资源简介

19.2　数据的离散程度
1.方差
@基础分点训练
　　知识点1　离差平方和
1.在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为.
　　知识点2　方差
2.下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（　　）
A.平均数　　B.中位数
C.众数　　D.方差
3.题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差.”在计算时小方的式子为σ2＝［（a－6）2＋（b－6）2＋（c－6）2＋（e－6）2］，小程的式子为σ2＝（a2＋b2＋c2＋d2＋e2）－36.则小方，小程所列的式子（　　）
A.小方正确，小程错误
B.小方错误，小程正确
C.都正确
D.都错误
4.若5个数据的离差平方和是30，则这组数据的方差是.
5.数据－2，－1，0，1，2的方差是.
6.某中学开展“健康锻炼进校园”活动，该学校随机统计了10名学生平均每周的体育锻炼时间，统计如下：
每周体育锻炼时间/时 2 4 6 8
学生数/人 2 3 4 1
这组数据的方差为.
　　知识点3　方差的应用
7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是＝0.25，＝0.12，＝0.46，＝0.35，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（　　）
A.甲　　B.乙　　C.丙　　D.丁
8.甲、乙两人进行6次投篮训练（每次投篮10个），两人的成绩（单位：环）如图所示，则本次训练中，的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）.
9.种子是我国粮食安全的关键.某玉米研究所对两种玉米种子进行改良后，决定在条件（肥力、日照、通风……）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，其结果（单位：kg）统计在下表中：
编号 1 2 3 4 5 6
甲 750 760 750 725 755 760
乙 745 780 775 725 730 745
哪个品种的产量较稳定，适合推广？
@中档提分训练
10.一组数据2，3，5，6，x的平均数是4，则这组数据的方差是.
11.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5，记这组新数据的方差为，则（填“＞”“＝”或“＜”）.
12.（烟台中考）求一组数据方差的算式为σ2＝×［（6－）2＋（8－）2＋（8－）2＋（6－）2＋（7－）2］.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数据7，7，则这组新数据的方差变小
13.某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初中部七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示：
（1）根据统计图计算出下表中a，b，c的值；
代表队 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪个代表队的选手成绩比较稳定.
@拓展素养训练
14.为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下.
【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高（单位：cm）如下表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 160 168 172 162 162 172 172 176
【数据分析】分析以上数据，得到下表：
平均数 （cm） 中位数 （cm） 众数 （cm） 方差
甲 a b 169 5.75
乙 168 170 172 31
请你根据以上信息完成下列问题：
（1）此次采用的调查方式属于；（填“抽样调查”或“全面调查”）
（2）a＝，b＝；
【数据运用】
（3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由；
（4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选名队员.
2.用计算器求平均数和方差
@基础分点训练
　　知识点　用计算器求平均数和方差
1.用计算器求平均数和方差的一般步骤是：
（1）按打开主屏幕，按方向键选中“”应用图标后，按进入“”应用，再按启动“单变量统计”计算功能；
（2）按（第一个数据）（第二个数据）……，输入所有的数据；
（3）按（单变量结果），即可获得这组数据的统计值，其中是，σ2x是.
2.用计算器计算数据13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为（　　）
A.13.53　　B.13.61　　C.13.74　　D.14.00
3.用计算器计算数据－1，0，1，2，3的方差是.
4.用计算器算出以下各组数据的平均数：
（1）5，5，6，6，6，7，8，8，8，8；
（2）2.578，3.64，9.8，4.652 3；
（3）41，32，53，43，56，26，37，58，69，15.
5.某校为了了解八年级甲、乙两班学生数学测试的情况，从每班抽取10名学生的成绩（单位：分）进行分析：
甲：86，78，80，86，92，85，85，87，86，88；
乙：78，91，87，82，85，89，81，86，76，87.
用计算器分别计算它们的方差，并根据计算结果说明哪个班的测试成绩比较稳定.
@中档提分训练
6.某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（　　）
A.3.6　　B.3　　C.0.6　　D.－3
7.用计算器求下列各组数据的平均数和方差：
（1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95；
（2）473，284，935，743，586，654；
（3）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0.
8.用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：
甲组 1 2 3 4 5
乙组 100 200 300 400 500
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）请根据（1）的结论，计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差.19.2　数据的离散程度
1.方差
@基础分点训练
　　知识点1　离差平方和
1.在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分分别为（单位：分）：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为　2.5　.
　　知识点2　方差
2.下列选项中，能够反映一组数据离散程度的统计量是（　D　）
A.平均数　　B.中位数
C.众数　　D.方差
3.题目：“已知5个数据a，b，c，d，e的平均数为6，求这5个数据的方差.”在计算时小方的式子为σ2＝［（a－6）2＋（b－6）2＋（c－6）2＋（e－6）2］，小程的式子为σ2＝（a2＋b2＋c2＋d2＋e2）－36.则小方，小程所列的式子（　B　）
A.小方正确，小程错误
B.小方错误，小程正确
C.都正确
D.都错误
4.若5个数据的离差平方和是30，则这组数据的方差是　6　.
5.数据－2，－1，0，1，2的方差是　2　.
6.某中学开展“健康锻炼进校园”活动，该学校随机统计了10名学生平均每周的体育锻炼时间，统计如下：
每周体育锻炼时间/时 2 4 6 8
学生数/人 2 3 4 1
这组数据的方差为　3.36　.
　　知识点3　方差的应用
7.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，四人10次射击的平均成绩都是9.2环，方差分别是＝0.25，＝0.12，＝0.46，＝0.35，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（　B　）
A.甲　　B.乙　　C.丙　　D.丁
8.甲、乙两人进行6次投篮训练（每次投篮10个），两人的成绩（单位：环）如图所示，则本次训练中，　甲　的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）.
