资源简介

17.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1、2
@基础分点训练
　　知识点1　两组对边分别相等（或平行）的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为　4　.
2.如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是　平行四边形　.
第2题图
3.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是　平行四边　形，理由是　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　.
第3题图
4.已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对边的边长，且满足（a－c）2＋＝0，则该四边形一定是（　B　）
A.任意四边形　　　B.平行四边形
C.对角线相等的四边形　　　D.无法确定
5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.
一：证明：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
∵∠B＝∠D，∴180°－∠1－∠B＝180°－∠2－∠D，
即∠ACB＝∠CAD.∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
二：证明：在△ADC和△CBA中，
∴△ADC≌△CBA（AAS）.
∴AD＝BC，DC＝AB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
　　知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6.如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是（　B　）
A.AB
B.BC
C.CD
D.BD
7.如图，在 ABCD中，点E，F是AD的三等分点，点G，H是BC的三等分点，则图中共有平行四边形（　D　）
A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
第7题图
8.如图，将一条长2 cm的线段AB向右平移3 cm后，连结对应点得到的图形是　平行四边形　.
第8题图
9.（济南中考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE.求证：∠AEB＝∠CFD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC.
又∵AF＝CE，∴四边形AFCE是平行四边形.
∴∠AEC＝∠AFC.
∴∠AEB＝∠CFD.
@中档提分训练
10.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（　C　）
A.6种　　B.5种　　C.4种　　D.3种
11.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，CD∥EF，CD＝EF，则图中的平行四边形有（　C　）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
第11题图
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（　B　）
第12题图
A.5　　B.10　　C.15　　D.20
13.【开放性试题】（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①或②　.
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
解：（1）证明：选择①，
∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10.
∵AD⊥AB，∴∠A＝90°.
∴AE＝＝＝6.
14.【过程性学习】如图，直线m∥n，点P，A分别在直线m和直线n上.
淇淇进行了如下操作：
①连结PA，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线n于点B，且B点在A点的左侧；
②以点P为圆心，PA的长为半径作弧，交直线m于点C，且C点在P点的右侧，连结PB，AC.
（1）请你帮淇淇完成作图；
（2）四边形ABPC的形状是　平行四边形　，最直接的判断依据是　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　；
（3）若PA＝，直线m和直线n之间的距离为，试求∠PAB的度数.
解：（1）依题意，作图如图所示.
（3）过点P作PD⊥AB于点D，由题意，得PD＝.
∵PA＝，∴AD＝＝＝.
∴△PDA是等腰直角三角形.∴∠PAB＝45°.
@拓展素养训练
15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝　4　时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t＝　　时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时　平行四边形的判定定理3
@基础分点训练
　　知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（　B　）
A.一组对角相等　　B.对角线互相平分
C.一组对边相等　　D.对角线互相垂直
2.如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是　平行四边形　.
第2题图
3.如图，AO＝OC，BD＝16 cm，当OB＝　8　cm时，四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
4.（杭州中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝FD，连结AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即EO＝FO.
∴四边形AECF是平行四边形.
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH.求证：四边形EHFG是平行四边形.
证明：在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∵BG＝DH，∴OB－BG＝OD－DH，即OG＝OH.
∴四边形EHFG是平行四边形.
　　知识点2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　C　）
A.1∶2∶3∶4　　B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3　　D.2∶3∶3∶2
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　D　）
A.∠A＝∠C，∠B＝∠D
B.∠A＝∠B＝∠C＝90°
C.∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D.∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
8.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝∠D＝　132　°时，四边形ABCD是平行四边形.
　　易错点　对平行四边形的判定掌握不牢致错
9.在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD，选其中两个条件就能判定四边形ABCD为平行四边形的选法有　3　种.
@中档提分训练
10.（河北中考）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.（1）～（3）是其作图过程.
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连结AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　C　）
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
11.如图，点E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　C　）
A.∠ABD＝∠DCE
B.DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
12.【新情境】图1是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图2）.已知AC与BD互相平分且交于点O，AD＝4 cm，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为　24　cm2.
