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18.1　矩形
1.矩形的性质
@基础分点训练
　　知识点1　矩形的定义及其对称性
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是 ；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是 .
2.矩形有 条对称轴，通过对边 的直线就是它的对称轴.
　　知识点2　矩形的性质
3.（成都中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　 　）
A.AB＝AD　　B.AC⊥BD
C.AC＝BD　　D.∠ACB＝∠ACD
第3题图
4.（郑州期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为 .
第4题图
5.（内蒙古中考）如图，四边形ABCD是一个矩形草坪.对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连结OH，且OH＝20 m，AD＝30 m，则该草坪的面积为 .
第5题图
6.（教材P112练习T3变式）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB＝ .
第6题图
7.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线分别交直线AD，CD于点E，F.若AB＝4，DF＝2，则BF的长为 .
第7题图
8.如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称.如果矩形ABCD的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 .
第8题图
9.（教材P113例3变式）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OD，AD＝2，求BE的长.
@中档提分训练
10.如图，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCD的一边BC上，使得AB＝BE，其中EG与AD交于点F，则∠DFG的度数是（　 　）
A.85°　　B.75°　　C.65°　　D.45°
第10题图
11.如图，矩形ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB比△BOC的周长多2，则该矩形的面积为（　 　）
A.48　　B.40　　C.35　　D.24
第11题图
12.（洛阳洛龙区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则对角线AC的长为（　 　）
A.　　B.　　
C.5　　D.4
第12题图
13.（教材P113练习T3变式）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG＝ .
第13题图
14如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：AC＝CE；
（2）若DE＝9，CD＝12，求△COD的周长.
@拓展素养训练
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.连结AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段CH的长是 .
2. 矩形的判定
第1课时　矩形的判定
@基础分点训练
　　知识点1　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，线段AB⊥BC，以点C为圆心，BA的长为半径画弧，然后再以点A为圆心，BC的长为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 .
第1题图
2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DF∥AB，DE∥AC，当∠A＝ 时，四边形AEDF是矩形.
第2题图
3.【开放性试题】（贵州中考）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC.
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
　　知识点2　有三个角是直角的四边形是矩形
4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　 　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
第4题图
5.如图，∠AOB＝90°，∠AOB内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为 .
第5题图
6.如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F.求证：四边形AECF是矩形.
　　知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形
7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　 　）
A.AO＝CO，BO＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB
D.AO＝CO＝BO＝DO
8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，则∠BAD的度数是 °.
9.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连结AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形.
@中档提分训练
10.（许昌期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边作一个点标记A，然后在对边任一处再作一个点标记B，连结AB，取AB中点O，则以下操作与判断正确的是（　 　）
A.过点O作任意直线交木板两边于点C，D，得到矩形ACBD
B.过点O作AB的垂线l交木板两边于点C，D，得到矩形ACBD
C.在木板上任意找两点C，D，使得AC＝BD，得到矩形ACBD
D.分别过点A，B作垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
11.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件 时，四边形PEMF为矩形.
第11题图
12.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点.若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是 .
第12题图
13.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连结AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长.
@拓展素养训练
14.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　 　）
A.2
B.2.2
C.2.4
D.2.5
第2课时　直角三角形斜边上的中线的性质
@基础分点训练
　　知识点1　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，则AB的长为（　 　）
A.4　　B.5　　C.6　　D.8
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，D是边AB的中点，则∠BDC的度数是（　 　）
第2题图
A.40°　　B.30°　　C.20°　　D.10°
3.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图所示.已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝ cm.
第3题图
4.（福建中考）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 .
第4题图
5.（淮安中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，点E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，OF.若AE＝4，则OF＝ .
第5题图
6.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连结DE.若CD＝3，AE＝5，则DE的长为 .
第6题图
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF.若AB＝10，求BF的长.
　　知识点2　一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形
8.如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD＝AB.若∠A＝35°，则∠B＝ .
第8题图
9.如图，在△ABC中，AC＝10，CD＝13，AB＝26，D是AB边的中点，则BC＝ .
第9题图
10.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，EF＝AB，F是AB的中点，求证：E是CD的中点.
@中档提分训练
11.（成都月考）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（　 　）
A.变小　　B.不变
C.变大　　D.无法判断
第11题图
12.（陕西中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　 　）
第12题图
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
13.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是线段DE上一点，连结AF，CF，EF＝3DF.若BC＝16，则AF2＋CF2＝ .
第13题图
14.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AD＝DE，BF＝5，AB＝8，则EC的长为 .
