资源简介

18.2　菱形
1.菱形的性质
@基础分点训练
　　知识点1　菱形的定义及其对称性
1.如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴ ABCD是菱形（　 　）.（请在括号内填上理由）
第1题图
2.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为 .
第2题图
　　知识点2　菱形的性质
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（　 　）
A.AB＝AD
B.AC⊥BD
C.AC＝BD
D.∠DAC＝∠BAC
4.（湘潭中考）如图，菱形ABCD中，连结AC，BD.若∠1＝20°，则∠2的度数为（　 　）
A.20°　　B.60°　　C.70°　　D.80°
第4题图
5.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点.如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长为（　 　）
第5题图
A.8　　B.12　　C.16　　D.18
6.【生活情境】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　 　）
A.26°　　B.27°　　C.28°　　D.29°
第6题图
7.（福建中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为 .
第7题图
8.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，则OE＝ .
第8题图
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为 .
第9题图
10.如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连结EC.若∠ADE＝36°，求∠BCE的度数.
@中档提分训练
11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　 　）
A.95°
B.105°
C.100°
D.110°
12.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　 　）
A.4　　B.4.5　　C.4.8　　D.5
第12题图
13.如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点E，F分别在BC，CD边上，连结EF，AE，AF.若∠EAF＝60°，AB＝12，BE＝4，则DF的长为 .
第13题图
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长.
@拓展素养训练
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连结AP，QP，AP与OB相交于点E.
（1）如图1，连结QA，当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，求证：PB＝PC.
2.菱形的判定
@基础分点训练
　　知识点1　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，要使 ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（　 　）
A.AC＝AD　　B.AB＝BC
C.∠ABC＝90°　　D.AC＝BD
第1题图
2.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝7，则 ABCD的周长为 .
第2题图
3.（河南师大附中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：四边形ADCF是菱形.
　　知识点2　四条边相等的四边形是菱形
4.【开放性试题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 时，四边形AEDF是菱形.（只填一个即可）
5.已知：如图，∠AOB＝40°，在∠AOB内部求作∠AOP＝20°，作法如下：
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点E，F；
（2）分别以点E，F为圆心，OE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；
（3）作射线OP.
求证：∠AOP＝20°.
　　知识点3　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6.（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　 　）
A.6
B.9
C.12
D.18
7.（长春中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：平行四边形ABCD是菱形.
@中档提分训练
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若要使四边形ECDF为菱形，a的值为（　 　）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.（攀枝花期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使CE＝BC，连结EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC成为菱形的是（　 　）
A.AE⊥DC　　B.AE平分∠DAC
C.AB＝AE　　D.∠BAE＝90°
第9题图
10.（成都月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁.李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为1 dm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 dm2.
第10题图
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，点B，点D关于AC所在直线对称.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E，若CE＝2，AD＝3，求线段BD长.
@拓展素养训练
12.已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，点F是平行四边形ABCD外一点，连结EC，CF和DF，且CE＝CF.
（1）如图1，若∠BCD＝∠ECF，∠ADB＝∠CDF，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，在（1）的条件下，连结FE并延长和AB交于点P，FP和CD交于点Q，求证：PE＝QF.18.2　菱形
1.菱形的性质
@基础分点训练
　　知识点1　菱形的定义及其对称性
1.如图，在 ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴ ABCD是菱形（　有一组邻边相等的平行四边形是菱形　）.（请在括号内填上理由）
第1题图
2.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，3），则点C的坐标为　（2，－3）　.
第2题图
　　知识点2　菱形的性质
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（　C　）
A.AB＝AD
B.AC⊥BD
C.AC＝BD
D.∠DAC＝∠BAC
4.（湘潭中考）如图，菱形ABCD中，连结AC，BD.若∠1＝20°，则∠2的度数为（　C　）
A.20°　　B.60°　　C.70°　　D.80°
第4题图
5.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点.如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长为（　C　）
第5题图
A.8　　B.12　　C.16　　D.18
6.【生活情境】如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCD＝52°时，则∠BAC的度数为（　A　）
A.26°　　B.27°　　C.28°　　D.29°
第6题图
7.（福建中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为　10　.
第7题图
8.如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，则OE＝　2.5　.
第8题图
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝13，AC＝10，则该菱形的面积为　120　.
第9题图
10.如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连结EC.若∠ADE＝36°，求∠BCE的度数.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD，CD∥AB.
∵DE＝AD，∴DE＝CD，∠A＝∠DEA＝×（180°－36°）＝72°.
∴∠BCD＝72°.
∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠DEA＝72°.
