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16.4　反比例函数
1.反比例函数
@基础分点训练
　　知识点　反比例函数的概念
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　 　）
A.y＝2x－1　　B.y＝
C.y＝x2　　D.y＝
2.函数y＝中，自变量x的取值范围是 .
3.已知函数y＝是关于x的反比例函数，则k的值为 .
【变式】已知函数y＝2x2m－1是关于x的反比例函数，则m的值为 .
4.（教材P58练习T1变式）写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是不是反比例函数.
（1）底边长为3 cm的三角形的面积y（cm2）是底边上的高x（cm）的函数；
（2）一艘轮船从相距200 km的甲地驶往乙地，轮船的速度v（km/h）是航行时间t（h）的函数；
（3）在检修100 m长的管道时，每天能完成10 m，剩下的未检修的管道长y（m）是检修天数x的函数.
@中档提分训练
5.（成都期中）已知函数y＝（m－2）xm2－5，若y是x的反比例函数，则m的值是 .
6.已知一个长方体的体积是100 cm3，它的长是y cm，宽是10 cm，高是x cm，则y与x之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 .
7.生物学小组预建一个边长为x m，面积为30 m2的三角形生物养殖区，若这条边上的高为y m.
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当x＝6时，求这条边上的高.
@拓展素养训练
8.【跨学科 物理】用电器的电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式P＝I2R.已知P＝5 W，填写表格并回答问题.
I/A 1 2 3 4 5 6 7 8
R/Ω
（1）变量R是变量I的函数吗？
（2）变量R是变量I的反比例函数吗？
2.反比例函数的图象和性质
@基础分点训练
　　知识点1　反比例函数的图象及画法
1.（重庆中考）反比例函数y＝－的图象一定经过的点是（　 　）
A.（2，6）　　B.（－4，－3）
C.（－3，－4）　　D.（6，－2）
2.若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则（　 　）
A.k＜2　　B.k＝2　　C.k＞2　　D.k＜0
3.如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数y＝的图象.
　　知识点2　反比例函数的性质
4.（成都中考）某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式为I＝，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小” ）.
5.（河南中考）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为 .
【变式】（镇江中考）已知点A（－1，y1），B（a，y2）在反比例函数y＝的图象上，若y2＞y1，则a的取值范围是（　 　）
A.a＜－1或a＞0　　B.－1＜a＜0
C.a＞0　　D.a＜－1
6.（湖南中考）对于反比例函数y＝，下列结论正确的是（　 　）
A.点（2，2）在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
　　知识点3　确定反比例函数的表达式
7.（云南中考）若点（1，2）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　 　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
8.如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为 .
9.已知y是x的反比例函数，当x＝4时，y＝－3.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当y＝－4时，求x的值.
　　易错点　忽视反比例函数增减性的前提条件
10.（内蒙古中考）已知点A（m，y1），B（m＋1，y2）都在反比例函数y＝－的图象上，则下列结论一定正确的是（　 　）
A.y1＞y2
B.y1＜y2
C.当m＜0时，y1＜y2
D.当m＜－1时，y1＜y2
@中档提分训练
11.（河北中考）在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则（　 　）
A.＜x＜1　　B.1＜x＜2
C.2＜x＜4　　D.4＜x＜8
12.（洛阳月考）反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　 　）
A.5　　B.10　　C.－5　　D.－1
第12题图
13.函数y＝kx－3与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　 　）
A　　　
B　　　
C　　　
D
14.（陕西中考）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（m，n），B（m－6，n－6）两点，则k的值为 .
第14题图
15.（达州月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过A（2，m＋2），B（m，3）两点.
（1）求点A的坐标及k的值；
（2）求△OAB的面积.
@拓展素养训练
16.【古代数学】（贵州中考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变，如表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
（1）表格中a的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.16.4　反比例函数
1.反比例函数
@基础分点训练
　　知识点　反比例函数的概念
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　B　）
A.y＝2x－1　　B.y＝
C.y＝x2　　D.y＝
2.函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠0　.
3.已知函数y＝是关于x的反比例函数，则k的值为　－1　.
【变式】已知函数y＝2x2m－1是关于x的反比例函数，则m的值为　0　.
4.（教材P58练习T1变式）写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是不是反比例函数.
（1）底边长为3 cm的三角形的面积y（cm2）是底边上的高x（cm）的函数；
（2）一艘轮船从相距200 km的甲地驶往乙地，轮船的速度v（km/h）是航行时间t（h）的函数；
（3）在检修100 m长的管道时，每天能完成10 m，剩下的未检修的管道长y（m）是检修天数x的函数.
解：（1）由题意，得y＝×3 x＝x，∴y不是x的反比例函数.
（2）由题意，得v＝，∴v是t的反比例函数.
（3）由题意，得y＝100－10x，∴y不是x的反比例函数.
@中档提分训练
5.（成都期中）已知函数y＝（m－2）xm2－5，若y是x的反比例函数，则m的值是　－2　.