第14题图
15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF.
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积.
@拓展素养训练
16.如图1，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点，连结DM，ME.
（1）求证：MN⊥DE；
（2）猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当∠BAC变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由.18.1　矩形
1.矩形的性质
@基础分点训练
　　知识点1　矩形的定义及其对称性
1.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使AB＝CD，EF＝GH；
（2）摆放成如图2的四边形，则这时窗框的形状是　平行四边形　，根据的数学道理是　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4），说明窗框合格，这时窗框是　矩　形，根据的数学道理是　有一个角是直角的平行四边形是矩形　.
2.矩形有　2　条对称轴，通过对边　中点　的直线就是它的对称轴.
　　知识点2　矩形的性质
3.（成都中考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　C　）
A.AB＝AD　　B.AC⊥BD
C.AC＝BD　　D.∠ACB＝∠ACD
第3题图
4.（郑州期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝1，则BD的长为　2　.
第4题图
5.（内蒙古中考）如图，四边形ABCD是一个矩形草坪.对角线AC，BD相交于点O，H是BC边的中点，连结OH，且OH＝20 m，AD＝30 m，则该草坪的面积为　1 200 m2　.
第5题图
6.（教材P112练习T3变式）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB＝　57°　.
第6题图
7.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线分别交直线AD，CD于点E，F.若AB＝4，DF＝2，则BF的长为　　.
第7题图
8.如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称.如果矩形ABCD的面积是22，那么图中阴影部分的面积是　5.5　.
第8题图
9.（教材P113例3变式）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OD，AD＝2，求BE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OD＝OC＝OA＝OB.
∵AE垂直平分OD，
∴OA＝AD.∴OD＝OA＝AD.
∴△DAO是等边三角形.∴OD＝AD＝2.
∵AE⊥OD，∴OE＝OD＝1.
又∵OB＝OD＝2，∴BE＝OB＋OE＝2＋1＝3.
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10.如图，在△AEG中，GA＝GE，∠G＝40°，将△AEG的顶点E摆放在矩形ABCD的一边BC上，使得AB＝BE，其中EG与AD交于点F，则∠DFG的度数是（　C　）
A.85°　　B.75°　　C.65°　　D.45°
第10题图
11.如图，矩形ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB比△BOC的周长多2，则该矩形的面积为（　A　）
A.48　　B.40　　C.35　　D.24
第11题图
12.（洛阳洛龙区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则对角线AC的长为（　A　）
A.　　B.　　
C.5　　D.4
第12题图
13.（教材P113练习T3变式）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF＋EG＝　　.
第13题图
14如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：AC＝CE；
（2）若DE＝9，CD＝12，求△COD的周长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，BC∥AD，
即BC∥DE.
又∵CE∥BD，
∴四边形DECB是平行四边形.
∴BD＝CE.∴AC＝CE.
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CO＝DO＝AC.
∴∠EDC＝180°－∠ADC＝90°.
在Rt△EDC中，DE＝9，CD＝12，
∴CE＝＝＝15.
由（1）知，AC＝CE＝15.
∴△COD的周长为CO＋DO＋CD＝AC＋AC＋CD＝AC＋CD＝15＋12＝27.
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15.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.连结AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段CH的长是　　.
2. 矩形的判定
第1课时　矩形的判定
@基础分点训练
　　知识点1　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图，线段AB⊥BC，以点C为圆心，BA的长为半径画弧，然后再以点A为圆心，BC的长为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是　有一个角是直角的平行四边形是矩形　.
第1题图
2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，DF∥AB，DE∥AC，当∠A＝　90°　时，四边形AEDF是矩形.
第2题图
3.【开放性试题】（贵州中考）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC.
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
解：（1）选择①，证明：
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形.
选择②，证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形.
（2）∵∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，
∴BC＝＝4.
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD的面积为AB BC＝3×4＝12.
　　知识点2　有三个角是直角的四边形是矩形
4.如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（　C　）
A.测量一组对边是否平行且相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中的三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
第4题图
5.如图，∠AOB＝90°，∠AOB内的某一点P到这个角两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为　12　.
第5题图
6.如图，在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F.求证：四边形AECF是矩形.
证明：∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠EAF＋∠AEC＝180°.
∴∠EAF＝90°.
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
　　知识点3　对角线相等的平行四边形是矩形
7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的是（　D　）
A.AO＝CO，BO＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.AO＝CO，BO＝DO，AC⊥DB
D.AO＝CO＝BO＝DO
8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，则∠BAD的度数是　90　°.