13.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
解：四边形BFDE是平行四边形.理由：
在 ABCD中，
∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝∠ADC，∠3＝∠4＝∠ABC.
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
∵∠DFB＝∠C＋∠1，∠BED＝∠3＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形.
@拓展素养训练
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连结AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.
∴BE＝CD.
（2）由（1）知，BE＝AB.
∵BF平分∠ABE，∴AF＝EF.
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF（ASA）.∴DF＝CF.
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形.
第3课时　平行四边形性质与判定的综合运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形性质与判定的综合运用
1.【生活情境】汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，若两个雨刮器的刷片长度相同，即AB＝CD，某时刻雨刮器位置如图所示，此时AB∥CD，则∠B　＝　∠D（填“＞”“＜ ”或“＝”） .
2.如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连结AD，CD，则∠ADC的度数为（　B　）
A.41°　　B.49°　　C.51°　　D.59°
第2题图
3.如图，在 ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点.下列条件中，不能得出四边形AECF是平行四边形的是（　B　）
第3题图
A.BE＝DF　　B.CE＝AF
C.CE∥AF　　D.∠ECB＝∠FAD
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF，∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AD∥BC，即AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四
边形.
∴∠EAF＝∠FCE，∠AEC＝∠AFC.
∵∠BAE＝∠DCF，∠AEC＝∠B＋∠BAE，
∠AFC＝∠D＋∠DCF，
∴∠BAD＝∠DCB，∠B＝∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，交CD，AB于点E，F.若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB，猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.
解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
连结AE，CF，
∵OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形.
∴EC∥AF，EC＝AF.
又∵DE＝FB，∴DC＝AB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连结AE，DF.
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AD＝3，求DF的长.
解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠FEC＝∠ADC.
在△FCE和△ACD中，
∴△FCE≌△ACD（ASA）.∴EF＝AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
（2）由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形，
∴EF＝AD＝3.
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD＝2.
∴CE＝CD＝2.∴DE＝2CD＝4.
∵EF∥AD，AD⊥BC，∴EF⊥BC.∴∠DEF＝90°.
∴DF＝＝＝5.
@中档提分训练
7.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF.
（1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由；
（2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由.
解：（1）四边形DBCF是平行四边形，理由如下：
∵E是AC的中点，∴AE＝CE.
又∵∠AED＝∠CEF，ED＝EF.
∴△AED≌△CEF.
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF.
∴AD∥CF，即CF∥BD.
∵D为AB的中点，∴BD＝AD.
∴BD＝CF.∴四边形DBCF是平行四边形.
（2）DE∥BC，DE＝BC.理由如下：
∵EF＝ED，∴DE＝DF.
又∵四边形DBCF是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC.
∴DE∥BC，DE＝BC.
8.（教材P102习题T2变式）如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，AM交BE于点M，CN交DF于点N，连结AN，CM.求证：四边形AMCN是平行四边形.
证明：连结AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABM＝∠CDN.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
∴∠ABM＋∠BAE＝90°，∠CDN＋∠DCF＝90°.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，
∴∠BAM＝∠DCN.
在△ABM和△CDN中，
∴△ABM≌△CDN（ASA）.
∴BM＝DN，∴OM＝ON.
又∵OA＝OC，
∴四边形AMCN是平行四边形.
@拓展素养训练
9.【生活情境】如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，已知BD∥CE∥GF.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离.
解：（1）证明：∵BD∥CE∥GF，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，
∴∠ACE＝∠ABD＝127°，∠DEC＝∠GFE＝53°.
∴∠ACE＋∠DEC＝180°.∴BC∥DE.
∴四边形BCED是平行四边形.
（2）∵四边形BCED是平行四边形，
∴CE＝BD＝20 cm.
延长AC交GF于点H，连结AG，
由（1）可知，CH∥EF，CE∥HF，
∴四边形CHFE是平行四边形.