6.已知一个长方体的体积是100 cm3，它的长是y cm，宽是10 cm，高是x cm，则y与x之间的函数关系式为　y＝　，自变量x的取值范围为　x＞0　.
7.生物学小组预建一个边长为x m，面积为30 m2的三角形生物养殖区，若这条边上的高为y m.
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当x＝6时，求这条边上的高.
解：（1）由题意，得xy＝30，
∴y＝（x＞0）.
（2）把x＝6代入y＝，得y＝＝10.
∴这条边上的高为10 m.
@拓展素养训练
8.【跨学科 物理】用电器的电流I、电阻R、电功率P之间满足关系式P＝I2R.已知P＝5 W，填写表格并回答问题.
I/A 1 2 3 4 5 6 7 8
R/Ω 5
（1）变量R是变量I的函数吗？
（2）变量R是变量I的反比例函数吗？
解：（1）∵P＝I2R，P＝5，∴R＝.
∵对于I的每一个确定的值，R都有唯一的值与之对应，
∴变量R是变量I的函数.
（2）∵R＝，
∴R与I不满足y＝（k为常数，且k≠0）的形式.
∴变量R不是变量I的反比例函数.
2.反比例函数的图象和性质
@基础分点训练
　　知识点1　反比例函数的图象及画法
1.（重庆中考）反比例函数y＝－的图象一定经过的点是（　D　）
A.（2，6）　　B.（－4，－3）
C.（－3，－4）　　D.（6，－2）
2.若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则（　A　）
A.k＜2　　B.k＝2　　C.k＞2　　D.k＜0
3.如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数y＝的图象.
解：列表：
x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6 …
y … －2 －3 －4 －6 6 4 3 2 …
描点、连线如图所示.
　　知识点2　反比例函数的性质
4.（成都中考）某蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系式为I＝，则电流I的值随电阻R值的增大而　减小　（填“增大”或“减小” ）.
5.（河南中考）已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y＝－的图象上，则m与n的大小关系为　m＜n　.
【变式】（镇江中考）已知点A（－1，y1），B（a，y2）在反比例函数y＝的图象上，若y2＞y1，则a的取值范围是（　A　）
A.a＜－1或a＞0　　B.－1＜a＜0
C.a＞0　　D.a＜－1
6.（湖南中考）对于反比例函数y＝，下列结论正确的是（　D　）
A.点（2，2）在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当x＜0时，y随x的增大而增大
D.当x＞0时，y随x的增大而减小
　　知识点3　确定反比例函数的表达式
7.（云南中考）若点（1，2）在反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象上，则k＝（　B　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
8.如图，某反比例函数的图象过点M，则此反比例函数表达式为　y＝－　.
9.已知y是x的反比例函数，当x＝4时，y＝－3.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当y＝－4时，求x的值.
解：（1）设y＝（k≠0），
当x＝4时，y＝－3，则＝－3，解得k＝－12.
∴y＝－.
（2）当y＝－4时，－＝－4，解得x＝3.
∴当y＝－4时，x的值为3.
　　易错点　忽视反比例函数增减性的前提条件
10.（内蒙古中考）已知点A（m，y1），B（m＋1，y2）都在反比例函数y＝－的图象上，则下列结论一定正确的是（　D　）
A.y1＞y2
B.y1＜y2
C.当m＜0时，y1＜y2
D.当m＜－1时，y1＜y2
@中档提分训练
11.（河北中考）在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则（　B　）
A.＜x＜1　　B.1＜x＜2
C.2＜x＜4　　D.4＜x＜8
12.（洛阳月考）反比例函数y＝（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（　A　）
A.5　　B.10　　C.－5　　D.－1
第12题图
13.函数y＝kx－3与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（　B　）
A　　　
B　　　
C　　　
D
14.（陕西中考）如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（m，n），B（m－6，n－6）两点，则k的值为　9　.
第14题图
15.（达州月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过A（2，m＋2），B（m，3）两点.
（1）求点A的坐标及k的值；
（2）求△OAB的面积.
解：（1）根据题意，得2（m＋2）＝3m，解得m＝4.
∴m＋2＝6.∴A（2，6）.
∴k＝12.
（2）由（1），得A（2，6），B（4，3）.
过点B作y轴的垂线，垂足为C，BC交OA于点D，
设直线OA的表达式为y＝ax（a≠0），
由题意，得6＝2a，解得a＝3.
∴直线OA的表达式为y＝3x.
当y＝3时，x＝1.∴点D（1，3）.∴BD＝3.
∴S△OAB＝×3×3＋×3×3＝9.
@拓展素养训练
16.【古代数学】（贵州中考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300 N的物体，且OB＝1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变，如表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
（1）表格中a的值是　100　；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.
解：（2）画出F与l的函数图象如图所示.
（3）当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下：
∵F，l都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的其中一支.
∵Fl＝300，∴其函数表达式为F＝.
∵k＞0，
∴在第一象限内，F随l的增大而减小.
即当OA的长增大时，拉力F是减小.

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