9.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF＝CD，连结AF，BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
AD＝BC.
∵CF＝CD，∴CF＝AB.
∴四边形ABFC是平行四边形.
∵AD＝AF，∴BC＝AF.
∴平行四边形ABFC是矩形.
@中档提分训练
10.（许昌期中）一个木匠要制作矩形踏板，如图，他先在一个对边平行的长木板的一边作一个点标记A，然后在对边任一处再作一个点标记B，连结AB，取AB中点O，则以下操作与判断正确的是（　D　）
A.过点O作任意直线交木板两边于点C，D，得到矩形ACBD
B.过点O作AB的垂线l交木板两边于点C，D，得到矩形ACBD
C.在木板上任意找两点C，D，使得AC＝BD，得到矩形ACBD
D.分别过点A，B作垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
11.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件　BC＝2AB　时，四边形PEMF为矩形.
第11题图
12.如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F，G，H分别是各边的中点.若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积是　12　.
第12题图
13.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连结AF，DE，DF.
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长.
解：（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC.
即EF＝BC.
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.
∴平行四边形AEFD是矩形.
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，
∴AF＝DE＝8.
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.
∴△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°.
∴S△ABF＝AB AF＝BF AE.
∴AE＝＝＝.
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14.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为（　C　）
A.2
B.2.2
C.2.4
D.2.5
第2课时　直角三角形斜边上的中线的性质
@基础分点训练
　　知识点1　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4，则AB的长为（　D　）
A.4　　B.5　　C.6　　D.8
第1题图
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，D是边AB的中点，则∠BDC的度数是（　A　）
第2题图
A.40°　　B.30°　　C.20°　　D.10°
3.一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图所示.已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝　3　cm.
第3题图
4.（福建中考）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为　4 m　.
第4题图
5.（淮安中考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，点E，F分别为BC，CD的中点，连结AE，OF.若AE＝4，则OF＝　4　.
第5题图
6.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE＝BE，连结DE.若CD＝3，AE＝5，则DE的长为　4　.
第6题图
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，点F为DE的中点，连结BF.若AB＝10，求BF的长.
解：在Rt△ABC中，AB＝10，CD为Rt△ABC的中线，
∴CD＝AB＝×10＝5.
∵F为DE的中点，BE＝BC，
∴BF是△CDE的中位线.
∴BF＝CD＝×5＝2.5.
　　知识点2　一个三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形
8.如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD＝AB.若∠A＝35°，则∠B＝　55°　.
第8题图
9.如图，在△ABC中，AC＝10，CD＝13，AB＝26，D是AB边的中点，则BC＝　24　.
第9题图
10.如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，EF＝AB，F是AB的中点，求证：E是CD的中点.
证明：连结BE，
∵EF＝AB，F是AB的中点，
∴∠BEA＝90°.∴BE⊥AC.
∵DB＝BC，∴E是CD的中点.
@中档提分训练
11.（成都月考）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（　B　）
A.变小　　B.不变
C.变大　　D.无法判断
第11题图
12.（陕西中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（　C　）
第12题图
A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个
13.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝12，F是线段DE上一点，连结AF，CF，EF＝3DF.若BC＝16，则AF2＋CF2＝　144　.
第13题图
14.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AD＝DE，BF＝5，AB＝8，则EC的长为　　.
第14题图
15.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF.
（1）求证：AE＝CD；
（2）若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积.
解：（1）证明：连结DE，
∵BE是AC边上的高，
∴BE⊥AC.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴DE＝BC＝CD.
∵EF⊥AD，AF＝DF，∴EF垂直平分AD.
∴AE＝DE.∴AE＝CD.
（2）∵AE＝CD＝5，BC＝2CD，∴BC＝10.
∵BE⊥AC，CE＝6，
∴BE＝＝＝8.
∵AC＝AE＋CE＝5＋6＝11.
∴S△ABC＝AC BE＝×11×8＝44.
@拓展素养训练
16.如图1，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点，连结DM，ME.
（1）求证：MN⊥DE；
（2）猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当∠BAC变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由.
解：（1）证明：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC.∴DM＝ME.
又∵N为DE的中点，∴MN⊥DE.
（2）∠DME＝180°－2∠A，证明如下：
在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME＝（180°－2∠ABC）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A.
∴∠DME＝180°－2∠A.
（3）（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立，理由如下：
在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC.
∴∠DME＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.

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