∴CH＝EF＝50 cm，HF＝CE＝20 cm.
则AH＝AC＋CH＝100 cm，
GH＝GF－HF＝60 cm.
∵AC＝EF＝CG＝CH，
∴∠CAG＝∠CGA，∠CGH＝∠CHG.
∴∠CAG＋∠AGH＋∠CHG＝2（∠CGA＋∠CGH）＝180°.
∴∠AGF＝90°.
∴AG＝＝80 cm.
故椅子最高点A到地面GF的距离为80 cm.
第4课时　三角形的中位线
@基础分点训练
　　知识点　三角形的中位线定理
1.（长沙中考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连结DE.若DE＝12，则AB的长为　24　.
第1题图
2.如图，D，E分别是AB，AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝　60°　.
第2题图
3.【几何直观】如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的Rt△ABC.测得∠A＝90°，AB＝AC＝ dm，点D，E分别是外骨架AB，AC的中点，则风筝杆DE的长为　4　dm.
4.如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连结ED.现测得AC＝42 m，BC＝63 m，DE＝26 m，则AB等于（　B　）
A.42 m
B.52 m
C.56 m
D.64 m
5.（广元中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连结DP，点E是DP的中点，连结OE，则OE的长是（　C　）
A.1　　B.　　C.2　　D.4
第5题图
6.（山西中考）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连结OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　C　）
第6题图
A.OE＝AD　　B.OE＝BC
C.OE＝AB　　D.OE＝AC
7.（广东中考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　C　）
A.20°　　B.40°　　C.70°　　D.110°
第7题图
8.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，DE为△ABC的中位线，过点E作EF∥AB交AC于点F，则四边形ADEF的周长为（　D　）
第8题图
A.8　　B.12　　C.11　　D.10
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE，过点D作DH⊥BC于点H，连结EH.若BC＝8，DH＝3，求EH的长.
解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝4.
∴∠EDH＝∠DHB.
∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴∠EDH＝90°.
∴EH＝＝＝5.
@中档提分训练
10.（宿迁中考）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是（　C　）
A.DE∥BC
B.∠B＝∠EFC
C.∠BAF＝∠CAF
D.OD＝OE
11.（商丘梁园区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝8，CD＝12，则EO的长为　2　.
第11题图
12.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为　　.
第12题图
13.如图，BE，CF是△ABC的中线，且BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点.
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明.
解：（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线.
∴EF∥BC，EF＝BC.
∵P，Q分别是BG，CG的中点，
∴PQ是△GBC的中位线.∴PQ∥BC，PQ＝BC.
∴EF∥PQ，EF＝PQ.
∴四边形EFPQ是平行四边形.
（2）BG＝2GE.证明如下：
∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GE＝PG.
∵P是BG的中点，∴BG＝2PG.
∴BG＝2GE.
@拓展素养训练
14.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.请将下面证明∠BME＝∠CNE的过程填写完整：
证明：连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF.
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF∥　AB　，HF＝　AB　.
同理：HE∥　CD　，HE＝　CD　.
∴∠1＝∠　BME　，∠2＝∠　CNE　.
又∵AB＝CD，∴HF＝　HE　.
∴∠1＝∠　2　.
∴∠BME＝∠CNE.
（2）运用上题解决下列问题：
如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，请判断△OMN的形状，并说明理由.
解：（2）△OMN是等腰三角形，理由如下：
取AC的中点P，连结PF，PE，
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴PE是△ABC的中位线，PF是△ADC的中位线.
∴PE∥AB，PE＝AB，PF∥CD，PF＝CD.
∴∠PEF＝∠ANF，∠PFE＝∠CME.
∵AB＝CD，∴PE＝PF.
∴∠PFE＝∠PEF.∴∠OMN＝∠ONM.
∴△OMN为等腰三角形.17.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1、2
@基础分点训练
　　知识点1　两组对边分别相等（或平行）的四边形是平行四边形
1.在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为 .
