋3 000＝6 750.
答：小李4月份的收入为6 750元.
@拓展素养训练
13.【应用意识】如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（％）与充电时间t（h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC.根据以上信息，回答下列问题：
（1）在目前电量为20％的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　8　h；
（2）求线段AB，AC的函数表达式；
（3）已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时20％.若该汽车目前电量为20％，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶a h，接着用普通充电器将其充满电，其“充电—耗电—充电”的时间恰好是14 h，求a的值.
解：（2）设线段AB的函数表达式为E＝k1t＋b1（k≠0）.
将t＝0，E＝20和t＝1，E＝100代入E＝k1t＋b1，
得解得
∴线段AB的函数表达式为E＝80t＋20（0≤t≤1）.
设线段AC的函数表达式为E＝k2t＋b2（k≠0）.
将t＝0，E＝20和t＝9，E＝100代入E＝k2t＋b2，
得解得
∴线段AC的函数表达式为E＝t＋20（0≤t≤9）.
（3）根据图象及题意，得用快速充电器将其充满电用时1 h，正常驾驶a h后耗电20a％.
∴用普通充电器再次充满电用时20a÷＝（h）.
根据题意，得1＋a＋＝14，解得a＝4.

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