资源简介

17.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边、角的性质
@基础分点训练
　　知识点1　平行四边形、梯形的定义
1.如图，在 ABCD中，EF∥BC，则图中的平行四边形共有（　 　）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
第1题图
2.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1＝110°，∠4＝125°，则∠2和∠3的度数分别是 .
　　知识点2　平行四边形的对称性
3.（湖北中考）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A（－1，2），则点C的坐标是（　 　）
第3题图
A.（2，－1）　　B.（－2，1）　　
C.（1，－2）　　D.（－1，－2）
　　知识点3　平行四边形边、角的性质
4.若平行四边形的一组邻边的长分别为5和8，则该平行四边形的周长为 .
5.在 ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的大小为 .
6.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（　 　）
A.1∶2∶3∶4　　B.1∶3∶4∶2
C.1∶2∶1∶2　　D.1∶1∶2∶2
7.如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（　 　）
A.30　　B.60　　C.65　　D.
第7题图
　　知识点4　平行线之间的距离
8.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b.如果AB＝5 cm，AC＝4 cm，那么平行线a，b之间的距离为 cm .
第8题图
@中档提分训练
9.如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为（　 　）
A.26 cm　　B.24 cm　　C.20 cm　　D.18 cm
第9题图
10.如图，直线a∥b，点A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　 　）
第10题图
A.变大　　B.变小
C.保持不变　　D.无法确定
11.如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
（1）求证：BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为28，EF＝3，则△ABC的面积为 .
第2课时　平行四边形边、角性质的运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形边、角性质的运用
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝67°，DC＝DB，则∠CDB＝ .
2.已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为 .
3.如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且CE＝AF，求证：△ABE≌△CDF.
　　易错点　不注意分情况讨论，造成漏解
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG交CD于点H.若点H恰好分边DC为1∶2的两部分，当AB＝3时，平行四边形ABCD的周长为（　 　）
A.8　　B.10　　C.4或5　　D.8或10
第4题图
@中档提分训练
5.如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2）.则顶点B的坐标是 .
第5题图
6.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为 .
第6题图
7.如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A，B，C，D的对应顶点分别是H，E，F，G，其中点E在DC上，点F在BC上，点C在FG上.若AB＝8，AD＝6，FC＝5，则四边形ECGH的周长为（　 　）
第7题图
A.23　　B.22　　C.21　　D.20
8.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC交CD于点E，F，AE，BF交于点G.
（1）求证：AE⊥BF；
（2）判断DE和CF的大小关系，并说明理由
第3课时　平行四边形对角线的性质
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形对角线的性质
1.（成都中考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　 　）
A.AC＝BD　　B.OA＝OC
C.AC⊥BD　　D.∠ADC＝∠BCD
第1题图
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，则边AD的长度可以是（　 　）
A.2　　B.7　　C.8　　D.10
第2题图
3.如图， ABCD的对角线交于点O，AD＝10，BD＝14，AC＝8，则△OBC的周长为（　 　）
A.16　　B.20　　C.21　　D.28
第3题图
4.如图，AC，BD是平行四边形ABCD的两条对角线，则图中的全等三角形共有（　 　）
A.2对　　B.3对　　C.4对　　D.6对
第4题图
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求对角线BD的长.
@中档提分训练
6.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　 　）
A.28　　B.24　　C.21　　D.14
第6题图
7.（教材P84练习T3变式）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若 ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　 　）
第7题图
A.21　　B.24　　C.27　　D.18
8.在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长短3 cm，此平行四边形的周长是22 cm，则AD＝ cm，AB＝ cm.
9.如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上，求证：AE＝CF.
@拓展素养训练
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　 　）
A.6
B.8
C.
D.2
第4课时　平行四边形对角线性质的运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形对角线性质的运用
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.如果BD＝12，AC＝10，BC＝m，那么m的取值范围是（　 　）
A.10＜m＜12　　B.2＜m＜22
C.1＜m＜11　　D.5＜m＜6
第1题图
2.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是（　 　）
A.10　　B.15　　C.20　　D.25
第2题图
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为20，且△AOB的周长比△BOC的周长大4，求AB，BC的长.