∵DE＝DC，∴∠DCE＝×（180°－72°）＝54°.
∴∠BCE＝∠DCB－∠DCE＝72°－54°＝18°.
@中档提分训练
11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　D　）
A.95°
B.105°
C.100°
D.110°
12.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC于点H，则AH的长为（　C　）
A.4　　B.4.5　　C.4.8　　D.5
第12题图
13.如图，在菱形ABCD中，∠C＝120°，点E，F分别在BC，CD边上，连结EF，AE，AF.若∠EAF＝60°，AB＝12，BE＝4，则DF的长为　8　.
第13题图
14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD.
又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3.
在Rt△AOD中，AD＝＝5.
∴CD＝AD＝5.
由（1）得，四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
@拓展素养训练
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连结AP，QP，AP与OB相交于点E.
（1）如图1，连结QA，当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，求证：PB＝PC.
解：（1）点Q在线段PC的垂直平分线上，理由：
连结QC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OA＝OC.∴QA＝QC.
∵QA＝QP，∴QC＝QP.
∴点Q在线段PC的垂直平分线上.
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA.
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB.
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD.
∴AE＝BE.
∵∠APB＝90°，∴∠BAP＋∠ABP＝90°.
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°.
∴∠ABC＝60°.
∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形.
∵∠APB＝90°，∴BP＝CP.
2.菱形的判定
@基础分点训练
　　知识点1　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.如图，要使 ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（　B　）
A.AC＝AD　　B.AB＝BC
C.∠ABC＝90°　　D.AC＝BD
第1题图
2.如图，在 ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝7，则 ABCD的周长为　28　.
第2题图
3.（河南师大附中期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：四边形ADCF是菱形.
证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝BD＝CD.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）.∴AF＝BD＝CD.
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AD＝DC，∴平行四边形ADCF是菱形.
　　知识点2　四条边相等的四边形是菱形
4.【开放性试题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足　AB＝AC（或∠B＝∠C或BD＝CD）　时，四边形AEDF是菱形.（只填一个即可）
5.已知：如图，∠AOB＝40°，在∠AOB内部求作∠AOP＝20°，作法如下：
（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点E，F；
（2）分别以点E，F为圆心，OE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；
（3）作射线OP.
求证：∠AOP＝20°.
证明：由作图可得，OE＝OF＝PE＝PF，
∴四边形OEPF是菱形.
∴OP平分∠AOB.
又∵∠AOB＝40°，
∴∠AOP＝∠AOB＝×40°＝20°.
　　知识点3　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
6.（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
A.6
B.9
C.12
D.18
7.（长春中考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证：平行四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝OA2＋OB2.
∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
@中档提分训练
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若要使四边形ECDF为菱形，a的值为（　B　）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.（攀枝花期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BC到点E，使CE＝BC，连结EA，ED，AC，下列条件中不能使四边形ADEC成为菱形的是（　C　）
A.AE⊥DC　　B.AE平分∠DAC
C.AB＝AE　　D.∠BAE＝90°
第9题图
10.（成都月考）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁.李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为1 dm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是　　dm2.
第10题图
11.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，点B，点D关于AC所在直线对称.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E，若CE＝2，AD＝3，求线段BD长.
解：（1）证明：∵点B，点D关于AC所在直线对称，
∴BD⊥AC，BO＝DO.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（ASA）.∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形.
（2）由（1）得，四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC，AD＝BC＝CD＝3.
∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.
∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°.
在Rt△CED中，由勾股定理，得DE＝＝＝.
在Rt△BED中，由勾股定理，得BD＝＝＝.
@拓展素养训练
12.已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，点F是平行四边形ABCD外一点，连结EC，CF和DF，且CE＝CF.
（1）如图1，若∠BCD＝∠ECF，∠ADB＝∠CDF，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，在（1）的条件下，连结FE并延长和AB交于点P，FP和CD交于点Q，求证：PE＝QF.
证明：（1）∵∠BCD＝∠ECF，
∴∠BCD－∠DCE＝∠ECF－∠DCE，
即∠BCE＝∠DCF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE.
∵∠ADB＝∠CDF，∴∠CBE＝∠CDF.
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF（AAS）.∴BC＝DC.
∴平行四边形ABCD是菱形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝∠FDC.
∵AB∥CD，∴∠BPE＝∠CQF.
在CD上取一点T，使FT＝DF，连结FT，
∴∠FTD＝∠FDC.∴∠ABD＝∠FTD.
∵△BCE≌△DCF，∴BE＝FD.∴BE＝FT.
∴△PBE≌△QTF（AAS）.
∴PE＝QF.

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