2.如图，剪两张两边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 .
第2题图
3.如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连结AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连结CD，BC，则四边形ABCD是 形，理由是 .
第3题图
4.已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，c为一组对边的边长，且满足（a－c）2＋＝0，则该四边形一定是（　 　）
A.任意四边形　　　B.平行四边形
C.对角线相等的四边形　　　D.无法确定
5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.
　 行且相等的四边形是平行四边形
6.如图，给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要一条线段的长度是3，这条线段是（　 　）
A.AB
B.BC
C.CD
D.BD
7.如图，在 ABCD中，点E，F是AD的三等分点，点G，H是BC的三等分点，则图中共有平行四边形（　 　）
A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
第7题图
8.如图，将一条长2 cm的线段AB向右平移3 cm后，连结对应点得到的图形是 .
第8题图
9.（济南中考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC和AD上，且AF＝CE.求证：∠AEB＝∠CFD.
@中档提分训练
10.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（　 　）
A.6种　　B.5种　　C.4种　　D.3种
11.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，CD∥EF，CD＝EF，则图中的平行四边形有（　 　）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
第11题图
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（　 　）
第12题图
A.5　　B.10　　C.15　　D.20
13.【开放性试题】（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， .
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.
14.【过程性学习】如图，直线m∥n，点P，A分别在直线m和直线n上.
淇淇进行了如下操作：
①连结PA，以点A为圆心，AP的长为半径作弧，交直线n于点B，且B点在A点的左侧；
②以点P为圆心，PA的长为半径作弧，交直线m于点C，且C点在P点的右侧，连结PB，AC.
（1）请你帮淇淇完成作图；
（2）四边形ABPC的形状是 ，最直接的判断依据是 ；
（3）若PA＝，直线m和直线n之间的距离为，试求∠PAB的度数.
@拓展素养训练
15.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒.
（1）当t＝ 时，以点A，B，Q，D为顶点的四边形是平行四边形；
（2）当t＝ 时，以点A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形.
第2课时　平行四边形的判定定理3
@基础分点训练
　　知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（　 　）
A.一组对角相等　　B.对角线互相平分
C.一组对边相等　　D.对角线互相垂直
2.如图，小康将两根木条AC，BD的中点O重叠，并用钉子固定，使AC，BD可以绕着点O转动，无论木条怎么转动，以点A，B，C，D为顶点的四边形是 .
第2题图
3.如图，AO＝OC，BD＝16 cm，当OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
第3题图
4.（杭州中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝FD，连结AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形.
5.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH.求证：四边形EHFG是平行四边形.
　　知识点2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　 　）
A.1∶2∶3∶4　　B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3　　D.2∶3∶3∶2
7.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　 　）
A.∠A＝∠C，∠B＝∠D
B.∠A＝∠B＝∠C＝90°
C.∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D.∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
8.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝48°，则当∠B＝∠D＝ °时，四边形ABCD是平行四边形.
　　易错点　对平行四边形的判定掌握不牢致错
9.在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD，选其中两个条件就能判定四边形ABCD为平行四边形的选法有 种.
@中档提分训练
10.（河北中考）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.（1）～（3）是其作图过程.
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连结AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连结DC，BC，则四边形ABCD即为所求.
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　 　）
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
11.如图，点E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　 　）
A.∠ABD＝∠DCE
B.DF＝CF
C.∠AEB＝∠BCD
D.∠AEC＝∠CBD
12.【新情境】图1是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图2）.已知AC与BD互相平分且交于点O，AD＝4 cm，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 cm2.
13.如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
@拓展素养训练
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连结AC，DE，求证：四边形ACED是平行四边形.
第3课时　平行四边形性质与判定的综合运用
@基础分点训练
　　知识点　平行四边形性质与判定的综合运用
1.【生活情境】汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，若两个雨刮器的刷片长度相同，即AB＝CD，某时刻雨刮器位置如图所示，此时AB∥CD，则∠B ∠D（填“＞”“＜ ”或“＝”） .
