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9.1平移 强化提升专练
一、知识点核心定义
平移是平面内图形运动的基本形式之一，属于“全等变换”（不改变图形的形状和大小）。在平面内，将一个图形沿着某个固定方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
关键关联：平移是图形位置的改变，不改变图形的形状、大小和方向，后续学习的旋转、轴对称均属于全等变换，可对比理解记忆。
二、平移的核心要素
平移的两个要素缺一不可，是判断图形运动是否为平移、进行平移作图的关键。
平移的方向：图形移动的方向，可表示为水平向右、竖直向上、沿某条射线方向（如沿射线AB方向），方向固定不变。
平移的距离：图形上每个点移动的距离都相等，即原图形上任意一个点与其平移后对应点之间的线段长度，也是平移的实际距离。
记忆口诀：平移有两个宝，方向距离不能少；方向固定不跑偏，距离相等错不了。
三、平移的基本性质
平移前后的两个图形（原图形和对应图形）具有以下性质，是解题、作图的核心依据：
平移前后的两个图形完全一致（形状、大小完全相同，对应边、对应角均相等）；
对应线段：平移前后的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；
对应角：平移前后的对应角相等；
对应点：原图形上的每个点与平移后对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，且所有对应点连线的方向与平移方向一致、长度与平移距离相等；
图形上每一个点都沿同一方向移动了相同的距离（平移的整体性）。
四、平移作图的一般步骤
第一步：找关键点：找出原图形中的关键顶点、端点、交点（如三角形的三个顶点、线段的端点），关键点的数量根据图形复杂程度确定，确保能确定图形的形状和位置。
第二步：作对应点：根据题目给出的平移方向和距离，分别作出每个关键点的对应点（可借助直尺、圆规，确保对应点与原关键点的距离等于平移距离，方向与平移方向一致）。
第三步：顺次连接：按照原图形的顺序，依次连接所有关键点的对应点，得到平移后的图形。
第四步：检验验证：检查对应点连线是否平行（或共线）且相等，对应线段、对应角是否相等，确保作图准确。
记忆口诀：定点（找关键点）、移点（作对应点）、连点（顺次连接）、验点（检验准确性），平移作图不出错。
强化提升专练
一、单选题
1．下列运动属于平移的是（　　）
A．荡秋千 B．钟摆的摆动
C．随风飘扬的五星红旗 D．在笔直公路上行驶的汽车
2．下列生活中物体的运动情况可以看成平移的是（ ）
A．升降电梯的上下移动 B．随风摆动的旗帜
C．钟摆的摆动 D．在荡秋千的小朋友
3．如图是由六个相同的等边三角形组成的图形，则可由平移得到的三角形（除外）有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．长32米的绳子，做成以下四种图案，以下四种设计方案中，设计不合理的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，将沿射线方向平移，得到，点E落在线段上．若的周长为，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图（1），将一副直角三角板两斜边摆放在同一直线上，且点，重合，固定含角的三角板，将含角的三角板从图（）的位置，沿射线平移至图（）的位置，则平移过程中，根据两个三角板的摆放位置，下列钝角：，，，，，，，沿三角板的边缘能直接画出的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形中，，，，将三角形沿着点B到C的方向平移6个单位得到三角形，交于点O，，则阴影部分面积为（ ）
A．90 B．72 C．45 D．36
9．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
10．如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿向右平移，得到三角形，设平移时间为秒，若在三个点中，一个点到另外两个点的距离存在倍的关系，则下列三人的说法：甲：“有两种情况，的值为或．”乙：“有三种情况，的值为或或．”丙：“有四种情况，的值为或或或．”其中正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
二、填空题
11．如图，三角形经过平移得到三角形，连接，，若，则______．
12．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为______．
13．如图，的周长为．将向上平移得到，连接、，则五边形的周长为_____________．

14．如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要 _________平方米的地毯．（各级台阶等高等宽）

15．如图，是由沿射线方向平移得到，若，则_______．
16．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为__________．
17．如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为9，四边形的周长为15，则平移的距离为_________．