9.种子是我国粮食安全的关键.某玉米研究所对两种玉米种子进行改良后，决定在条件（肥力、日照、通风……）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，其结果（单位：kg）统计在下表中：
编号 1 2 3 4 5 6
甲 750 760 750 725 755 760
乙 745 780 775 725 730 745
哪个品种的产量较稳定，适合推广？
解：由题意，得甲＝×（750＋760＋750＋725＋755＋760）＝750（kg），
＝×［（750－750）2×2＋（760－750）2×2＋（725－750）2＋（755－750）2］＝141；
乙＝×（745＋780＋775＋725＋730＋745）＝750（kg），
＝×［（745－750）2×2＋（780－750）2＋（775－750）2＋（725－750）2＋（730－750）2］＝433.
∵141＜433，即＜，
∴甲品种的产量较稳定，适合推广.
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10.一组数据2，3，5，6，x的平均数是4，则这组数据的方差是　2　.
11.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5，记这组新数据的方差为，则　＝　（填“＞”“＝”或“＜”）.
12.（烟台中考）求一组数据方差的算式为σ2＝×［（6－）2＋（8－）2＋（8－）2＋（6－）2＋（7－）2］.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　C　）
A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数据7，7，则这组新数据的方差变小
13.某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初中部七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的成绩如图所示：
（1）根据统计图计算出下表中a，b，c的值；
代表队 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪个代表队的选手成绩比较稳定.
解：（1）七年级5名选手的平均分a＝（75＋80＋85＋85＋100）÷5＝85，众数b＝85.
八年级5名选手的成绩是70，75，80，100，100，故中位数c＝80.
（2）根据表格，可知七年级与八年级的平均数相同，七年级的中位数较高，故七年级代表队决赛成绩较好.
（3）＝×［（75－85）2＋（80－85）2＋（85－85）2＋（85－85）2＋（100－85）2］＝70，
∵＜，
∴七年级代表队的选手成绩比较稳定.
@拓展素养训练
14.为了迎接市里举办的舞蹈比赛，某校分别对甲、乙两支舞蹈队8名队员的身高做了调查，收集数据并整理如下.
【数据收集】甲、乙两支舞蹈队的8名队员的身高（单位：cm）如下表：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号
甲 169 165 168 169 172 173 169 167
乙 160 168 172 162 162 172 172 176
【数据分析】分析以上数据，得到下表：
平均数 （cm） 中位数 （cm） 众数 （cm） 方差
甲 a b 169 5.75
乙 168 170 172 31
请你根据以上信息完成下列问题：
（1）此次采用的调查方式属于　全面调查　；（填“抽样调查”或“全面调查”）
（2）a＝　169　，b＝　169　；
【数据运用】
（3）如果要选择身高比较整齐的舞蹈队参加比赛，该选哪个队？请说明理由；
（4）现学校决定从甲、乙两队中分别挑选若干名队员，组建一支身高更加整齐的8人舞蹈队参加比赛，则应在甲队中挑选　5　名队员.
解：（3）应选择甲队，理由：
∵5.75＜31，∴甲队队员的身高比乙队更整齐.
∴选择甲队比较合适.
2.用计算器求平均数和方差
@基础分点训练
　　知识点　用计算器求平均数和方差
1.用计算器求平均数和方差的一般步骤是：
（1）按打开主屏幕，按方向键选中“　统计　”应用图标后，按进入“　统计　”应用，再按启动“单变量统计”计算功能；
（2）按（第一个数据）（第二个数据）……，输入所有的数据；
（3）按（单变量结果），即可获得这组数据的统计值，其中是　平均数　，σ2x是　方差　.
2.用计算器计算数据13.49，13.55，14.07，13.51，13.84，13.98的平均数为（　C　）
A.13.53　　B.13.61　　C.13.74　　D.14.00
3.用计算器计算数据－1，0，1，2，3的方差是　2　.
4.用计算器算出以下各组数据的平均数：
（1）5，5，6，6，6，7，8，8，8，8；
（2）2.578，3.64，9.8，4.652 3；
（3）41，32，53，43，56，26，37，58，69，15.
解：（1）平均数是6.7.
（2）平均数是5.167 575.
（3）平均数是43.
5.某校为了了解八年级甲、乙两班学生数学测试的情况，从每班抽取10名学生的成绩（单位：分）进行分析：
甲：86，78，80，86，92，85，85，87，86，88；
乙：78，91，87，82，85，89，81，86，76，87.
用计算器分别计算它们的方差，并根据计算结果说明哪个班的测试成绩比较稳定.
解：用计算器计算，得＝13.81，＝20.96.
∵＜，
∴甲班的测试成绩比较稳定.
@中档提分训练
6.某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（　D　）
A.3.6　　B.3　　C.0.6　　D.－3
7.用计算器求下列各组数据的平均数和方差：
（1）24，24，31，31，47，47，62，84，95，95；
（2）473，284，935，743，586，654；
（3）10.1，9.8，9.7，10.2，10.3，9.9，10.0.
解：（1）平均数是54，方差是728.2.
（2）平均数是612.5，方差是.
（3）平均数是10，方差是0.04.
8.用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：
甲组 1 2 3 4 5
乙组 100 200 300 400 500
（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？
（2）请根据（1）的结论，计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差.
解：（1）甲组数据的平均数为3，方差为2；
乙组数据的平均数为300，方差为20 000.
比较这两组数据，它们的对应关系是乙组每个数据是甲组对应数据的100倍，乙组的平均数是甲组平均数的100倍，乙组方差是甲组方差的10 000倍.
（2）∵甲组数据的平均数是2，方差为2，
∴0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数为3÷100＝0.03，方差为2÷10 000＝0.000 2.

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