2.如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连结AD，CD，则∠ADC的度数为（　 　）
A.41°　　B.49°　　C.51°　　D.59°
第2题图
3.如图，在 ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点.下列条件中，不能得出四边形AECF是平行四边形的是（　 　）
第3题图
A.BE＝DF　　B.CE＝AF
C.CE∥AF　　D.∠ECB＝∠FAD
4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是BC，AD上的点，且AE∥CF，∠BAE＝∠DCF，求证：四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，在四边形ABCD中，EF交AC于点O，交CD，AB于点E，F.若OE＝OF，OA＝OC，且DE＝FB，猜想四边形ABCD的形状，并说明理由.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连结AE，DF.
（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；
（2）若BD＝2，AD＝3，求DF的长.
中档提分训练
7.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF.
（1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由；
（2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由.
8.（教材P102习题T2变式）如图，BD是 ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AM与CN分别是∠BAE与∠DCF的平分线，AM交BE于点M，CN交DF于点N，连结AN，CM.求证：四边形AMCN是平行四边形.
@拓展素养训练
9.【生活情境】如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得AC＝EF＝CG＝50 cm，BD＝20 cm，GF＝80 cm，∠ABD＝127°，∠GFE＝53°，已知BD∥CE∥GF.
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）求椅子最高点A到地面GF的距离.
第4课时　三角形的中位线
@基础分点训练
　　知识点　三角形的中位线定理
1.（长沙中考）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，连结DE.若DE＝12，则AB的长为 .
第1题图
2.如图，D，E分别是AB，AC的中点，若∠B＝60°，则∠ADE＝ .
第2题图
3.【几何直观】如图1是一只风筝，中间有一风筝杆，抽象成图2的Rt△ABC.测得∠A＝90°，AB＝AC＝ dm，点D，E分别是外骨架AB，AC的中点，则风筝杆DE的长为 dm.
4.如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连结AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连结ED.现测得AC＝42 m，BC＝63 m，DE＝26 m，则AB等于（　 　）
A.42 m
B.52 m
C.56 m
D.64 m
5.（广元中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点P是AB的中点，连结DP，点E是DP的中点，连结OE，则OE的长是（　 　）
A.1　　B.　　C.2　　D.4
第5题图
6.（山西中考）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连结OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　 　）
第6题图
A.OE＝AD　　B.OE＝BC
C.OE＝AB　　D.OE＝AC
7.（广东中考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝（　 　）
A.20°　　B.40°　　C.70°　　D.110°
第7题图
8.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，DE为△ABC的中位线，过点E作EF∥AB交AC于点F，则四边形ADEF的周长为（　 　）
第8题图
A.8　　B.12　　C.11　　D.10
9.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连结DE，过点D作DH⊥BC于点H，连结EH.若BC＝8，DH＝3，求EH的长.
@中档提分训练
10.（宿迁中考）如图，在△ABC中，AB≠AC，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，则下列结论错误的是（　 　）
A.DE∥BC
B.∠B＝∠EFC
C.∠BAF＝∠CAF
D.OD＝OE
11.（商丘梁园区期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝8，CD＝12，则EO的长为 .
第11题图
12.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 .
第12题图
13.如图，BE，CF是△ABC的中线，且BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点.
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明.
@拓展素养训练
14.（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.请将下面证明∠BME＝∠CNE的过程填写完整：
证明：连结BD，取BD的中点H，连结HE，HF.
∵F是AD的中点，H是BD的中点，
∴HF∥ ，HF＝ .
同理：HE∥ ，HE＝ .
∴∠1＝∠ ，∠2＝∠ .
又∵AB＝CD，∴HF＝ .
∴∠1＝∠ .
∴∠BME＝∠CNE.
（2）运用上题解决下列问题：
如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF，分别交DC，AB于点M，N，请判断△OMN的形状，并说明理由.

展开更多......

收起↑