18．已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题：
（1）当秒时，______平方厘米；
（2）当时，小正方形平移的时间为______秒．
19．如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的结论有_______（只填序号）．
20．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则________．
三、解答题
21．如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点移动到点，点的对应点是点．
(1)画出平移后的三角形；
(2)写出与的位置关系；
(3)连接，，求证：．
22．（几何直观）如图①，从一个边长为的正方形纸片中抠掉两个边长为的正方形，得到如图②所示的图形．若图②中的图形周长为，求的值．
23．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米）
在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）；
在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）．
(1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）；
(2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含a，b的式子表示）．
(3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，则剩余的耕地面积为 平方米．
24．如图，，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，．
(1)请说明的理由．
(2)将线段沿着直线平移得到线段，连接．
如图，当时，求的度数；
在整个运动中，当时，则的度数______．
在整个运动中，直接写出之间的等量关系．
试卷第2页，共7页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A C D C C B B
1．D
【详解】解：A、摇动的跳绳不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
B、钟摆的摆动是旋转，故此选项错误；
C、随风摆动的红旗，不属于平移，故此选项错误；
D、汽车在笔直公路上运动沿直线运动，符合平移定义，属于平移，故本选项正确．
故选：D ．
2．A
【详解】解：A、符合平移的定义，是平移，故此选项符合题意；
B、不是整体沿某一直线方向移动，不是平移，故此选项不符合题意；
C、不是整体沿某一直线方向移动，不是平移，故此选项不符合题意；
D、不是整体沿某一直线方向移动，不是平移，故此选项不符合题意，
故选：A．
3．C
【详解】解：沿方向平移得到，沿方向平移平移得到．
故选C．
4．A
【详解】解：A、垂线段最短，
平行四边形的另一边一定大于，
，
周长一定大于，故符合题意；
B、周长，故不符合题意；
C、周长，故不符合题意；
D、周长，故不符合题意；
故选：A．
5．C
【详解】解：
由平移得：
故选：C
6．D
【详解】解：∵，
∴，，，分别为的补角，可以直接画出，
如图2，，

综上所述，沿三角板的边缘能直接画出的有，，，，共4个，
故选：D．
7．C
【详解】解：第一种情况：如图，当点在线段上时，过点作，
∵由平移得到，
，
∵，
，
，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
第二种情况：当点在线段延长线上时，过点作，
同理可得，
当时，
设，则，
∴，
，
，
解得：，
；
由于，则这种情况不存在；
综上所述，的度数可以为18度或36度或108度，
故选：C．
8．C
【详解】解：由平移的性质知，，，，，
∵交于点O，，
∴，
，
∴．
故选：C．
9．B
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为40，可得，，
解得：，
如图，∵图2中长方形的周长为58，
∴，
∴，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
；
故选：B．
10．B
【详解】解：∵三角形以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，
∴，
当，即，解得；
当，即，解得；
当，即，解得；
综上所述，的值为或或，
故选：．
11．1
【详解】解：∵经过平移得到，连接，，，
∴，
故答案为：1．
12．40
【详解】解：如图，
由平移得：，，，
∴，，
即阴影部分是长为，宽为的长方形，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：40．
13．18
【详解】解：∵的周长为．
∴,
由平移的性质可知，,
∴五边形的周长,
故答案为：．
14．
【详解】解：把台面上的地毯展开，
长米，宽米，
∴面积平方米，
故答案为：．
15．10
【详解】解：∵是由沿射线方向平移得到，
，
．
故答案为：10．
16．7
【详解】解：由平移的性质可知，．
，，
∴，
∴三角形的面积为．
故答案为：．
17．3
【详解】解：∵的周长为9，
∴．
∵四边形的周长为15，
∴，
∴．
由平移可知，，
∴，即，
∴，
∴，即平移的距离为3．
故答案为：3．
18． 1或5
【详解】（1）时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，
∴．
故答案为：3．
（2）当时，重叠部分长方形的长，
∴宽为．
分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图，
∴；
②当重叠部分在大正方形的右边时，如图，
∴．
综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒．
故答案为：1或5．
19．①③④⑥
【详解】解：由平移的性质可知，，，，
故①正确；
根据题意得不到，
故②错误；
，
，
故③正确；
，
，
，
，
故④正确；
根据题意得不到，
故⑤错误；
由平移的性质可知，，
故⑥正确；
综上所述，正确的有①③④⑥；
故答案为：①③④⑥．
20．或或
【详解】解：依题得：，
分两种情况考虑：
（1）点在线段上，过点作，如下图：
，
，
，
，，
，
又，
；
，
，
又，
；
（2）点在外时，过点作，如下图：
，
，
，，
，
又，
，
即；
，
由图可知，，
此情况不成立；
综上，或或．
故答案为：或或．
21．
【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求；
（2）解：由平移的性质可得；
（3）证明：由平移的性质可得，，
∴，
∴．
22．
【详解】解：根据图②可知，大正方形的周长加上小正方形的周长为，
∴，
解得．
23．(1)40，=
(2)
(3)448
【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，
则平方米，平方米；
∴．
（2）解：原长方形的长为a米，宽为b米，小路的宽度是1米，
∵原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形，
此时新长方形的长为a米，宽为米，
∴空白部分表示的草地的面积是平方米．
（3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米，
∴空白部分表示的耕地的面积是平方米．
24．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过作交于，
∵线段沿着直线平移得到线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，过作交于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
如图，过作交于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或；
如图，∵，，
∴，
∴，，
∴，即；
如图，∵，，
∴，
∴，，
∴，即；
同理，当在下方时，
∵，，
∴，
∴∠E=∠EDG，，
∴，
∴，
综上所述，或或．

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