@中档提分训练
4.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC∶BD＝2∶3，那么AC的长为（　 　）
A.2　　B.　　C.3　　D.4
第4题图
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E.若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 .
第5题图
6.某学校的劳动菜园的平面示意图是 ABCD，如图1所示，两条主路AC，BD交于点O，经测量AB＝10 m，AC＝24 m，BD＝20 m，请你解决以下问题：
（1）求劳动菜园的面积；
（2）如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道AM，CN对菜园进行分割.小明提出的方案为点M在OD上，点N在OB上，且DM＝ON（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在△AOM与△CON两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积.17.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边、角的性质
@基础分点训练
　　知识点1　平行四边形、梯形的定义
1.如图，在 ABCD中，EF∥BC，则图中的平行四边形共有（　C　）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
第1题图
2.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1＝110°，∠4＝125°，则∠2和∠3的度数分别是　70°，55°　.
　　知识点2　平行四边形的对称性
3.（湖北中考）如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A（－1，2），则点C的坐标是（　C　）
第3题图
A.（2，－1）　　B.（－2，1）　　
C.（1，－2）　　D.（－1，－2）
　　知识点3　平行四边形边、角的性质
4.若平行四边形的一组邻边的长分别为5和8，则该平行四边形的周长为　26　.
5.在 ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的大小为　125°　.
6.在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（　C　）
A.1∶2∶3∶4　　B.1∶3∶4∶2
C.1∶2∶1∶2　　D.1∶1∶2∶2
7.如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（　B　）
A.30　　B.60　　C.65　　D.
第7题图
　　知识点4　平行线之间的距离
8.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b.如果AB＝5 cm，AC＝4 cm，那么平行线a，b之间的距离为　4　cm .
第8题图
@中档提分训练
9.如图，在 ABCD中，已知AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为（　D　）
A.26 cm　　B.24 cm　　C.20 cm　　D.18 cm
第9题图
10.如图，直线a∥b，点A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积（　C　）
第10题图
A.变大　　B.变小
C.保持不变　　D.无法确定
11.如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
（1）求证：BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F.若 ABCD的周长为28，EF＝3，则△ABC的面积为　21　.
解：（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD.
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE.
在△ADG和△CBE中，
∴△ADG≌△CBE（ASA）.
∴BE＝DG.
第2课时　平行四边形边、角性质的运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形边、角性质的运用
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝67°，DC＝DB，则∠CDB＝　46°　.
2.已知平行四边形的周长是20，相邻两边的长度相差2，则该四边形的较长边的长度为　6　.
3.如图，在 ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且CE＝AF，求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∠B＝∠D.
∵CE＝AF，∴AD－AF＝BC－CE.∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）.
　　易错点　不注意分情况讨论，造成漏解
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AB于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线AG交CD于点H.若点H恰好分边DC为1∶2的两部分，当AB＝3时，平行四边形ABCD的周长为（　D　）
A.8　　B.10　　C.4或5　　D.8或10
第4题图
@中档提分训练
5.如图， ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，2）.则顶点B的坐标是　（4，2）　.
第5题图
6.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，ED交BC于点F.若∠ABD＝48°，∠CFD＝40°，则∠E的度数为　112°　.
第6题图
7.如图，平行四边形ABCD与平行四边形EFGH全等，且A，B，C，D的对应顶点分别是H，E，F，G，其中点E在DC上，点F在BC上，点C在FG上.若AB＝8，AD＝6，FC＝5，则四边形ECGH的周长为（　A　）
第7题图
A.23　　B.22　　C.21　　D.20
8.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC交CD于点E，F，AE，BF交于点G.
（1）求证：AE⊥BF；
（2）判断DE和CF的大小关系，并说明理由
解：（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF.
∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°，即∠BAE＋∠ABF＝90°.
