资源简介

18.3　正方形
@基础分点训练
　　知识点1　正方形的性质
1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（　 　）
A.2条　　B.4条　　C.6条　　D.无数条
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　 　）
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
3.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　 　）
A.15°　　B.20°　　C.25°　　D.30°
第3题图
4.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上.如果BE＝BD，那么CE＝ .
第4题图
5.（达州月考）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF＝90°.求证：DE＝DF.
　　知识点2　正方形的判定
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（　 　）
A.AC⊥BD　　B.AB＝AE
C.∠ABD＝∠ADB　　D.AE＝CE
第6题图
7.在数学志趣课活动中，老师把一张矩形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由： 的矩形是正方形.
第7题图
8.【开放性试题】（乐山中考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是 （只需填一种组合即可）.
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形.
@中档提分训练
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　 　）
A.BC＝AC　　B.BD＝DF
C.CF⊥BF　　D.AC＝BF
第10题图
11.（成都双流区月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C.若正方形ABCD的边长为，则k的值为 .
第11题图
12.（攀枝花期末）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，射线AM交CD于点E，交BC的延长线于点F，CG⊥CM交EF于点G.
（1）求证：AM＝CM；
（2）探究CG与EF之间的数量关系，并说明理由.
@拓展素养训练
13.综合与实践
【问题情境】
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
【猜想证明】
（1）求证：四边形DEFG是正方形.
【解决问题】
（2）求∠DCG的度数.18.3　正方形
@基础分点训练
　　知识点1　正方形的性质
1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有（　B　）
A.2条　　B.4条　　C.6条　　D.无数条
2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（　C　）
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
3.如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（　A　）
A.15°　　B.20°　　C.25°　　D.30°
第3题图
4.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在BC的延长线上.如果BE＝BD，那么CE＝　－1　.
第4题图
5.（达州月考）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF＝90°.求证：DE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝∠ADC＝90°.
又∵∠EDF＝90°，
∴∠ADC－∠EDC＝∠EDF－∠EDC.
∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.
∴DE＝DF.
　　知识点2　正方形的判定
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点E，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（　B　）
A.AC⊥BD　　B.AB＝AE
C.∠ABD＝∠ADB　　D.AE＝CE
第6题图
7.在数学志趣课活动中，老师把一张矩形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：　有一组邻边相等　的矩形是正方形.
第7题图
8.【开放性试题】（乐山中考）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是　①②或①③　（只需填一种组合即可）.
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠ACB＝∠CFD＝90°.
∴四边形CEDF为矩形.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD是△ABC的角平分线，
∴DE＝DF.
∴矩形CEDF为正方形.
@中档提分训练
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　D　）
A.BC＝AC　　B.BD＝DF
C.CF⊥BF　　D.AC＝BF
第10题图
11.（成都双流区月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C.若正方形ABCD的边长为，则k的值为　2　.
第11题图
12.（攀枝花期末）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上一点，射线AM交CD于点E，交BC的延长线于点F，CG⊥CM交EF于点G.
（1）求证：AM＝CM；
（2）探究CG与EF之间的数量关系，并说明理由.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM＝45°.
又∵BM＝BM，∴△ABM≌△CBM（SAS）.
∴AM＝CM.
（2）CG＝EF，理由：
由（1）知，△ABM≌△CBM，∴∠BAM＝∠BCM.
∴90°－∠BAM＝90°－∠BCM，即∠DAM＝∠DCM.
∵MC⊥GC，∴∠MCG＝90°＝∠MCE＋∠ECG.
又∵∠ECG＋∠GCF＝90°，
∴∠GCF＝∠MCE＝∠DAM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BDC＝45°.∴∠F＝∠DAM.
∵∠DAM＋∠AED＝90°，∠AED＝∠CEF，
∴∠F＝∠GCF，∠ECG＝∠CEG.
∴CG＝FG，CG＝EG.∴CG＝EF.
@拓展素养训练
13.综合与实践
【问题情境】
如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交直线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
【猜想证明】
（1）求证：四边形DEFG是正方形.
【解决问题】
（2）求∠DCG的度数.
解：（1）证明：过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，
∵点E在正方形ABCD的对角线AC上，∴EN＝EM.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°.
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°.
∴∠MEN＝90°.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°.
∴∠DEN＝∠MEF.
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA）.∴ED＝EF.
∴矩形DEFG为正方形.
（2）∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝AD，∠ADE＋∠EDC＝90°.
∴∠CDG＝∠ADE.∴△CDG≌△ADE（SAS）.
∴∠DCG＝∠DAE＝45°.

展开更多......

收起↑