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第18章末总结与复习
@巩固
　　1　矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　A　）
A.6
B.7
C.8
D.11
2.如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC＝2BE，∠ACB＝65°，则∠E＝　50°　.
第2题图
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为　5　.
第3题图
4.（北京中考）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC，连结CG.
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC.
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形.
∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
∴平行四边形DFCG是矩形.
（2）∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°.
∵∠B＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形.
∴BF＝DF＝3.
∵DG＝FC＝5，∴BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
由（1）可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴DE＝BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.
∴EG＝DG－DE＝5－4＝1.
∴CE＝＝＝.
∵E为AC的中点，
∴AC＝2CE＝2.
　　2　直角三角形斜边上的中线的性质
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，延长AC至点F，使CF＝AC，若AB＝10，则EF的长是（　C　）
A.4.8　　B.6　　C.5　　D.4
第5题图
　　3　菱形的性质与判定
6.（齐齐哈尔中考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O，请添加一个条件　AD∥BC（AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等）　，使四边形ABCD成为菱形.
第6题图
7.一个菱形的周长是20 cm，其中一条对角线长是8 cm，则另一条对角线长是　6　cm.
8.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC.
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
证明：∵CE∥DB，BE∥DC，
∴四边形DBEC是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝CD＝AC.
∴平行四边形DBEC是菱形.
（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC的面积.
解：连结DE交BC于点G，
∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝5.
∵点F是AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线.∴BC＝2DF＝4.
∵四边形DBEC是菱形，
∴BC⊥DE，CG＝BC＝2，DE＝2DG.
∴DG＝＝.
∴DE＝2DG＝2.
∴S菱形DBEC＝DE BC＝×2×4＝4.
　　4　正方形的性质与判定
9.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为（　A　）
A.22.5°　　B.27.5°　　C.30°　　D.35°
第9题图
10.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以0.5 cm/s的速度分别向点A，C运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s.连接DE，DF，BE，BF，当t＝　4　s时，四边形DEBF为正方形.
第10题图
11.如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，△CEF的外角平分线EA，FA交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.
（1）∠EAF＝　45　°（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形.
②若BE＝EC＝3，求DF的长.
解：（2）①证明：过点A作AG⊥EF于点G，
则∠AGE＝∠AGF＝90°.
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C.
∴四边形ABCD是矩形.
∵△CEF的外角平分线EA，FA交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG.∴AB＝AD.
∴矩形ABCD是正方形.
②设DF＝x，∵BE＝EC＝3，∴BC＝6.
由①得，四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6.
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）.∴BE＝EG＝3.
同理，得GF＝DF＝x.
在Rt△CEF中，EC2＋FC2＝EF2，
即32＋（6－x）2＝（x＋3）2，解得x＝2.
∴DF的长为2.
@素养专练
12.【传统文】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具.如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连结MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（　C　）
①图中有7个等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③S正方形ABCD＝4S四边形PFDM；④四边形OPFN是正方形.
A.①②③
B.②③
C.①③④
D.①④第18章末总结与复习
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　　1　矩形的性质与判定
1.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AD＝8，OA＝5，则AB的长为（　 　）
A.6
B.7
C.8
D.11
2.如图，点E是矩形ABCD的对角线AC的延长线上一点，若AC＝2BE，∠ACB＝65°，则∠E＝ .
第2题图
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝7，AE平分∠BAD，则DE的长为 .
第3题图
4.（北京中考）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC，连结CG.
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
　　2　直角三角形斜边上的中线的性质
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC的中点，延长AC至点F，使CF＝AC，若AB＝10，则EF的长是（　 　）
A.4.8　　B.6　　C.5　　D.4
第5题图
　　3　菱形的性质与判定
6.（齐齐哈尔中考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O，请添加一个条件 ，使四边形ABCD成为菱形.
第6题图
7.一个菱形的周长是20 cm，其中一条对角线长是8 cm，则另一条对角线长是 cm.
8.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC.
（1）求证：四边形DBEC是菱形；
（2）若AD＝5，DF＝2，求四边形DBEC的面积.
　　4　正方形的性质与判定
9.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为（　 　）
A.22.5°　　B.27.5°　　C.30°　　D.35°
第9题图
10.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以0.5 cm/s的速度分别向点A，C运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s.连接DE，DF，BE，BF，当t＝ s时，四边形DEBF为正方形.
第10题图
11.如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，△CEF的外角平分线EA，FA交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足.
（1）∠EAF＝ °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形.
②若BE＝EC＝3，求DF的长.
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12.【传统文】七巧板是一种古老的中国传统智力玩具.如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连结MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板.则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（　 　）
①图中有7个等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③S正方形ABCD＝4S四边形PFDM；④四边形OPFN是正方形.
A.①②③
B.②③
C.①③④
D.①④

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