∴∠AGB＝90°.∴AE⊥BF.
（2）DE＝CF.理由如下：
∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB.
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB.∴∠DEA＝∠DAE.
∴DE＝AD.同理可得，CF＝BC.
又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF.
第3课时　平行四边形对角线的性质
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形对角线的性质
1.（成都中考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　B　）
A.AC＝BD　　B.OA＝OC
C.AC⊥BD　　D.∠ADC＝∠BCD
第1题图
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，则边AD的长度可以是（　B　）
A.2　　B.7　　C.8　　D.10
第2题图
3.如图， ABCD的对角线交于点O，AD＝10，BD＝14，AC＝8，则△OBC的周长为（　C　）
A.16　　B.20　　C.21　　D.28
第3题图
4.如图，AC，BD是平行四边形ABCD的两条对角线，则图中的全等三角形共有（　C　）
A.2对　　B.3对　　C.4对　　D.6对
第4题图
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，求对角线BD的长.
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD.∴AO＝AC＝2.
在Rt△ABO中，BO＝＝＝.
∴BD＝2BO＝2.
@中档提分训练
6.（遂宁中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE.若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　D　）
A.28　　B.24　　C.21　　D.14
第6题图
7.（教材P84练习T3变式）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若 ABCD的周长是36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　B　）
第7题图
A.21　　B.24　　C.27　　D.18
8.在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长短3 cm，此平行四边形的周长是22 cm，则AD＝　4　cm，AB＝　7　cm.
9.如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC.
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴EO＝FO＝EF.
∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF.
@拓展素养训练
10.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　D　）
A.6
B.8
C.
D.2
第4课时　平行四边形对角线性质的运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形对角线性质的运用
1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.如果BD＝12，AC＝10，BC＝m，那么m的取值范围是（　C　）
A.10＜m＜12　　B.2＜m＜22
C.1＜m＜11　　D.5＜m＜6
第1题图
2.如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是（　C　）
A.10　　B.15　　C.20　　D.25
第2题图
3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，其周长为20，且△AOB的周长比△BOC的周长大4，求AB，BC的长.
解：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，其周长为20，
∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC.
∴AB＋BC＝10.①
∵△AOB的周长比△BOC的周长大4，
∴OA＋OB＋AB－（OB＋OC＋BC）＝4.
∴AB－BC＝4.②
由①＋②，得2AB＝14.∴AB＝7.
把AB＝7代入①，得BC＝3.
∴AB，BC的长分别为7和3.
@中档提分训练
4.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC∶BD＝2∶3，那么AC的长为（　D　）
A.2　　B.　　C.3　　D.4
第4题图
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E.若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是　3　.
第5题图
6.某学校的劳动菜园的平面示意图是 ABCD，如图1所示，两条主路AC，BD交于点O，经测量AB＝10 m，AC＝24 m，BD＝20 m，请你解决以下问题：
（1）求劳动菜园的面积；
（2）如图2，综合实践李老师提出，准备再修建两条小道AM，CN对菜园进行分割.小明提出的方案为点M在OD上，点N在OB上，且DM＝ON（点M与点O，D不重合），李老师对这个与众不同的方案表示支持，并计划在△AOM与△CON两块菜地所在区域种植草莓，求种植草莓区域的面积.
解：（1）过点B作BE⊥AC于点E.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝12 m，OB＝BD＝10 m.
∴AB＝OB＝10 m.
又∵BE⊥AC，∴AE＝OA＝6 m.
∴BE＝＝＝8（m）.
∴劳动菜园的面积为2×AC BE＝24×8＝192（m2）.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
又∵∠BOC＝∠AOD，
∴△BOC≌△DOA.∴S△BOC＝S△DOA.
又∵DM＝ON，∴BN＝OM.∴S△BNC＝S△AOM.
∴种植草莓区域的面积为S△AOM＋S△CON＝S△BNC＋S△CON＝S△BOC＝S ABCD＝48 m2.

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